各种圆锥摆

秦彦全

1.圆锥摆模型的受力特点

受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。

2.规律总结

（1）圆锥摆的周期

如图所示，摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ

受力分析，由牛顿第二定律得

r=Lsin θ

解得 。

（2）结论

①摆高h=Lcos θ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。

②摆线拉力 ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。

③摆球的加速度a=gtan θ。

3.圆周摆的两种变形

变形1：具有相同锥度角（长度不同）的圆锥摆，如图1所示。

由a=gtan θ知A、B的向心加速度大小相等。由a=ω2r知ωA<ωB，由 知vA>vB。

变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图2所示。

由 知摆高h相同，则TA=TB，ωA=ωB，由v=ωr知vA>vB，由a=ω2r知aA>aB。

【问题情境】（改编）如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度的二次方ω2的关系图像正确的是（）。

ABC D

【思维导引】 首先要明确圆周运动的圆心和半径，然后对小球进行受力分析，再根据沿半径方向的合力提供向心力進行分析计算。

【答案】A

【解析】设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳拉力为F，有Fsin θ=mω2lsin θ，得F=mω2l，A项正确;mgtan θ=mω2lsin θ，得 ，B项错误;小球的向心加速度a=ω2lsin θ，小球运动的角速度不同时，sin θ不同，C项错误;小球的线速度v=ωlsin θ，D项错误。

【变式训练】（2020年河北承德二中期中）两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是图中的（）。

【答案】B

【解析】小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan θ=mω2Lsin θ，整理得 ，则两球处于同一高度，B项正确。