电动车动力总成悬置系统的全局灵敏度分析

2023-07-14吕辉张海标李长玉魏政君

湖南大学学报（自然科学版） 2023年6期

吕辉，张海标，李长玉，魏政君

（1.华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州 510641；2.重庆理工大学汽车零部件先进制造技术教育部重点实验室，重庆 400054；3.广州城市理工学院汽车与交通工程学院，广东广州 510800）

受加工制造、装配与测量误差、材料老化和复杂工况等因素的影响，工程结构不可避免地存在各种不确定性因素［1-2］.不确定性广泛地存在于汽车动力总成悬置系统（Powertrain Mounting System，PMS）中，对不确定情形下的PMS振动特性进行研究具有重要意义.

近年来，基于不确定性分析的汽车PMS 研究已经取得很大进展.其中，概率模型［3］已被广泛用于处理PMS 参数的不确定性.陈剑等［4］将悬置刚度参数视为服从正态分布的概率变量，结合稳健设计与多目标优化，提出一种PMS的多目标稳健优化方法.谢展等［5］将悬置刚度等关键参数处理为概率变量，结合多目标优化方法对汽车PMS 进行稳健性设计.此外，Xin 等［6］将悬置刚度处理为概率变量，结合多目标优化模型和遗传算法，提出一种针对PMS 的多目标鲁棒优化方法.上述研究均将系统不确定参数视为相互独立的概率变量，该情形下的PMS 研究已相对成熟.

汽车PMS结构十分复杂，其悬置刚度、安装位置和角度、惯性参数和阻尼参数等的不确定性都会影响系统性能，进而影响整车舒适性.因此，准确选择对系统影响较大的不确定参数对PMS 进行优化设计，是降低整车振动和噪声的关键.一般地，可以通过开展灵敏度分析来甄别对PMS性能影响敏感的不确定参数.例如，刘达斌等［7］对PMS悬置的各刚度参数进行灵敏度分析，确定系统的敏感参数，进而对悬置刚度进行优化设计.张武等［8］对PMS 悬置刚度参数进行灵敏度分析，进而提出一种PMS 的多目标稳健优化方法.Şendur 等［9］选取PMS 悬置的安装位置和刚度为研究参数，结合灵敏度分析和响应面法对PMS的刚体模态和能量分布进行优化设计.可见，目前国内外关于PMS的灵敏度分析也形成了一定的研究成果，相关研究主要涉及的是局部灵敏度分析工作.

对于目前PMS的不确定性分析和灵敏度分析研究，可以总结出如下不足：①现有的PMS不确定性分析主要讨论系统的不确定参数相互独立的情况.然而，在工程实际中，机械结构参数之间并非完全独立，而往往存在一定相关性［10］.例如，电动汽车PMS广泛采用的橡胶悬置，其三向刚度参数往往就存在一定相关性.若直接将这些不确定参数视为独立变量，则很可能会导致计算结果与实际情况存在较大偏差.②现有的PMS灵敏度分析研究中，关于全局灵敏度的研究较少，且常将系统参数处理为确定参数，没有考虑参数分布对系统响应的影响，亦鲜有考虑参数之间的相关性.因此，同时考虑系统参数的不确定性和相关性，对PMS 进行全局灵敏度分析具有重要的研究价值.

针对上述问题，本文旨在提出一种电动汽车PMS 不确定参数存在相关性时的系统固有特性全局灵敏度分析方法.方法能充分考虑参数不确定性和相关性对全局灵敏度分析结果的影响.首先，采用含相关性的概率变量描述PMS不确定参数；然后，提出一种基于方差分解的全局灵敏度分析方法；接着，给出求解全局灵敏度指数的方法及其分析步骤；最后通过数值算例验证方法的有效性.

1 电动汽车PMS固有特性计算

1.1 固有频率计算

电动汽车PMS 常使用三点布置形式，图1 为某电动汽车PMS的三维模型及其对应的六自由度动力学模型.

建立动力总成坐标系G0-XYZ和悬置局部坐标系ei-uiviwi（i=1，2，3），其中原点G0位于总成质心处，X轴正方向与汽车行驶方向相同，Z轴正方向垂直于地面向上，Y轴正方向根据右手定则确定.PMS固有频率［11］可由式（1）求得.

式中：K、M和I分别表示系统刚度、质量和单位矩阵；φj为第j阶阵型.求解式（1），可得系统的6 阶固有频率fj=λj/2π，j=1，2，…，6.

