简谐振动的仿真与分析

高彩云

（山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同 037009）

物体在平衡位置附近往返运动叫振动（或机械振动），物体在线性恢复力作用下围绕平衡位置的振动叫简谐振动（Simple harmonic vibration，又称简谐运动），它是一种由自身系统性质决定的周期性运动[1]。简谐振动最基本的机械振动。简谐振动的运动方程、特征量、相位与初相位、速度与加速度、能量及简谐振动的合成与分解是机械振动中的主要内容，也是大学物理课程中的重点和难点内容。近年来，随着计算机软件技术的发展，人们开始用数值计算软件来仿真模拟，常用的是Matlab软件和Origin，现有研究主要集中在波动光学实验的仿真，如牛顿环实验仿真、光栅衍射实验仿真、劈尖干涉验仿真、等倾干涉图样[2-7]；也有少数关于静电场和简谐振动的仿真研究，如钱宏明等进行了一维电荷分布系统的静电场模拟[8]；关于简谐振动的仿真研究，文献主要采用Matlab 软件仿真了简谐振动位移、速度等曲线合振动过程中的动能、势能以及机械能等[9-10]。使用Matlab 执行的时候是一边转换为二进制可执行代码一边运行，速度比较差，遇到字节比较多或者复杂以及精度高程序的就容易卡慢，而作为同样功能强大的数据分析和图形可视化软件，Origin 是集绘制图和数据分析为一体的理想工具，同时还具有简单易学、操作灵活、强大的数学运算功能等特点。

采用Origin 2022 软件对简谐振动的运动方程、位移、速度、加速度、能量转化和振动合成等问题进行仿真分析，以此来辅助简谐振动教学环节。

1 简谐振动的运动方程

以弹簧振子为例，设滑块的质量为m，弹簧的劲度系数为k，将振子视作质点，忽略摩擦。质点受力大小与位移成正比，而方向相反。根据牛顿第二定律得动力学方程为：

式中：ω2=，其值决定于弹簧的劲度系数和滑块的质量。式（1）根据常微分理论可解得：

式中：A和φ是待定常数，需要根据初始条件来决定。式（2）也可转换成正弦函数来表示，可见，简谐振动是围绕平衡位置的周期运动，其位移是时间t的正弦或余弦函数。

1.1 运动方程仿真

采用Orign软件将简谐振动的运动方程进行仿真，具体操作过程如下：首先打开软件新建新的空白图形窗口，设置横坐标范围（0，16），纵坐标范围（-2，2），修改横、纵坐标轴标题、刻度及水平轴的位置（-50%）；然后新建2D函数图，自变量在（0，16）中取1 000个点，分别输入函数Y(x)=cos(pi/4*x)、Y(x)=2*cos(pi/4*x)、Y(x)=cos(pi/8*x)、Y(x)=cos(pi/4*x+pi/2)，各运动方程的特证量如表1，位移-时间曲线如图1。

图1 不同特征量简谐振动的位移-时间曲线

表1 不同简谐振动运动方程特征量

1.2 结果分析

由图1 可见，简谐振动的位移-时间曲线呈现余弦（或正弦）规律，具有周期性。曲线的形状和在坐标轴的位置由特征量决定，其中振幅大小决定曲线的“高低”，x2的振幅为2 m，值最大，曲线最高；圆频率的大小影响曲线的“疏密”，x3的圆频率为π/8，值最小，曲线最“稀疏”；初相位则决定曲线在横轴上的位置，x1、x2、x3的初相位均为0，曲线在横轴上的位置相同，t=0 时质点处于最大位移处，x4的初相位均为π 2，t=0时质点处于平衡位置处。

2 简谐振动的位移、速度与加速度

根据简谐振动的运动学方程

对t求导数，得简谐振动的速度为：

也可表示成

再对t求导数，得简谐振动的加速度为：

也可表示成

由式（3）、（4）可知，简谐振动的速度和加速度同样是时间t的正弦或余弦函数，与运动方程具有相同的周期，但最大值不同。

2.1 Origin仿真

采用Orign软件将简谐振动的速度和加速度进行仿真，具体操作过程如下：首先打开软件新建新的空白图形窗口，设置横坐标范围（0，2π），纵坐标范围（-4，4），修改横、纵坐标轴标题、刻度及水平轴的位置（-50%）；然后新建2D函数图，自变量在（0，2π）中取1000个点，分别输入函数Y(x)=cos(2*x)、Y(x)=-2*sin(2*x)、Y(x)=-4*cos(2*x)，位移、速度和加速度的特征量如表2，位移、速度和加速度随时间变化曲线如图2。

图2 位移、速度和加速度随时间变化曲线

表2 位移、速度和加速度特征量

2.2 结果分析

由图2 可见，简谐振动的位移、速度和加速度都随时间呈现正弦或余弦规律变化，周期均为π，加速度的峰幅值大，变化最快。当位移达到正最大值时，质点运动到最大位移处，速度为0，加速度为负最大值，将返回到平衡位置；当位移为零时，质点运动到平衡位置处，速度达到负最大值，加速度为零；当位移达到负最大值时，质点运动到负最大位移处，速度为0，加速度为正最大值，将返回到平衡位置。

3 简谐振动的相轨迹

用质点坐标和速度建立坐标系，得到的相平面也可以描述简谐振动的状态。相平面上的任意一点代表该时刻的运动状态，质点运动状态在相平面上移动而画出的曲线即相轨迹。消去式（2）、（3）中的t，得：

