应急物流中成本与公平考量的博弈

蔡天洋

摘 要：灾害发生初期，应急物资往往供不应求，救援组织的决策者需要合理规划运输车辆路径、物资分配数量，同时兼顾成本最小化和公平最大化。然而，这两个目标往往是冲突的，如何权衡这两个目标并为决策者提供建议是值得讨论的问题。文章引入福利经济学中的基尼系数来刻画救援的公平性，以社会成本最小化为目标设计了一个与决策者交互的应急物流模型；并基于2010年玉树地震的案例对模型进行仿真求解，验证了模型的有效性。最后，文章根据一些参数的敏感性分析讨论了公平性改善与成本投入之间的博弈。

关键词：应急物流；成本与公平；基尼系数；资源分配

中图分类号：F252文献标志码：ADOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.08.006

Abstract： In the early stages of disasters， emergency supplies often fall short of demand. Decision makers in rescue organizations need to reasonably plan the route of transportation vehicles and the quantity of supplies allocated， while minimizing costs and maximizing fairness. However， these two goals are often conflicting， and how to balance these two goals and provide advice to decision makers is a question worth discussing. This paper introduces the Gini coefficient in welfare economics to characterize the fairness of rescue， and designs an emergency logistics model that interacts with decision makers with the goal of minimizing social costs. Based on the case of the Yushu earthquake in 2010， the model was simulated and solved， verifying the effectiveness of the model. Finally， the game between equity improvements and cost inputs is discussed based on sensitivity analysis of some parameters.

Key words： emergency logistics; cost and fairness; Gini coefficient; resource allocation

0    引    言

應急物流的主要目标是在灾难发生后拯救生命和减轻人类痛苦。国内外诸多学者针对有限的资源，从物流成本[1]、需求满足率[2]以及响应时间[3]等方面进行了大量的研究。然而，大部分研究忽略了受益人得到公平援助的权益。特殊时期的武汉和上海的物资分配问题凸显了保障受益人权益的重要性。近年来，随着人道主义原则的提出，越来越多学者开始从受灾者本身出发，治疗他们的心理创伤，寻求一种高效且公平的应急物资分配方案。

目前，国内外衡量公平分配的函数没有统一的标准，主流研究采用剥夺成本[4]、最大最小函数[5]、嫉妒与同情函数[6]等构造来表示公平性的函数。例如，Holguin-Veras 提出使用社会成本，通过在物流成本上增加剥夺成本作为灾后物流模型的目标函数。剥夺成本被定义为 “无法获得商品或服务有关的人类痛苦的经济价值”。朱莉[4]构建了多目标动态应急物资分配模型并提出了相对剥夺成本用于刻画救援的公平性。陈莹珍[5]通过物资运输量最大化、最大运输时间最小化的目标函数来刻画救援的公平性。陈刚[6]构建了以总加权嫉妒值最小为公平目标、以总物流成本最低为效率目标的多目标数学优化模型以应对灾害初期物资分配、路径规划的问题。

关于应急物流公平性的研究中，大多数研究都将代表公平性的函数作为目标函数，一部分研究单独将公平性作为唯一的目标函数，另一部分研究采用多目标规划，公平性是其中的目标函数之一。对于多目标规划，将公平性函数直接放到目标函数中，决策者可以直观地看到公平性与成本或者其他效用目标的均衡解，却忽略了决策者对于不同目标的偏好，换言之，决策者不能实现自己期望的公平水平。基于此，本文提出了约束导向的公平函数，将公平性函数作为约束条件，并设置公平偏差变量，决策者可以根据其对公平的偏好交互地得出基于其公平偏好水平的物资分配方案。此外，关于公平函数的选择，大多数研究构建的公平性函数都是线形化函数或者容易线形化的函数以方便寻求解决方案。考虑到线形化的难度，福利经济学中将反映收入差距的基尼系数作为公平性函数的研究并不多。本研究与其他研究不同的是，其尝试引入福利经济学中的基尼系数作为公平性函数的表达。同时，不同于以往的研究，本研究量化了成本与公平之间的博弈，即成本投入与公平性改善之间的定量关系。使决策者可以直观感受到改善公平性所需要额外投入的成本，方便其做出合理的灾后救援决策。