1.2 解耦率计算

系统振动时，其能量分布在6 个方向上.当系统以第j阶固有频率fj和振型φj振动时，第s个广义坐标所占的能量百分比［11］为：

式中：φsj与φpj分别为φj的第s个和第p个元素；Msp为M的第s行第p列元素.

第j阶振动对应的解耦率为：

当dj=100%时，表示系统第j阶振动时能量全部集中在某广义坐标上，该阶振动完全解耦.

2 考虑不确定参数相关性的PMS 全局灵敏度分析

电动汽车PMS 参数受加工、装配误差和材料老化等因素影响，其取值通常具有一定随机性，常用概率模型来描述.本节将基于方差分解推导PMS 不确定参数为概率变量且具有相关性时的全局灵敏度分析公式，并引出表示敏感性程度的一阶与总体全局灵敏度指数［12］.为方便表述，将PMS的固有特性响应函数用y=y(x)表示.其中，x为描述系统不确定参数的n维概率向量，x=[x1，x2，…，xn]T，其联合概率密度函数记为p(x).

2.1 全局灵敏度指数

将x分为两组向量u=[x1，x2，…，xs](1 ≤s＜n)和v=[xs+1，…，xn]，即x=[u v]T.则系统响应y(x)的总方差可表示为：

式中：D表示y(x)的总方差；Du[ · ]和Eu[ · ]分别表示方差和均值运算.Du[Ev(y(u，))]表示当向量u为定值时，系统响应方差的平均减小量；Eu[Dv(y(u，))]表示当向量u为定值时，系统响应方差的平均剩余量［13］.概率向量(u，)的联合概率密度函数为p(u，).将式（4）总方差标准化，可得：

式中：等号左边第1项为向量u的一阶全局灵敏度指数；第2项为向量v的总体全局灵敏度指数.可分别表示为：

类似地，向量u的总体全局灵敏度指数可表示为：

式（6）和式（8）即是概率向量u相对于系统响应的一阶和总体全局灵敏度指数.实际上，这2 个指数均为Sobol 指数［13-14］的推广.下面将基于蒙特卡洛法提出一种计算这2个指数的方法.

2.2 一阶全局灵敏度指数计算

将式（6）展开可得：

式中：p(u)是联合概率密度函数p(u，v)的一个边缘分布函数；p(u，|u)是一个条件概率密度函数.y0为y(x)的均值，可表示为：

式（9）和式（10）可以分别等效表示为：

将贝叶斯公式p(u，|u)p(u)=p(u，v)和式（12）代入式（11）可得：

采用蒙特卡洛法对式（13）进行估计［12］可得

式（14）表明，要计算系统响应对概率向量u的一阶全局灵敏度指数，需要构造3 个样本集：(u，v)、(u′，v′)和(u，′).这些样本的构造方法将在后文中具体描述.

2.3 总体全局灵敏度指数计算

式中：Dv[Eu(y(，v))]表示当向量v为定值时，系统响应方差的平均减小量［13］.总方差D可展开为：

基于式（11）、式（15）和式（16），并结合贝叶斯公式可将表示为：

通过进一步推导，式（17）可等效表示为：

采用蒙特卡洛法对式（19）进行估计［12］可得：

式（20）表明，要计算系统响应对概率向量u的总体全局灵敏度指数，需要构造两个样本集(u，v)和(，v)，其构造方法将在后文中具体描述.

PMS的不确定参数由概率向量x描述，故当向量u=[x1，x2，…，xs](1 ≤s＜n) 和v=[xs+1，…，xn] 中取s=1 时，即可求得PMS 中的某个不确定参数的全局灵敏度指数.

3 正态分布情形下考虑相关性的PMS 全局灵敏度分析

现有研究多数情况下采用正态分布的概率变量描述PMS的不确定参数.因此，本文主要研究具有相关性的不确定参数服从正态分布时的PMS全局灵敏度分析.

3.1 正态分布情形下考虑相关性的灵敏度指数

当概率向量x=[x1，x2，…，xn]T服从正态分布时，根据其均值向量μ和协方差矩阵C，其累积分布函数可表示为：

式中：|C|表示协方差矩阵C的行列式.均值向量μ和协方差矩阵C可分别表示为：

根据第2 节，将正态分布下的向量x划分为向量u和v，则对应的均值向量μu、μv和协方差矩阵Cu、Cv可分别表示为：

条件分布Φn-s(u，|u)也服从正态分布，可表示为：

边缘分布函数p(u)可表示为：

因此，一阶与总体全局灵敏度指数Su和可分别表示为：

3.2 正态分布情形下考虑相关性的样本集构造

为构造两组具有相关性的正态分布样本(u，v)和(u′，v′)，本文基于蒙特卡洛法提出了一种正态分布情形下考虑相关性的样本集构造方法.方法主要步骤如下：

1）使用Sobol 序列［15］生成均匀分布在0～1 的两组n维概率向量w和w′.

