用穿针引线法解分式不等式的步骤

夏忠花

分式不等式是高中数学中的一个重要的知识点.解分式不等式问题的难度一般不大，需对不等式进行适当的变形，以通过分解因式快速求得问题的答案.解答此类问题常用的方法是"穿针引线法".即画一条波浪形曲线，从第一个零点的右上方依次穿过每一个零点，穿过最后一个零点后就不再改变曲线的方向.这种画法又称为"数轴标根法".

穿针引线法主要适用于解形如 的不等式.运用穿针引线法解不等式的基本步骤为：

第一步，将不等式进行等价变形.

一般地，①等价

②等价于

③等价于

④等价于

第二步，对分子、分母的乘积 f（x）g（x） 进行因式分解；

第三步，令分子、分母的乘積f（x）g（x）为0，求得各个因式的零点，即方程的根，并在数轴上标出各个根.若零点不可取，则用空心点表示.若零点可取，则用实心点表示；

第四步，画一条波浪形曲线，从数轴上第一个零点的右上方依次穿过每一个零点，直至穿过最左侧的零点；

第五步，得出不等式的解集.数轴上方曲线对应的区间为代数式f（x）g（x）大于0的解集，数轴下方曲线对应的区间为代数式f（x）g（x）小于0的解集.

下面举例加以说明.

例1.解分式不等式：

解：

在解分式不等式时，要先考虑分母不为0的情形，即（x+1）（x-3）≠0， 以将x=-1、x=3  的情况剔除掉；然后将分子、分母的乘积进行因式分解，求得各个因式的零点，并在数轴上依次标出各个零点-1、1、2、3;再用一根线从数轴上第一个零点的右上方依次穿过每一个零点，即可根据数轴上的曲线所对应的区间求得不等式的解集.

例2.解不等式：

解：

先要仔细观察不等式左右两端的式子是否可以移项、通分、消元，以将不等式化简为一边为0的形式，这样便于对其进行因式分解；然后在数轴上标出方程的各个根，用一根曲线穿过这些根，取数轴下方曲线对应的区间，即可求得不等式的解集；最后还需检验各个零点是否可取.

可见，穿针引线法的巧妙之处就在于用数轴简洁明了地呈现出方程的根的分布情况以及不等式的解集.运用穿针引线法，可将不等式问题转化为数轴上的点集问题，通过数形结合快速求得问题的答案.

（作者单位：江苏省盐城市射阳县高级中学）37