1    建模准备

1.1    问题描述与研究假设

在有限资源、车辆容量以及旅行时间的限制下，考虑灾害发生以后应急物资分配、车辆路线规划的问题。为满足多个受灾点对于应急物资的需求，采用单批次多车辆的调配策略，通过构建兼顾公平性（满足决策者所提出的公平水平）和效率（总社会成本最小化）的应急物资分配模型，探究物资分配公平性与社会总成本之间的平衡关系。

本文重点关注公平改善与成本投入之间的关系，因此在单物资的变体VRP框架下构建模型，提出的假设如下：受灾点的需求、位置已知；车辆规格相同，从仓库满载出发，返回仓库时允许有未分配的多余物资；如果需求未得到满足，需求点的灾民会产生心理创伤并且这一创伤可用经济损失来衡量；各个受灾点只接受单车服务，不允许多车多次服务。这一模型可以帮助我们获得访问受灾点的顺序、每个受灾点分配应急物资的数量以及该调度方案所产生的社会成本、公平水平。

1.2    符号说明

本文采用以下参数作为模型的输入。

1.2.1    集合

N：仓库  （O）、受灾点的集合，N=Nd∪0；

Nd：受灾点的集合；

A：网络中的弧线集合；

K：车辆的集合。

1.2.2    参数

W：公平偏差限制，决策者所要达到的最低公平水平；

M：极大的常量；

Q：车辆的容量；

T：车辆的最大行驶时间；

Cv：车辆的运营成本；

Cij：车辆从i到j所产生的行驶成本，i、j∈N；

tij：车辆从i到j所花费的时间，i、j∈N；

Di：需求点i的需求，i∈Nd；

fi：车辆服务需求点i的服务时间，i∈Nd；

ski：车辆k到达需求点i的时间，i∈Nd、k∈K。

1.2.3    决策变量

xkij：车辆k的遍历弧（i，j） ，则xkij=1，否则xkij=0，i、j∈N，k∈K；

vki：车辆k访问需求点i，则vki=1，否则vki=0，i∈Nd，k∈K；

Yki：车辆k分配给需求点i的应急物资数量，i∈Nd，k∈K；

Yi：需求点i收到的应急物资，Yi=Σi∈NdYki，i∈Nd；

Ikij：车辆k从i直接运输到j的应急物资数量，i、j∈N，k∈K。

1.3    公平指标与成本指标

基尼系数是国际上用于综合考查居民收入分配差异的重要分析指标。当个体收入差距大时，基尼系数就高；相反，基尼系数就低。基尼系数是根据洛伦兹曲线即收入分布曲线计算的，其在洛伦兹图中被定义为描述相对财富的曲线和平等线之间的面积与该线下的三角形面积之比[7]。本文使用一种等效的数学表示法提出相对公平的定义来构建基于每个需求点收到的应急物资数量的基尼系数表达。每个需求点收到的应急物资数量Yi（i∈Nd）的基尼系数如下。

它是一个介于0和1之间的数值。数值0代表完全公平，即所有人分享的资源收益或损失相同，而数值1则代表完全不公平。

此外，本文将应急物资分配模型产生的成本分为两部分：一部分是从运营者角度考虑的运营成本，即运输费用。另一部分是从受灾者角度考虑的剥夺成本，即受灾者因为需求未得到满足产生的心理创伤成本。这一成本最初由Holguín-Veras提出并广泛应用到应急物流中。鉴于模型假设只考虑单物资，本文给出因缺乏应急物资而导致受灾点i的创伤经济度量值。