2）利用逆正态累积分布函数将向量w和w′中任一元素wi和w′i转化为具有零均值和单位方差的标准正态分布元素，即，进而得到独立的标准正态分布向量

3）将概率变量对应的协方差矩阵C进行Cholesky分解，得到对应的下三角矩阵A：AAT=C.

通过上述变换，可构造出样本集合x=(u，v)和下面将构造样本由于这两组样本属于同一类型，其构造原理相同，故此处仅介绍样本(u，)的构造.

1）将上述变换过程中的两组样本提出，一组是独立的标准正态分布样本，另一组是相关情形下的正态分布样本x=(u，v).

2）基于样本x=(u，v)，结合式（25）求得μvc.

3）将式（23）中的协方差矩阵C的分量矩阵Cvc进行Cholesky分解：Avc=Cvc.

5）将向量x中的分量u和向量′进行组合，得到样本(u，′).

此外，对于一般不确定情形下的相关概率变量，可以先使用高斯公式将其转化为具有相关性的正态分布概率变量［12］，进而可采用本文方法开展一般不确定情形下考虑相关性的全局灵敏度分析研究.图2 为考虑不确定参数相关性的电动汽车PMS 全局灵敏度分析流程图.

图2 考虑不确定参数相关性的电动汽车PMS全局灵敏度分析流程图Fig.2 The procedure of global sensitivity of the electric vehicle PMS considering the correlation of uncertain parameters

4 算例分析

4.1 分析模型

以某电动汽车三点橡胶悬置PMS 为例.电机总成质量为78.9 kg，系统的惯性参数值如表1 所示，其中IXX、IYY和IZZ分别表示总成在X、Y和Z方向上的转动惯量；IXY、IYZ和IZX分别表示总成在X和Y、Y和Z以及X和Z两两方向上的惯性积.表2为悬置静刚度和安装位置，其中ku、kv和kw分别表示各悬置在各自局部坐标系下u、v和w方向的初始刚度.

表1 系统的惯性参数值Tab.1 The inertial parameter values of the system kg·m2

表2 悬置静刚度和安装位置Tab.2 The static stiffness and locations of mounts

4.2 全局灵敏度分析

工程中，电动汽车PMS 的橡胶悬置刚度往往具有不确定性和相关性，且已有研究大多数选择悬置刚度作为PMS 的主要设计参数［16］.此外，对于PMS的振动特性，通常主要关注其竖直方向（Bounce 方向）和绕定转子中心线旋转方向（Pitch 方向）的固有频率和解耦率响应.因此，本文重点研究PMS各悬置的三向刚度存在不确定性和相关性时Bounce 和Pitch 方向的固有频率和解耦率响应，以及相应的全局灵敏度分析.

采用最常用的正态分布概率变量来描述不确定情形下的悬置刚度参数，且取变量的变异系数（即标准差与均值之比）为0.075.为了便于分析，将前、左和右悬置的三向刚度分别记为kui、kvi和kwi（i=1，2，3），将Bounce 方向的固有频率和解耦率分别记为fB和dB，Pitch 方向的固有频率和解耦率分别记为fP和dP.根据相关工程经验和已有研究工作基础［17］，将前悬置u与v方向、u与w方向，v与w方向的刚度参数之间的相关系数分别记为0.6、0.4和0.5；左悬置和右悬置相应的相关系数分别记为0.6、0.5 和0.4，不同悬置之间的参数相关系数记为0.

图3 展示了在此相关性情形下，基于本文方法计算得到的Bounce 方向和Pitch 方向固有频率和解耦率响应对刚度参数的一阶与总体全局灵敏度指数.

图3 fB、fP、dB和dP对刚度参数的全局灵敏度Fig.3 The global sensitivities of fB，fP，dBand dPto stiffness parameters

对图3（a）进行分析，可以得到如下结论：

1）9 个刚度参数中，kw2的总体全局灵敏度指数最大，故其不确定性对fB的影响最大.类似可知参数kw3的不确定性对fB的影响也较大.

2）对于ku2、kv2、kw2、ku3和kw3，其一阶全局灵敏度指数均明显大于总体全局灵敏度指数，说明这5 个参数与其他参数之间的相关性对fB有较大影响.

