随机Zakharov格点方程的后向紧随机吸引子①

张琳， 李扬荣

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

若随机吸引子的后向并是预紧的, 则称该吸引子为后向紧随机吸引子.文献[1-6]研究了吸引子的存在性以及吸引子的后向紧性, 并建立了相对完善的理论体系.文献[7-11]对随机Zakharov格点方程的吸引子进行了研究.本文将在文献[10]的基础上, 研究带有乘法噪音的随机Zakharov格点方程的后向紧吸引子的存在性.

1 非自治随机动力系统

本文将在l2×2空间上讨论如下带有乘法噪音的非自治随机Zakharov格点方程:

(1)

其中α,λ,β,γ>0, Z是整数集

(W1,W2)是定义在度量动力系统(Ω,F, P, {θt}t∈R)上相互独立的双边实值维纳过程, 其中

Ω={ω=(ω1,ω2)∈C(R, R×R):ω1(0)=ω2=0}

F是Ω上由紧开拓扑生成的Borelσ-代数, P是(Ω,F)上的维纳测度.在Ω上定义映射族

{θt}t∈R:θtω(·)=ω(·+t)-ω(t) (ω,t)∈Ω×R

∘表示Stratonovich积分意义下的乘法噪声.对于外力项

g(t)=(gk(t))k∈Zh(t)=(hk(t))k∈Z

有如下假设:

(2)

(3)

(4)

(5)

令

空间l2或2上的有界线性算子A的定义为

(Ab)k=2bk-bk+1-bk-1

(Bb)k=uk+1-uk(B*b)k=bk-1-bkb=(bk)k∈Z

则A=B*B=BB*, 并且满足‖Bb‖2≤ 4‖b‖2.

对任意u=(uk)k∈Z,v=(vk)k∈Z∈l2,2, 定义空间l2和2上的内积和范数分别为

(u,v)λβ=λ(Bu,Bv)+λβ(u,v)

(φ1,φ2)=(u1,u2)λβ+(y1,y2)+(v1,v2)

令

(6)

(7)

则方程(1)可以转化为以下等价形式:

(8)

令

令φ0=(u0,y0,v0)T, 则方程(8)可以改写为如下简单矩阵形式:

(9)

由文献[8,10]可知, 若假设(F1)-(F3)成立, 对∀T>0,φ0∈E, 方程(8)存在唯一的解φ(·,τ,ω,φ0)∈C([τ, +∞),E), 且依赖于初值φ0连续.因此方程(8)在(Ω,F, P, {θt}t∈R)上能生成一个连续的随机动力系统{Φ(t)}, 对φ0∈E,t≥0,τ∈R,ω∈Ω, 有

Φ(t,τ,ω,φ0)=φ(t+τ,τ,θ-τω,φ0)

可以验证Φ是一个非自治的随机动力系统, 即满足

Φ(0,τ,ω,·)=idΦ(t+s,τ,ω,·)=Φ(t,τ+s,θsω,·)∘Φ(s,τ,ω,·)

在下文中, 设D是X中所有后向缓增集构成的集合, 若集合D∈D当且仅当

(10)

2 解的估计

引理1若假设(F1)-(F3)成立, 则对任意后向缓增集D∈D, ∀τ∈R,ω∈Ω, 存在T=T(D,τ,ω)≥1, 使得当φs-t∈D(s-t,θ-sω)时, 有

(11)

其中

(12)

证对任意固定的τ∈R,ω∈Ω,φs-t∈D(s-t,θ-tω), 令

φ(r)=φ(r,s-t,θ-sω,φs-t)

其中s≤τ.φ(r)与方程(9)作内积, 可得

(13)

对于(13)式中的每一项, 利用Hölder不等式以及Young不等式, 可得

(14)

(15)

令

则由(13)-(15)式可得

(16)

对(16)式利用Gronwall不等式, 可得

(17)

由假设(F3)可得

对(17)式关于s∈(-∞,τ]取上确界, 结合(10)式可知, 存在T(D,s,ω)≥1, 使得当t≥T时, 有

因此(11)式得证, 即

引理2若假设(F1)-(F3)成立, 则对∀η>0,(τ,ω,D)∈(R×Ω×D),φs-t∈D(s-t,θ-sω), 存在T(η,τ,ω,D)>0,k(η,τ,ω,D)≥1, 使得

证构造一个光滑函数ρ(s)∈C1([0, ∞),[0, 1]), 满足: 当|s|≤1时,ρ(s)=0 ; 当|s|≥2时,ρ(s)=1; 当1≤s≤2时, 0≤ρ(s)≤1; 且|ρ′(s)|<ρ0,ρ0>0.令

其中

(18)

易证

则有

(19)

(20)

(21)

将(19)-(21)式代入(18)式, 可得

(22)

其中c1,c2,…,c9为常数, 对(22)式利用Gronwall引理, 可得

(23)

因为φs-t∈D(s-t,θ-tω)(s≤τ), 结合(10)式可得

(24)

由引理1和假设(F1)-(F3)可得, 存在T>0, 当t>T时, 有

(25)

(26)

(27)

(28)

因此, 由(25)-(28)式可得, 对∀η>0,(τ,ω,D)∈(R×Ω×D),φs-t∈D(s-t,θ-tω), 存在T(ε,τ,ω,D)>0,k(ε,τ,ω,D)≥1, 使得

3 后向紧随机吸引子

定理1若假设(F1)-(F3)成立, 则方程(1)所生成的动力系统存在后向紧随机吸引子.

证因为{Φ(t)}t≥0满足文献[12](定理3.9)中的拉回吸引子的两个存在性条件:

(i)非自治随机动力系统 {Φ(t)}t≥0存在D-拉回随机吸收集K∈D, 其中

K(τ,ω)={w∈E: ‖w‖2≤1+R0(τ,ω)} ∀τ∈R,ω∈Ω

(ii)非自治随机动力系统{Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D, 其中

由文献[4]可得, 非自治动力系统{Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向紧的.因此方程(8)生成的非自治随机动力系统Φ(t)存在唯一的后向紧D-拉回吸引子A∈D和唯一的可测D-拉回吸引子A∈D.再由文献[13]中的定理6.1知A=A, 故吸引子A也是随机的, 即Φ(t)存在唯一的后向紧D-拉回随机吸引子A∈D.再由文献[14-15]可知方程(1)与(8)生成的随机动力系统共轭, 进而可得方程(1)存在后向紧随机吸引子.