数形结合思想在解答函数和不等式问题中的应用

刘涛

数形结合思想是结合代数关系式与几何图形来解题的思想.数形结合思想是解答高中数学问题的重要思想，在解题中应用广泛.运用数形结合思想解题，需深入挖掘代数关系式的几何意义，画出相应的几何图形；或根据几何图形及其位置关系建立代数关系式，通过代数运算解答问题.下面结合实例，谈一谈如何运用数形结合思想解答函数与不等式问题.

一、解答函数问题

函数的解析式与图象是函数的两种重要表示方式.因此在解答函数问题时，可以运用数形结合思想，根据函数的解析式画出相应的函数图象，根据函数的图象写出相应的函数解析式，从代数和几何两个角度寻找解题的思路.

例1.如果实数x，y满足（x-2）?+y?=3，  那么 的最大值是（  ）.

解：

我们将（x-2）?+y?=3看作一个圆，将看作点（x，y）与原点连线的斜率，这样便把问题转化为直线与圆的位置关系问题，通过分析直线与圆的位置关系，将数形结合起来，快速求得问题的答案.

例2.如果函数f（x）=x?+2（a-1）x+2在区间（-，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）.

A.a≥-3     B.a≤-3     C.a≤5     D.a≥3

解：先根据函数的解析式画出 f（x）的图象，如图2.由图可知在对称轴x=-（a-1） 左侧的函数图象单调递减，要使 f（x）在（-x，4）上是减函数，需使4≤-（a-1），  解得a≤-3.

根据函数的解析式画出相应的函数图象，便可通38 过分析函数图象的增减性，确定函数的单调区间，进而快速确定a 的取值范围.由此可见，利用数形结合思想，可使问题变得更加直观、简单.

二、解答不等式问题

利用数形结合思想解答不等式问题，往往需将代数式与几何图形关联起来，如将、（x-a）?+（y-bβ  与两点间的距离、将ax 与直线的方程、将x?与抛物线等关联起来，进行数形互化，可顺利求得问题的答案.

例3.

解：

将y=√5-4x-x?  变形可得（x+2）?+y?=9，  该式表示半径为3，圆心为（-2，0）的圆的上半部分，而y=x  可视为过原点的直线.画出几何图形，即可找到使√5-4x-x?≥x  成立的点的集合.运用数形结合思想，可大大简化运算的过程.

运用数形结合思想解题，不一定要画出精准的图形，对于一些较简单的问题，只需画出大致的图形即可.但對于一些较为复杂的问题，往往要画出比较准确的图形，才能顺利求得问题的答案.

（作者单位：山东省青岛平度市职业教育中心学校）