基本不等式的几种配凑技巧

张森

基本不等式： a+b≥2√ab（a 、b>0）  是一种较为常用的工具，常用于解答最值问题、参数的取值范围问题.运用基本不等式有两个关键点：（1）配凑出两式的和或者积；（2）确保三个前提条件：一正、二定、三相等成立.本文主要探讨一下配凑基本不等式的和或积的几种技巧.

一、分离常数

分离常数是指将目标式进行适当的变形，使代数中的分式与整数分离出来，从而构造出两式的和或积，进而运用基本不等式解题.此种方法适用于求解目标式为分式，且分子的最高次数高于分母的最高次数的最值问题.

例1.

解：

当遇到形如的代数式时，需将分子配凑成分母的倍数，把原式变化为形如y=Af（x）+的式子，使常数分离出来，就能直接利用基本不等式来求得y 的最小值.若 f（x）为负数，则需将函数式变形为的形式，再运用基本不等式求最值.

二、整体代换

整体代换是将某个数值或者已知的代数式代入所求的式子中进行运算，以便配凑出两式的和或积.运用此种方法解题，需要在解题前仔细观察目标式与所给关系式之间是否存在某种特定的关系或联系；然后将已知式整体代换，化简目标式，从而配凑出两式的和或积.

例2.已知实数x，y 满足x?+y?-xy=1， 求x+y 的最大值.

解：

通过分析题目，能够发现已知关系式与目标式之间存在一定的关系：（x+y）?=（x?+y?-xy）+3xy，   于是将已知关系式x?+y?-xy=1进行整体代换，得到（x+y）?=1+3xy.然后将 xy 看作两式的积，运用基本不等式 a+b≥2√ab（a、b>0）即可求得最值.

三、取倒數

有些分式中分母的最高次数高于分子的最高次数，此时很难快速求得代数式的最值，可取分式的倒数，再将其进行合理的变形、拆分，得到两式的积或者和，就能够运用基本不等式解题.

例3.

解：

该分式中分母的最高次数高于分子的最高次数，且较为复杂，不妨取分式的倒数，再将其变形为两式的积，便可运用基本不等式求得代数式的最值.

总之，运用基本不等式解题，需根据代数式的结构特征，将其进行变形，灵活运用一些配凑技巧，如分离常数、整体代换、取倒数，以配凑出两式的和或积，只要使和或积其中之一为定值，并确保两式大于0，即可运用基本不等式快速求得代数式的最值.

（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）