数学思想在解答圆锥曲线问题中的应用

施建华

圆锥曲线问题具有较强的综合性，通常会综合考查圆锥曲线的定义、性质，平面几何图形的性质、定理，向量的坐标运算法则，方程的判别式、韦达定理，函数的图象、性质.在解答圆锥曲线问题时，可灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、转化思想、方程思想等来辅助解题，这样有利于提升解题的效率.

一、数形结合思想

数形结合思想是指根据数与形之间的等价关系来进行互化，从而使问题获解.数形结合思想是解答圆锥曲线问题的重要思想.我们知道，每一种圆锥曲线都有与其对应的方程和图形，因此在解答圆锥曲线问题时，可以根据解题需求，由圆锥曲线的方程画出图形，化数为形；由圆锥曲线列出方程，以形助数，将问题转化为方程问题或者图形的位置关系、性质问题来求解.

例1.

解：

设出 P 点的坐标后，便可根据已知条件快速求得关于 P 的坐标的方程，可将该方程视为圆心为 E（-2， 1） 、半径为2的圆.P 点是圆 E 上的动点，而 E、D 的距离是固定的，通过研究图形可知，d4的最大值为| ED| +r ，d4的最小值为|ED| -r .这样，通过方程与对应曲线之间的互化，把数形结合起来，即可将问题转化为圆外一点到圆上一点的最大（小）距离问题，利用圆的几何性质以及定义就能快速求得问题的答案.

例2.

解：

解答本题，需运用数形结合思想，结合图形中点、曲线、矩形的位置关系，根据向量的坐标运算法则、直线的斜率公式，建立关于 a、b、c 的方程，即可通过解方程组，求得双曲线的離心率.

二、函数思想

函数思想主要用于求圆锥曲线的最值、参数的取值范围.在运用函数思想解题时，往往要先利用圆锥曲线的性质、定义、方程，求得目标式；然后选取合适的变量，将目标式视为关于该变量的函数式，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.

例3.已知 P（a，b） 是直线 x+y =2k 和圆 x2+y2=k2

解：

由于 P 点是直线与圆的公共点，所以 P 点的坐标同时满足直线与圆的方程，于是将其分别代入直线与圆的方程中，建立关于 a、b、k 的关系式，并通过恒等变换，用 k 表示出 ab，再将其看作关于 k 的一元二次函数式，利用一元二次函数的性质求得 ab 的最大值.在运用函数思想解题时，要注意选取合适的对象作为变量，并求出变量的取值范围.在本题中，我们将直线的方程与圆的方程联立，通过消元y 得到一元二次方程，从而求得变量 k 的取值范围.

三、转化思想

转化思想是指采用一些手段，如换元、引入待定系数、构造数学模型等，通过变换，使问题得以转化.运用转化思想解答圆锥曲线问题，需将已知条件和所求目标关联起来，通过添加辅助线，构造圆、双曲线、抛物线、椭圆，将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题，以根据圆锥曲线的性质、定义、方程解题.

例4.如图3，已知抛物线 C：y2=8x 的准线为 l ，圆 E：（x +1）2+（y -4）2=1，点 P、Q 分别是抛物线 C 和圆 E 上的动点，点 P 到准线 l 的距离为 d ，则|PQ| +d 的最小值为    .

解：

我们先根据抛物线的定义、圆的性质，将|PQ| +d 的最小值问题转化为两点 E、F 之间的最小距离问 题；然后结合图形确定两点距离最小时的情形：E、P、 F 三点共线，据此建立关系式，求得问题的答案.

可见，运用数学思想，能高效解答圆锥曲线问题.在解题时，同学们需根据解题需求，将问题与所学的函数、方程、平面图形等知识关联起来，灵活运用数形结合思想、函数思想、转化思想来辅助分析、解答问题，以提升解题的效率.

（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）