用方程思想解答直线与圆锥曲线问题的思路

吴维军

直线与圆锥曲线问题比较常见，常见的命题形式有：（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系；（2）根据直线与圆锥曲线的位置关系求直线或圆锥曲线的方程，求参数的取值范围.此类问题侧重于考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线的方程、斜率，圆锥曲线的方程、定义、几何性质.

解答此类问题常需用到方程思想.运用方程思想解答直线与圆锥曲线问题的步骤为：

第一步，引入参数，设出直线的方程、斜率，曲线的方程，点的坐标.一般需根据题意明确已知量，将未知的量用参数表示出来；

第二步，将直线与曲线的方程联立，消去其中一个元，从而得到一个一元二次方程；

第三步，求出方程的判别式△的表达式，并在保证判别式△>0的前提条件下，写出根与系数之间的关系式（韦达定理）;

第四步，根据韦达定理进行整体代换，得到含参等量关系式；

第五步，通过等量代换，将第一步中设出来的参数消除掉.消参的常用方法有整体代入消参、局部换元消参等；

第六步，化简所得的结果，根据相关的公式、性质、定义求得问题的答案.

在上述六步中，比较关键的步骤是第一、四步.若设出的参数合适，则能简化运算，否则会陷入计算的困境.而在运算的过程中，利用韦达定理，不仅可以绕开繁琐的求根过程，还可以快速找到两根之间的关系，通过整体代换来简化运算.

例题：

解：

解答本题，要先根据题意设出直线的方程；然后将直线与椭圆的方程联立，通过消元构造一元二次方程；再根据韦达定理和弦长公式求得|PQ|＼MN|; 最后通过消参，运用基本不等式求得的最小值.在设直线的方程时，要明确已知条件，若已知直线上某个点 P 的坐标（xo，yo）， 则需设出直线的斜率h， 得到直线的点斜式方程： y-yo=h（x-x?）;若已知直线的斜率 ho，则需设出直线的截距m， 得到直线的斜截式方程： y=h?x+m;若题目中斜率、截距都是未知的，則需引入参数h 和 m， 设直线的方程为y=hx+m.

虽然直线与圆锥曲线问题的难度较大，解题时的运算量较大，但是我们只要灵活运用方程思想建立方程（组），巧妙运用韦达定理，即可简化运算，快速求得问题的答案.

（作者单位：江苏省如东县马塘中学）