其中，α和β是两个常数。从剥夺成本的构建，我们可以看出，这是一个成本随着物资数量匮乏而呈指数增长的函数。

基于上述建模准备，构建如下的应急救援的物资分配模型，该模型主要解决的决策问题是：在容量约束、旅行时间约束以及决策者所要求的最低公平水平的约束下，寻找使运营方的物流成本与被援助方的剥夺成本总和最小的分配策略和路线调度方案。

目标函数（1）表示最小化的社会总成本，其中包含车辆的运输费用、需求点的剥夺费用，体现了应急救援的最小化社会成本；约束条件（2）表示可以使用的车辆不能超过仓库中的车辆；约束条件（3）和（4）表示每辆车从仓库出发再返回仓库并且已经返回的车辆不能再次使用；约束条件（5）是流量平衡限制，即车辆访问某个需求点后必须离开它；约束条件（6）表示每个需求点必须被访问并且分批交付应急物资是不允许的；约束条件（7）表示只有车辆经过需求点时，该需求点才会被访问；约束条件（8）表示车辆访问需求点时交付给该点的应急物资的数量；约束条件（9）表示车辆的旅行时间限制；约束条件（10）表示公平偏差限制，即模型求解得到的分配方案的公平指标不能超过决策者所要求的最低公平限制，体现了应急救援的公平性；约束条件（11）和（12）表示车辆的容量限制；约束条件（13）表示车辆到达时间的限制；约束条件（14）表示如果车辆访问某个需求点，就必须给该需求点分配应急物资，这一约束的目的是防止模型为了满足公平偏差的限制，选择不给任何需求点分配物资；约束条件（15）表示变量的完整性与非负性。

由于約束条件（10）是一个非线性的约束条件，为了方便求解，将其转化为线性约束。

其中，Zij=Yi-Yj，i，j∈Nd。

2    案例分析

2.1    案例介绍

2010年4月14日，青海省玉树藏族自治州玉树市发生6次地震，最高震级7.1级，震源深度13公里。以玉树地震为案例场景，结合真实数据、部分仿真参数探究灾后应急帐篷的运输与分配问题。依据玉树地震的灾情报告，选择12个乡镇受灾点和灾区附近的结古镇作为应急物资集散中心。帐篷的重量为2千克每顶，帐篷需求量根据各乡镇的居民数量来估计；救援车辆为6辆，每辆车的载重为40吨，行驶速度为50km/h且工作时间不超过8h；车辆的运营成本包括运输成本、发车成本，分别按照当地每公里的油耗价格、当地货车发车的费用来估计；车辆访问每个乡镇受灾点的服务时间统一为0.5h；车辆的行驶时间是由经纬度计算得到的距离与车辆行驶速度的比值；关于剥夺函数的系数，分别取α=1.5、β=0.8。

2.2    求解方法

传统的VRP问题已经被证明为NP-hard问题，而本文所构建的应急物资分配模型是VRP问题的变体，因此不难证明模型所要求解的问题也是NP-hard问题。目前此类问题的求解方法分为两大类：一类是利用商业求解器，例如CEPLEX、GUROBI等进行求解，此类求解器适用于小规模算例。另一类是设计启发式算法，例如使用遗传算法、蚁群算法等进行求解，所得到的解并不是最优解，而是近似最优解，这一类求解方法适用于大规模算例。

考虑到我们所探究的重点问题是成本与公平的平衡而不是求解速度，并且所介绍的案例属于小规模案例。因此我们使用python调用了GUROBI求解器对上述案例进行了求解。当然，针对大规模问题，我们这里也提供了启发式算法来设计思路。考虑一个两阶段算法，包含路线检索阶段与应急物资分配阶段。路线检索阶段，可以采用合适的搜索算法，尽可能多地搜索满足行驶时间等限制的路线。应急物资分配阶段，对于给定的一条路线，我们给出满足公平偏差限制的方案。综合考虑，对于路线检索阶段所搜索到的每一条路径，我们采用应急物资分配阶段的方法分别得到其目标函数值，最后找到所有路线中目标函数值最小的路线即近似最优的解决方法。

