基于特征值聚类的MUSIC算法

张明洋, 查淞元, 刘雨东

(上海船舶电子设备研究所, 上海 201108)

多重信号分类法(MUSIC)因其多信号同时测向、适用短数据情况、高精度测向等优点而被广泛应用在方位估计中。但在实际工程中却受到掣肘,主要是由于以下原因:对于相干信号的估计结果基本失去准确性;需进行特征值分解和谱峰搜索,计算量较大,无法满足实时性;需预先知道目标信号源的个数,无法满足实际情况。针对以上问题,相关学者开展了大量的研究,提出了各类改进方法。

针对计算复杂度较高这一问题,Root-MUSIC通过将谱峰搜索问题转化为多项式求根问题,大大降低了复杂度,但当阵列规模不断增大时,求根多项式阶数提高,运算速度大幅降低[1-2]。Ren等[3]对Root-MUSIC进行了改进,通过重构新的数据向量将多项式的阶数降至信号源个数,从而降低了算法的计算量,但这种算法降低了对目标的估计精度。佘黎煌等[4]针对低复杂度Root-MUSIC快速算法的精度较低问题,提出了一种具有精度补偿的低复杂度Root-MUSIC算法。针对相干信号估计不准确这一问题,周小军等[5]提出了IMMUSIC(improved MUSIC)算法,通过重构协方差矩阵使其具有Toeplitz特征,进而得到相干信源的DOA估计。Kamiya等[6]使用了2个循环相关矩阵和相应的循环后向矩阵(2MCC-CB),得到了较高的估计精度,大大提高了DOA估计的性能。针对实际信源个数未知这一问题,黄紧德等[7]将ICA和MUSIC算法相结合,提出了一种改进算法,在算法迭代的过程中不仅得到了信源的方位信息,还得到了未知信源的个数。陀秋艳等[8]应用全空间加权修正算法和投影分解修正算法,实现了信源数目未知时MUSIC算法的方位准确估计。

经典MUSIC算法在未知信源个数的条件下可通过接收信号协方差矩阵特征值的分解来进行估计,将特征值远大于其他特征值的个数作为目标信源的个数,但是这种解决方法并不适用于低信噪比、快拍数小的情况,一旦信号源个数与估计结果不一致,将会使得MUSIC算法估计结果不可靠甚至完全失效。针对这一问题,本文通过聚类算法实现了较低信噪比下的目标源个数的估计,进而提高MUSIC算法的实用性。

1 传统MUSIC算法

假设有M个阵元构成均匀直线阵,相邻阵元间距d,每个阵元接收到D个独立信号源的发射信号,则可以建立阵列信号的数学模型:

图1 等距线列阵接收目标信号示意图

第k个信号(k=1,2,…,D)到达第m个阵元的数学表达式为

xmk(t)=Ak(t-τmk)ejω(t-τmk)+n(t)

(1)

式中:xmk(t)下标表示第m个阵元接收第k个目标信号;Ak表示接收到的目标信号复包络;ω表示目标信号角频率,ω=2πf;n(t)表示阵元接收到的噪声,假设为高斯白噪声,且与信号不相关。τm是由于波程差产生的时间延迟,τmk=(m-1)dsin(θk)/c。

对于窄带信号,有如下近似关系

Ak(t-τmk)≈Ak(t)

(2)

可以将(1)式写为:xmk(t)=Ak(t)ejω(t-τmk)+n(t)。最终,可以得到第m个阵元接收到k个所有目标信号源的数学表达式

(3)

(4)

用矩阵的形式表示M个阵元接收到的快拍数据:

(5)

式中

(6)

矢量矩阵表示

X=AS+N

(7)

式中

MUSIC算法的基本思想:将接收到的信号数据求协方差矩阵,该协方差矩阵可以分解为噪声子空间和信号子空间,最后构造空间谱函数,通过谱峰搜索对目标方位进行估计。

假设目标信号与高斯白噪声完全不相关,且该噪声的方差为σ2,所以

RXX=E(XXH)=ARSSAH+σ2I

(8)

RXX有M-D个值为σ2的最小特征值,对应为噪声,称为噪声特征值;有D个大于σ2的特征值,对应于信号,称为信号特征值

λ1≥λ2≥…≥λD+1=λD+2=…=λM=σ2

(9)

设λ1为RXX的噪声特征值,vi为特征值λi对应的特征向量则有

λivi=RXXvi=(ARSSAH+σ2I)vi

(10)

根据前面分析,λ1=σ2,得到结果如下

ARSSAHvi=0

(11)

(12)

化简后可得:

AHvi=0

(13)

至此已经证明,噪声子空间和矩阵A的列向量(即导向矢量)相正交,而导向矢量中包含目标信号的方位信息。

假设将分解得到的噪声特征值对应的特征向量构造为一个噪声矩阵

Gn=[vD+1,vD+2,…,vM]

(14)

定义空间谱PMUSIC(θ)

(15)

(15)式中分母为导向矢量和噪声矩阵的内积,当a(θ)与Gn的各列正交时,该分母为零,但由于噪声存在,它实际是最小值,PMUSIC(θ)为一尖峰值,通过谱峰搜索可得到波达角。

2 未知信源个数下的改进MUSIC算法

2.1 全空间加权修正MUSIC算法

文献[8]的全空间加权修正MUSIC算法使用了协方差矩阵全部的特征向量,但在构造噪声矩阵时,通过对不同特征向量施加权不同的权重,以使不同特征向量对谱估计结果产生不同的作用。构造新的噪声矩阵

(16)

式中:λi为协方差矩阵的特征值;α为调节指数用来调节加权的效果。因为信号特征值一般大于其他特征值,所以调节α能够减弱信号特征向量对谱估计结果的影响。

算法流程:

