灵活运用转化思想，高效解答不等式存在性问题

孙建丽

不等式存在性问题虽比较常见，但难度系数较大，采用常规方法很难使问题获解.我们可以运用转化思想，根据不等式的结构特征构造函数模型，将不等式存在性问题转化为函数最值问题来求解.

常见的转化思路为：

1.Vx?∈M，Vx?∈N，f（x?）>g（x?）?f（x?）m>g（x?）mx;

2.Vx?∈M，3x?∈N，f（x）>g（x?）?f（x?）mm>g（x?）im;

3.3x?∈M，3x?∈N，f（x）>g（x?）?f（x）    >g（x） ;

4.3x?∈M，Vx?∈N，f（x;）>g（x?）?f（x?）>g（x?）    ;

5.3x ∈D，F（x）=f（x）-g（x），f（x）>g（x）?    F（x）m>0（x ∈D）.

在解题时，我们可以从不等式的结构和特点出发，结合已有的知识和解题经验，构造出一个新函数，利用转化思想，将问题转化为函数最值问题.再判断出函数的单调性，即可利用函数的单调性求得最值，从而求得问题的答案.

例1.已知函数

（1）若函数f（x）在（1，+x）上是减函数，求实数a 的最小值；

（2）若3x?，x?∈[e，e?]，  使 f（x）≤f'（x?）+a   成立，求实数a 的取值范围.

解：

我们从已知条件出发，结合第一个问题的结论，运用转化思想，将"若3x，x?∈[e，e']，  使 f（x）≤f（x?）+a  成立"等价转化为"当x ∈[e，e']时，f（x）m≤ f'（x）+a".   由（1）知当x ∈[e，e?]时， 则问题可等价转化为"当x∈[e，e']时，有 这样只要利用导数法求出 f（x）mm，就能顺利确定参数的取值范围.

例2.

解：

先將不等式变形，使变量、参数分离，再构造函数 F（x）， 那么只要满足"3x ∈[e，e?]，a≥F（x）"即可.这就将不等式问题等价转化为函数最值问题，讨论导函数与函数的单调性，求出函数的最小值，即可确定参数的范围.在解题时，要注意判断所选的临界值是函数的最大值还是最小值，以免得出错误的答案.

可见，解答不等式存在性问题，需明确函数与不等式之间的关系，构造出合适的函数模型，灵活运用转化思想，将问题转化为求函数的最值来求解，这样就能化难为易，化繁为简，有效地提升解题的效率.

（作者单位：江苏省盐城市射阳县高级中学）