2.3    敏感性分析

在本节中，我们通过调整公平偏差限制探究成本与公平性之间的博弈。因为基尼系数是不超过1的数值，所以公平偏差限制应该在0～1。将W以0.1为步长，分别设置10个不同的W，然后对该案例在不同W下进行求解，结果如表1所示。

由表1可知：当W=1时，此时模型等价于不考虑公平性而只对社会成本最小化，因此这是一种社会成本最小化的解决方案。W取值过大并不会增加社会成本，这是因为如果不考虑公平性而仅仅最小化社会成本，也存在基尼系数，如果W取值较大，仅最小化社会成本的方案也会被接受。随着决策者逐渐重视应急物资分配的公平性，其需要投入的额外社会成本逐渐增加。按照步长0.1逐渐减小，额外投入成本呈增加趋势。例如：W=0.6→W=0.5，成本需要增加13.38%；W=0.5→W=0.4，成本需要增加16.72%；同理，W依次发生后续数量变化时成本的增加量分别为19.07%、22.74%、31.79%。這说明决策者在选择公平偏差限制时，要考虑成本投入带来公平性改善的性价比是否在自己的心理预期内。

此外，我们还通过改变模型中的一些参数来探究成本与公平的博弈。图1展示了这一结果：增加车辆的行驶时间、缩短车辆访问需求点的服务时间以及增大车辆的容量都可以降低改善公平性所需要投入的成本。前两种措施的本质是使车辆相较之前可以访问更多需求点而减少车辆的使用，减少了发车费用；此外，同一辆车访问更多需求点也有利于同一车辆上的物资通过转移的方式提升公平性。增加车辆容量的本质是增大供给，因此会降低需求点的剥夺成本；此外容量的提升也有助于需求点之间的应急物资通过转移改善公平性。

3    结    论

本研究兼顾了社会成本与公平性的应急物资分配和路线调度。首先，为强调人道主义救援的公平性原则，引入了福利经济学中的基尼系数并将其纳入约束条件中，以社会成本最小化为目标构建了与决策者交互的应急物资分配模型并且探究了成本与公平之间的关系。其次，以2010年玉树地震为案例背景进行对比分析，以展示不同公平水平下的成本投入。最后，通过实施敏感性分析讨论不同行驶时间、服务时间以及车辆容量下公平与成本之间的博弈。

未来研究可考虑需求不确定的情景下成本与公平的博弈，也可以考虑多种类物资的分配与路线规划。此外，未来研究还可以考虑将代表公平函数的基尼系数纳入目标函数中，构建单目标或者多目标规划并探究最优方法。

参考文献：

[1] 缪成，许维胜，吴启迪．大规模应急救援物资运输模型的构建与求解[J]．系统工程，2006（11）：6-12.

[2] 张毅．考虑需求缺口的应急物资二次分配问题研究[D]．北京：北京交通大学，2019.

[3] 张聆晔，吕靖，梁孝，等．考虑多事故点的海上重大事故应急物资优化调度[J]．系统工程，2021，39（4）：103-114.

[4] 朱莉，曹杰，顾珺，等．公平缓解灾民创伤下的应急物资动态调配研究[J]．系统工程理论与实践，2020，40（9）：2427-2437.

[5] 陈莹珍，赵秋红．基于公平原则的应急物资分配模型与算法[J]．系统工程理论与实践，2015，35（12）：3065-3073.

[6] 陈刚，付江月．兼顾公平与效率的多目标应急物资分配问题研究[J]．管理学报，2018，15（3）：459-466.

[7] 杨小凯．社会经济发展的重要指标——基尼系数[J]．武汉大学学报（社会科学版），1982（6）：73-76.