谈谈一类数列通项公式问题的解法

晏炳刚 涂元梅

求数列的通项公式问题的常见命题形式，是根据递推关系式求数列的通项公式.而数列的递推关系式多种多样，通项公式的求法也各不相同.对于形如 an+1=pan+f（n）（p≠0，p≠1） 递推关系式，其中f（n）有两种情形：（1）f（n）=tmn"+tm-，m"-?+…+t2n?+t，n+t?;（2）f（n）=s?*p?+s?q"+…+sm ·r".   本文就形如 an+1= pa，+f（n）（p≠0，p≠1）  的递推关系式以及求数列通项公式的方法进行了总结归纳，以供大家参考.

一、f（n）=tmn"+tm-;n"-?+…+t2n?+tn+t?

当 f（n）=tan"+tm-，n"-?+…+t2n?+t，n+to   时，可用待定系数法构造出辅助数列.首先将an+1=pa，+f（n）设为an+1+g（n+1）=p（am+g（n）， 通过对比新旧递推关系式中各项的系数，建立方程求得g（n）， 即可构造出新等比数列{a，+g（n）}， 其公比为 p.根据等比数列的通项公式求得a，+g（n）的表达式，即可求得数列{a}的通项公式.

例1.已知数列{a}的首项为 a?，an+1=pa 。+ q（n≥1）， 求数列{a.}的通项公式.

解：

本题中的f（n）=q，  为常数，较为简单，我们只需引入待定系数λ，设出递推关系式，并根据原递推关系式建立方程，求得λ的值，即可构造出等比数列.根据等比数列的通项公式求得 和an 的表达式，即可解题.

例2.已知数列{a}的首项为a?，an+1=paa+an+ b（n≥1），求数列{a.}的通项公式.

解：

本题中f（n）=an+b，  需引入待定系数λ，利用待定系数法求得λ的值，构造出等比数列{an+g（n）}， 再根据等比数列的通项公式进行求解.

例3.已知数列{a}的首项为a?，an+?=pa 。+an?+ bn+c（n≥1）， 求数列{a.}的通项公式.

解：

构造出等比数列后，可得出an=[a?+g（1]p"-'-g（n），只需将a?和 g（n）代入该式中，即可求得a， 的表达式.在运用待定系数法解题时，要根据恒等式的性质——新旧递推关系式中次数相同的项的系数相等，来建立方程，进而求出待定系数.

二、f（n）=s ·p?+s?*q?+…+sm ·r"

当 f（n）=s：p"+s?q?+…+sm ·r°时，n 为指数，仍需运用待定系数法来构造辅助数列，通过求辅助数列的通项公式求得数列{a，}的通项公式.若 f（n）为多项式，就需引入多个系数，以将递推关系式αn+1=pa%+ f（n）变形为an+1+g（n+1）=p（an+g（n），  从而构造出合适的辅助数列{an+g（n）}.

例4.已知数列{a}的首项为a?，an+=pa，+q ·r"（n≥1，p≠0），  求数列{a.}的通项公式.

解：

因为n 是正整数，且是数列的自变量，所以在用待定系数法时，要根据恒等式的性质——两个同底指数式的系数相等，来建立方程，求出待定系数.

例5.已知数列{a}的首项为a?，an+1=pa，+q*r*+t · s"（n≥1，p≠0），  求数列{a，}的通项公式.

解：

根据辅助数列{a，+g（n）}可得出a，=（a?+g（1）p*-1  -g（n）， 再用待定系数法求出 g（n）， 即可求出数列的通项公式.

例6.已知数列{a，}的首项α?=1，满足an+1=5a+2·3"+4（n≥1）， 求数列{a}的通项公式.

解：

解答本题，需引入两个待定系数λ、μ，以构造出辅助数列{an+3"+1}， 再根据等比数列的通项公式求得问题的答案.

例7.已知数列{a，}的首项q?=1， 满足an+1=3a+2*+2n-1（n≥1）， 求数列{a}的通项公式.

解：

本题中 f（n）=2"+2n-1，   在运用待定系数法构造辅助数列时，要引入三个参数λ、μ、γ，以构造出辅助数列{aa+2"+n}.

对于形如an+1=pan+f（n）（p≠0，p≠1）  的递推关系式，在求数列的通项公式时，要关注f（n）的结构特征，根据其结构特征引入待定系数，以运用待定系数法构造出新等比数列，将问题转化为简单的等比数列通项公式问题来求解.

（作者单位：晏炳刚，重庆市綦江中学；涂元梅，重庆市綦江区南州中学）