对一道三角函数求值问题的解法的探究

马娟娟

三角函数求值问题的难度一般不大，侧重于考查三角函数的基本公式和性质的应用.常见的命题形式有：（1）根据已知角，求三角函数式的值；（2）根据已知三角函数式，求某个角的大小；（3）根据已知角的关系式，求三角函数式的值.下面结合一道题目，谈一谈三角函数求值问题的解法.

例题：已知α是三角形的一个内角，若 sinα- ，求 tanα的值.

题目中给出的条件较少，却涉及了正弦、余弦、正切三种函数.要求得 tanα的值，需将正弦、余弦化为正切，或求得角α的三角函数值.主要有以下三种方法.

一、利用三角函数的定义

若α是一个任意角，它的终边与半径为r 的圆交于点P（x，y），其中r=√x?+y?， 则α的正弦为sinα，余弦为 ，正切为 ，这是三角函数的定义.在求某个角的三角函数值时，我们可以先根据三角函数的定义构造圆，设出角的终边与圆的交点的坐标，并用其坐标和圆的半径表示角的正弦、余弦、正切；然后根据已知关系式建立关于x、y、r 的新关系式，通过化简、消元，求得三角函數的值.

解：

根据三角函数的定义解题，需构造圆，将角的终边上的点的坐标与圆的方程关联起来，借助角与圆、交点坐标之间的关系来建立新关系式.

二、构建方程（组）

构造方程（组）是解答求值问题的重要方法.在求三角函数的值时，往往要根据题意和已知关系式建立关于所求角、函数式的方程（组），通过解方程（组）来求得角、三角函数式的值.

解法1.

解法2.

我们将已知关系式平方，并根据同角的三角函数平方关系式 sin?α+cos?α=1化简得 ，再将该式与sin?α+cos?α=1相加得到 ，构造出方程组，即可通过解方程组求得三角函数的值.在求某个角的三角函数值时，要灵活运用同角的三角函数平方关系式sin?α+cos?α=1和商式关系式建立更多关于角的关系式. ，这样可以

三、弦切互化

当遇到三角函数名不统一的求值问题时，往往要将正弦、余弦、正切进行互化，使得三角函数式中的角统一.进行弦切互化常用的公式有以及sin?α+cos?α=1

解法1.

解法2.

该解法主要运用了正切的二倍角公式和同角三角函数的商式关系式 ，将弦化为切，从而顺利求得 tanα的值.

总之，解答三角函数求值问题需注意几个关键点：（1）仔细观察题目中的三角函数式，尤其要关注角、函数名称的异同；（2）将已知关系式和所求目标式关联起来，寻找合适的公式进行恒等变换，以将已知关系式逐步向目标式靠拢；（3）灵活运用三角函数的基本公式、定义、性质.

（作者单位：江苏省东台中学）45