巧用类比，化繁为简

付永波

在我们平时的教学中，我们经常要用到类比教学法。类比是根据两种或两类对象在某些方面的相似，得出它们在其他方面也有可能相似的结论。它是一种创造性的数学思想方法。类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视运用。在多年的初中数学教学中，我对于类比教学非常重视，运用类比教学，可以使学生在已有的知识经验的基础上迅速的领回新学内容，提高学习效率。下面我简要说明一下我将类比教学法在初中数学中的应用体会。

一、类比引入新知识

1.类比引入新概念

对数学概念的正确理解是学好数学的基础，是培养学生能力的先决条件。课本上的概念有的非常简练、有的很抽象，这给学生对数学概念的理解带来了困难，从而造成学生数学能力的差异。因此，搞好概念教学，让学生正确理解概念就会为他们学习其它数学知识打下坚实的基础。应用类比法引入新概念，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。数学中的许多概念有类似的地方，在新概念的提出过程中，运用类比的方法，能使学生易于理解和掌握。如：“一元一次方程和一元二次方程”的概念。教师在讲授“一元二次方程”这一概念时，同样可以先复习“一元一次方程”这一概念。然后问，“如果我们将概念中的‘一次换成‘二次会得到什么样的概念呢？甚至可以类比引入一元高次方程和二元一次方程的概念。

2.类比引出新定理

将类比用于定理的教学，不但可以加深学生对定理的理解和记忆，也可以使学生对所学知识有个系统化的了解。如：在讲授相似三角形时，由于“相似”与“全等”有很多类似的地方，便于使用类比法。三角形相似的判定定理可以通过与三角形全等的有关定理类比引出，而相似三角形的性质定理也可以通过与全等三角形的性质定理类比引出。通过类比，以旧引新，使学生对新的概念、新的定理的理解会更深入、记忆也会更加牢固，运用会更灵活。

二、类比联想

所谓类比联想，就是在联想的基础上对两个或两个以上的事物进行比较，找出它们之间的共同点，进而受到新的启示，产生新的思路，从而产生新的解决问题的方法。

例：已知s²+2s-1=0， t²+2t-1=0（s≠t），求st+2s+2t的值。

思路分析：观察已知条件和所求代数式的外形，可聯想到一元二次方程的根与系数的关系。类比题设构造一个以s和t为根的一元二次方程x²+2x-1=0，然后根据一元二次方程的根与系数的关系知s+t=-2，st=-1，从而很容易求出所求代数式的值：st+2s+2t=st+2（s+t）=-1+2×（-2）=-5

在解题教学中采用类比教学，可以达到梳理知识、归纳题型、总结解题方法，这样做既有利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生联想思维的灵活性。

三、类比推理

所谓类比推理，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。相类比的两个对象的相同性愈多，则结论的可靠程度就愈大；相类比的两个对象的共有属性与推出属性之间的联系愈紧密，则结论的可靠程度就愈高。

类比推理的一般步骤：先找出两类对象之间可以确切表述的相似特征，然后用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个结论。

如：若线段AB上有一个点，则共有2+1=3条线段，若线段AB上有两个点，则共有3+2+1=6条线段，若线段AB上有三个点，则共有4+3+2+1=10条线段，……若线段AB上有n个点，则有（n+1）+n+（n-1）+… +1=（n+2）（n+1）/2条线段；类似的若在∠AOB从顶点O引一条射线，则有2+1=3个角，若引两条射线，则有3+2+1=6个角，若引三条射线，则有4+3+2+1=10个角，……若引n条射线，则有（n+1）+n+（n-1）+… +1=（n+2）（n+1）/2个角。虽然类比推理所得结论的真实性是不确定的，但类比推理作为一种重要的思想方法，就算在严格地逻辑推理的数学中也起着重要作用。故在教学中应给予应有的重视。

四、类比归纳类比归纳是对两种或两种以上在某些关系上表现为相似的对象进行对比和归纳的一种科学的研究方法。在初中数学教学中运用类比归纳法，引导学生通过对知识的类比和归纳 ，使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识内在的联系。

如：在学习三角形的外接圆和内切圆时，大多数学生会把外心和内心的概念及性质混淆。针对这一问题，采用类比思想，把三角形的外心和内心的概念及性质归纳为：外心是三角形三边中垂线的交点，它随三角形的形状不同，位置也不同：它在锐角三角形的内部，在直角三角形斜边的中点处，在钝角三角形的外部；它是三角形外接圆的圆心；具有到三角形三个顶点的距离相等的性质。内心是三角形内切圆的圆心；它是三角形三个内角平分线的交点；它一定在三角形的内部，不随三角形形状的改变而变化位置；它到三角形三边的距离相等。

从以上几点可以看出，类比教学法在获取解题思路，新概念的导入，公式、定理和记忆及证明，新知识的探索研究等方面都有着重要作用。因而在教学过程中充分运用类比法培养学生的思维能力，有不可估量的作用。