格物致知，体悟数学之道

从小学到大学，从数学学习到数学教学，回顾几十年的数学学习和数学教学生涯，使我感受最深的就是数学的学习不但需要“格物”——坚持不懈、持之以恒，更需要“致知”——深入探究的精神，才能体悟“数学之道”。中国宋明时代理学家有“格物致知、穷理明辨”之说，而“数理之学”是不分家的，数学是基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，来表达现实世界中事物的本质、关系、规律和原理，这就是格物的过程。悟“道”的过程包含着：学习、实践、反思、研究、归纳、提炼……“格物”之研究助我成长，“致知”之悟“道”助我发展，格物致知使我在数学学习和教育教学过程中走得更远。

数学知识的学习需要格物而练就

我从小就喜欢数学，曾经在高考中以县单科数学第一名的成绩考入师范大学数学系。数学成绩之所以出众，得益于我在数学学习的过程中，喜欢做题、善于思考，不断总结不同类型题的规律，举一反三、触类旁通。每做对一道难题，我都能感受到成功的快乐，也不断激发着我学习数学的热情和积极性。

对数学概念、公式、性质、定理的学习，我常常会探究其形成的过程、产生的历史背景与蕴含的思想方法，甚至有时对某些概念提出换个角度来定义是否可行等。比如在学习数列极限的分析定义时，我就在想为什么这样定义，换一种表述方法或研究问题的角度是否可行？经过多次尝试，发现不可行的原因。现在看来当时作为学生探讨数学概念非常幼稚。但却使我看到了前辈的伟大，并且让我能更深入地理解这一理论，进一步激发了自己热爱数学的热情，也为学习在极限基础上衍生出来的微积分理论铺平了道路，同时，也让我在实际教学中能“换位思考”，分析学情、把握教学。

出于自己对数学学习的深切体会，我经常教育学生要体会知识、方法的形成过程，多角度地分析和认识数学问题，这样才能做到融会贯通，提升自己的解题能力；只有独立地思考和探究数学问题，才能达到对知识的自主建构和深度理解。比如，对于解排列组合的题目，我非常反对学生作题之前看解答，因为这样学生总会通过猜测别人的解题思路来校对自己的想法，从而忽视了对自己独立思考能力的培养。实际上，对于这一类问题，随着考虑问题角度的不同，解决问题方法也就不同，即可能一题多解。我总是鼓励学生，要相信自己，大胆尝试，只要计算、推理符合逻辑，一般来说，其结果是正确的。

数学学习首先要正确地理解数学概念，它是掌握好数学知识的前提，许多数学试题是围绕着概念进行命制的，考查学生对概念的内化和理解程度；再者是性质、定理、公式及其应用等。数学学习过程中，适当的做题量是需要保证的，当然，重要的还是要引导学生认真研究，及时总结，反复推敲，这样才会在成功的体验中生发兴趣，激发学习动力，在日积月累中，就能体悟数学的神奇和学习规律，在成功的体验中找到无穷的乐趣。

数学课程教学需要致知而研究

作为教师离不开教材，钻研教材是我多年的习惯。任何一本教材、一个单元甚至一节课的内容，只有抓住主线和中心思想，才能使课堂教学变得游刃有余。在我刚步入中学教师的行列时，往往反复通读教材、研究教材。但并不是直接去阅读、学习教参和课程标准，而是在提炼教材内容的主题、地位、作用等基础上，比对教参和课程标准，寻找差距和不足，进一步来校正和逐步提升自己对学科本质的认识水平。

只有通过不断的学习和锻炼，贯通知识之间横向和纵向的联系，逐步建构知识体系，把握学科本质，才不会让教材束缚手脚，使教材变成选取素材的一种资料，从而真正提高把握教材、驾驭教材、用好教材的能力。

数学教学是我的主阵地，也是我思考和研究最多的地方。我在教学中，始终以学生发展为本，认真研究和分析学生的学习基础和学习能力，自觉践行课程改革的理念，引导学生在解决问题的过程中，发展和培养学生的数学能力和数学核心素养，去追求更高的数学境界。由于数学是一门比较抽象的学科，认知水平较差的学生学习数学，就像学生学习英语差不多，他需要把英语句子和词汇翻译成汉语才能理解，如果一节课上数学概念的应用过多，会限制学生的思维和学习效率。