因此，在研究响应fB时，应侧重考虑kw2和kw3的不确定性，以及ku2、kv2、kw2、ku3和kw3与其他刚度参数之间的相关性对fB的影响.其他4 个参数ku1、kv1、kw1和kv3的一阶和总体全局灵敏度指数均很小，故它们的不确定性和相关性对fB的影响较小.在设计时可忽略这4个参数的不确定性和相关性对fB的影响，进而可简化问题.

进一步分析9 个悬置刚度参数对系统响应fP、dB和dP的全局灵敏度，可综合得到如表3 所示的分析结果.

表3 全局灵敏度分析结果Tab.3 The results of global sensitivity analysis

从表3 可以发现，左悬置Z方向上的刚度kw2以及右悬置Z方向上的刚度kw3，这两个参数的不确定性对Bounce 方向固有频率和解耦率具有明显的影响；前悬置X方向和Z方向上的刚度ku1和kw1，这两个参数的不确定性则对Pitch 方向固有频率和解耦率具有明显的影响，在工程设计中应当重点关注.而悬置刚度之间的相关性对这两个方向固有频率和解耦率的影响规律比较复杂，没有特定变化规律，且不同的系统响应下可被忽略其影响的参数也有所不同，应根据实际需求进行具体分析.

4.3 不同相关性的影响分析

为分析不同参数相关性对PMS 固有特性的影响，本文将进一步分析不同相关情形下系统固有频率和解耦率对悬置刚度参数的灵敏度.在前文研究基础上，固定各悬置在u方向与v方向和v方向与w方向的刚度参数之间的相关系数，将各悬置u方向与w方向的刚度参数之间的相关系数统一按照0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8 和0.9 等10 种相关情形进行变化.分别进行计算并分析，结果分别如图4～图7所示.

图4 不同相关情形下fB对刚度参数的全局灵敏度Fig.4 The global sensitivities of fBto stiffness parameters under different correlated cases

图5 不同相关情形下fP对刚度参数的全局灵敏度Fig.5 The global sensitivities of fPto stiffness parameters under different correlated cases

图6 不同相关情形下dB对刚度参数的全局灵敏度Fig.6 The global sensitivities of dBto stiffness parameters under different correlated cases

从图4～图7 可以发现，考虑不同的参数相关性后，各悬置刚度参数对系统固有频率与解耦率的影响发生了不同程度的变化.综合分析可得如下结论：

1）固有频率方面：对于系统响应fB，随着相关系数增大，刚度参数ku2、ku3的一阶全局灵敏度指数逐渐增大，kw2、kw3的总体全局灵敏度指数先略微增大后逐渐减小，其余刚度参数的灵敏度没有明显变化.对于系统响应fP，随着相关系数增大，刚度参数ku1、kw1的一阶全局灵敏度指数逐渐增大，ku1、ku2、ku3、kw3的总体全局灵敏度指数逐渐减小，kw1的总体全局灵敏度指数则呈现出先略微增大后逐渐减小的趋势，其余刚度参数的灵敏度没有明显变化.总体上，对于系统固有频率响应fB和fP，各刚度参数呈现出一阶全局灵敏度逐渐增大或基本不变，以及总体全局灵敏度逐渐减小、先增大后减小或基本不变的规律.

2）解耦率方面：对于系统响应dB，随着相关系数增大，刚度参数ku2、kv2、kw2、ku3、kw3的一阶全局灵敏度逐渐增大，kw1的一阶全局灵敏度指数逐渐减小，ku1的一阶全局灵敏度则先减小后增大；而、kw1、kw2、kw3的总体全局灵敏度指数呈现先增大后减小的趋势.对于系统响应dp，随着相关系数增大，ku2、kv2、kw2的一阶全局灵敏度指数逐渐增大，kw1的一阶全局灵敏度指数逐渐减小，ku1的一阶全局灵敏度指数则先减小后增大；而ku1、kw1的总体全局灵敏度指数呈现出先增大后减小的趋势.总体上，对于系统解耦率响应dB和dP，各刚度参数呈现出总体全局灵敏度指数先增大后减小或基本不变的规律，而其一阶全局灵敏度变化相对复杂，没有特定规律.

综上所述，对于本文所研究的电动汽车PMS，将其刚度参数处理为概率变量并考虑不同相关性后，系统固有特性对各刚度参数的全局灵敏度会出现不同趋势和不同程度的变化，精确量化实际情形中概率变量的相关性，可以得到更加合理的分析结果.此外，系统响应为解耦率的情形下，参数相关性变化对刚度参数的全局灵敏度指数的影响规律更加复杂，在进行优化设计时应重点关注.