1) 对接收数据的协方差矩阵进行特征值分解,得到M个特征值和特征向量。

2) 构造新的噪声矩阵G。

3) 得到MUSIC谱估计结果

2.2 基于密度聚类的改进MUSIC算法

密度聚类是一种无监督学习算法,通过数据之间分布的紧密程度来对样本进行分类。DBSCAN(density-based spatial clustering of applications with noise)算法是一种经典的密度聚类算法,通过一组邻域来描述数据分布的紧密程度。给定数据集D={x1,x2,…,xm},下面给出算法相关的定义[9]:

ε-邻域:对xj∈D,其ε-邻域包含数据集D中与xj的距离不大于ε的数据。

核心对象:若xj的ε-邻域至少包含PminPts个样本,即|Nε(xj)|≥PminPts,则xj是核心对象。

密度直达:若xj位于xi的ε-邻域中,且xi为核心对象,则称xj由xi密度直达。

密度可达:对xi与xj,若存在样本序列p1,p2,…,pn,其中p1=xi,pn=xj,且pi+1由pi密度直达,则称xj由xi密度可达。

DBSCAN算法如下:

输入:数据集,邻域半径REps,邻域中数据对象数目阈值PminPts;

1) 从数据集中任意选取一个数据点p;

2) 如果对于参数REps和PminPts,所选取的数据点p为核心对象,则找出所有从p密度可达的数据点,形成一个簇;

3) 如果选取的数据点p是边缘点,选取另一个数据点;

4) 重复步骤2)～3),直到所有点被处理

MUSIC算法中对目标源个数进行估计可以转化为对协方差矩阵特征值的分类,可将特征值分为噪声特征值和信号特征值。其中信号特征值明显大于噪声特征值,因此使用DBSCAN聚类算法可将信号特征值标记为噪音点,通过计算噪音点的个数来计算目标源的个数。

基于DBSCAN特征值聚类的MUSIC算法流程如下:

1) 令接收数据仅为噪声数据,对协方差矩阵进行特征值分解。

2) 对M个噪声特征值进行分析,给出DBSCAN算法的REps和PminPts参数取值。

3) 对含有回波信号数据的协方差矩阵进行特征值分解,得到M个特征值和特征向量。

4) 对M个特征值进行DBSCAN算法聚类,得到信源个数j。

5) 构造新的噪声矩阵G=[v1,v2,…,vM-j]。

6) 得到MUSIC谱估计结果:

3 仿真分析

仿真参数选取时,选用阵元数为30的均匀直线阵,目标源数为3,目标源是中心频率为10 kHz的窄带信号,噪声取均值为0、平均功率1的高斯白噪声,快拍数为1 000。全空间加权修正算法中的调节指数α设为4,邻域半径为180,对象数目阈值为5。分析以上方法的性能。

实验一:对3种方法的高分辨性能进行考察。假设存在3个目标源,其入射角度分别为48°,50°,52°;信噪比均设为15 dB。

从图2可以看出Capon算法即使在信噪比为15 dB的强目标回波信号下也很难分辨出目标源的个数及其准确方位,算法的分辨率较低,估计效果差。而全空间加权MUSIC算法和基于特征值聚类的MUSIC算法则能够明显分辨出4°以内的多个目标,达到超分辨的效果。因此改进后的算法即使多个目标处在同一个波束内,依然能够准确估计出多个目标的具体方位。

图2 3种方法的分辨性能对比图

实验二:对DBSCAN算法低信噪比下的聚类效果进行考察。假设存在3个目标源,其入射角度分别为70°,50°,90°;信噪比设为0,-10,-15 dB。

为对聚类结果进行可视化,对特征值进行了处理,处理后的特征值为10*lg(真实特征值)。图3中最大的特征值对应信噪比为 0 dB 的强目标回波信号,蓝色标记最小的特征值对应信噪比为-20 dB的弱目标回波信号。从图中可以看出,基于特征值聚类的MUSIC算法在强目标的掩盖下依然能够有效区分出弱目标的特征值,这说明在使用DBSCAN算法对特征值进行聚类时,其聚类结果不受异常值的影响,因此该算法对于不同目标强度的信源依然能够取得较好的估计结果。

图3 DBSCAN算法聚类结果示意图

实验三:在不同参数下,对DBSCAN算法的聚类效果进行分析。假设存在2个目标,其目标强度相同,使用该算法对目标个数进行1 000次估计,计算其正确估计的概率。

图4和图5分别给出了2种参数对聚类结果的影响。在选取邻域半径时,若半径范围选取较小,在低信噪比时,能够取得较好的聚类效果,但对噪声特征值很敏感,容易将噪声特征值标记为信号特征值;若邻域半径选取较大,在低信噪比时,容易将信号特征值标记为噪声特征值。在选取对象数目阈值时,较大的对象数目阈值在低信噪比下能够取得较好的聚类效果,较小的阈值则在高信噪比下更适合。在实际应用中,应当根据实际的背景噪声来确定参数的选取。

图4 不同邻域半径REps对聚类结果的影响

图5 不同对象数目阈值PminPts对聚类结果的影响

4 结 论

在目标信号源未知的情况下,本文提出了一种基于特征值聚类的改进型MUSIC算法,给出了算法的流程,然后通过仿真验证了其超分辨性能,强目标下对弱目标特征值的聚类效果,最后给出不同参数对聚类效果的影响。应当指出的是,在对目标源个数进行判定时,漏判目标会导致将信号子空间当成噪声子空间,此时对目标方位的估计将会产生错误;若多判目标将会减少噪声子空间的个数,对目标方位估计的结果影响有限。因此在对DBSCAN算法选取参数时尽量将邻域半径选取在较小的水平。