而数学来源于生活，我特别注重观察和积累生活的事例，以此作为教学情境应用到课堂教学中，帮助学生理解概念的内涵和外延，引导学生更好地落实核心素养的发展。注重提炼、归纳和总结一些经过自己反复在数学教学实践中认为成熟的案例和方法，进而不断完善和优化教学策略和方法。比如在讲样本方差时，通过分析比较两个女生小合唱队身高的整齐和美观程度，诱导学生找到解决问题的方法，进而建立方差公式、体会方差的意义。在教学中将数学融入生活中，使学生感到生活与数学密切相关的道理，感到数学就在身边，对数学产生亲切感，激发学生学习数学、发现数学的热情和积极性。

数学试题的研究需要穷理而悟“道”

数学学习与教学离不开解题，历年的高考试题是很好的研究素材。通过做题，对试题进行归类、类比、研究，找寻这些试题所渗透的数学思想和方法，既能够提升自己的解题能力，又能够更好地服务于教学。比如，前些年许多考查导数应用的题目实际上是考查分类讨论的思想方法，在不断学习和教学的实践应用中，我会一直思考这些考题的共性是什么？引起讨论的原因是什么？我把分析和研究的成果写成了论文《导函数的有理因式中含参量时函数单调性的讨论》发表。再比如，北京高考的压轴题，考查学生对数学定义阅读理解和数学运算的能力， 严密的逻辑思维和推理论证能力，綜合运用所学知识和方法解决问题的能力， 形成了淡化解题技巧、突出数学思想方法和核心素养发展的命题风格，体现着北京高考命题的特色。而目前的高中数学教材中有关“新定义、新运算”的创新题目少之又少，这就更加激发了我对这类题目的探究欲望，觉得如何解决这类问题，还应从思维方法上找原因。依据“由特殊到一般，再由一般到特殊”的认识规律，应从特例入手寻找解决问题的突破口，通过对特例的演算、观察、类比、归纳，甚至猜想，以及对题目证明要求和解答暗示的分析，尽可能发现其规律性和一般性质，最终完成题目的推理论证过程，探究的成果被我写成了论文《从“特例入手”分析和解答高考数学北京卷压轴题》发表。

为使自己的实践经验和研究成果能够固化下来，并且应用到教育教学中，我认为最好的办法是通过撰写论文，固化成果，推动课堂教学更上一层楼。

我发表的论文，有的看似一蹴而就，比如《两类特殊矩阵的逆》，只用了两个小时的书写时间，其实是自己平时不断总结、日常积累的结果。而《由两道高考题引出的探究结果》，花了整整两个月的时间，可以说废寝忘食，但我乐在其中。其价值一方面应用到自己的教学中，另一方面对教研组和区里研修的老师利用几何画板作图有着一定的指导作用。专业发展的前提是要善于发挥自己的长处，但贵在坚持。

正是由于不断地总结、思考和研究数学问题，我才积累了大量的素材和研究成果来改进教学。我的课堂教学，能够不断引导学生建构数学知识、方法和思想体系，培养学生从运动变化、联系与转化、回归概念等多角度发现问题、分析问题、解决问题，提高学生的数学思维和解题能力，练就关键品格，培养关键能力。

基于自己在数学教学和科研方面取得的一些成绩，我获得北京市特级教师称号，晋升为北京市正高级教师。但我觉得更重要的是，在数学学习和教学过程中，格物致知，深入研究，厚积薄发。把我对数学的热爱转化到教学实践中，引导学生喜欢数学、热爱数学；同时，发表我的研究成果，让更多的人与我分享在教学中体会到的学习数学和研究数学的快乐。

范先荣

北京市中学数学特级教师、北京市正高级教师、海淀区高中数学兼职教研员、海淀区高中数学学科督学。曾获北京市中学数学骨干教师、数学学科带头人等荣誉称号。