将初始条件t=0,x=x0,νx=ν0x代入式（2）、（3），得：

可见，简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状和大小取决于初始条件。

3.1 相轨迹仿真

采用Orign 软件将简谐振动的先轨迹进行仿真，具体操作过程如下：首先打开软件新建新的空白图形窗口，设置横坐标范围（-6，6），纵坐标范围（-6，6），修改横、纵坐标轴标题、刻度及水平轴和垂直轴的位置（-50%）；然后新建2D 参数函数图，自变量在（0，2π）中取1 000 个点，分别输入函数X（t）=cos（t），Y（t）=sin（t）；X（t）=2*cos（t），Y（t）=2*sin（t）；X（t）=5*cos（t），Y（t）=3*sin（t）。不同相轨迹曲线的特证量如表3，相轨迹曲线如图3。

图3 不同简谐振动的相轨迹

表3 相轨迹特征量

3.2 结果分析

由图3 可见，简谐振动的相轨迹是椭圆或圆，其形状和大小由简谐振动的初始条件决定。当圆频率等于1 时，相轨迹为圆，如相轨迹1 和相轨迹2,；当圆频率不等于1 时，相轨迹为椭圆，如相轨迹3；椭圆的长半轴长度由振幅决定，即由振动的初始条件决定。

4 简谐振动的能量

以弹簧振子为例，应用质点动能公式Ek=将式（3）代入，得它在振动的过程中的动能为：

将运动方程代入势能EP=，得：

故系统总的机械能为：

4.1 能量转化仿真

设弹簧劲度系数为1 N·m-1，初相位为零，振幅为2 m。采用Orign 软件将简谐振动的动能、势能和机械能进行仿真，具体操作过程如下：首先打开软件新建新的空白图形窗口，设置横坐标范围（-2π，2π），纵坐标范围（0，2），修改横、纵坐标轴标题、刻度及垂直轴的位置（-50%）；然后新建2D 函数图，自变量在（0，2π）中取1 000 个点，分别输入函数Y（x）=2*sin（x）*sin（x）、Y（x）=2*cos（x）*cos（x）、Y（x）=2。简谐振动的动能、势能及机械能随时间变化的曲线如图4。

图4 简谐振动的能量随时间变化及互相转化

4.2 结果分析

由图4可见，简谐振动的动能和势能均按正弦或余弦函数的平方随时间变化。动能最大时，势能最小，动能最小是，势能最大，简谐振动的过程就是动能与势能相互转化的过程，总的能量不变，且大小取决于系统的劲度系数与振幅。

5 简谐振动的合成

若质点同时参与几个简谐振动，则其振动应为几个振动的合成，下面以两个振动合成为例，按照分振动的方向和频率的关系进行讨论分析。

5.1 Origin仿真

5.1.1 同方向同频率简谐振动的合成

采用Orign 软件将分振动和合振动进行仿真，具体操作过程如下：首先打开软件新建新的空白图形窗口，设置横坐标范围（0，8π），纵坐标范围（-3，3），修改横、纵坐标轴标题、刻度及轴的位置；然后分别新建2D 函数图，自变量在（0，8π）中取1 000 个点，输入函数Y（x）=cos（x）、Y（x）=2*cos（x）、Y（x）=3*cos（x）。振动曲线如图5。

图5 同方向同频率简谐振动的合成

5.1.2 同方向不同频率简谐振动的合成

采用Orign 软件将分振动和合振动进行仿真，具体操作过程如下：首先打开软件新建新的空白图形窗口，设置横坐标范围（0，8π），纵坐标范围（-1.5，2.5），修改横、纵坐标轴标题、刻度及轴的位置；然后分别新建2D 函数图，自变量在（0，8π）中取1000 个点，输入函数Y（x）=cos（x）、Y（x）=cos（2*x）、Y（x）=cos（x）+cos（2*x），仿真曲线如图6；输入函Y（x）=cos（0.50*x）、Y（x）=cos（0.52*x）、Y（x）=cos（0.50*x）+cos（0.52*x），仿真曲线如图7。

图6 同方向不同频率简谐振动的合成

图7 拍现象

5.1.3 互相垂直同频率简谐振动的合成

首先Orign 软件打开软件新建新的空白图形窗口，修改横、纵坐标轴标题、刻度及轴的位置，然后分别新建2D参数函数图，最后将所有曲线合并成3行5列的图形，并将所有的坐标轴隐藏，输出曲线如图8。具体操作如下：

图8 互相垂直简谐振动的合成

设置横坐标范围（-1，1），纵坐标范围（-2，2），自变量（0，2π）取100个点，输入函数[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+pi/2）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+3*pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=2*cos（t+pi）]，振动曲线如图8（a）。

设置横坐标范围（-2，2），纵坐标范围（-1，1），自变量（0，2π）取100 个点，输入函数[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+pi/4）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+pi/2）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+3*pi/4）]、[X（t）=2*cos（t）,Y（t）=cos（2*t+pi）]，振动曲线如图8（b）。

设置横坐标范围（-1，1），纵坐标范围（-3，3），自变量（0，2π）取100个点，输入函数[X（t）=cos（t）,Y（t）=3*cos（t）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+pi/2）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+3*pi/4）]、[X（t）=cos（t）,Y（t）=cos（3*t+pi）]，振动曲线如图8（c）。

5.2 结果分析

由图5可见，同方向同频率简谐振动的合振动仍为简谐振动，其频率和分振动的频率相同，合振动的振幅和初相位由分振动的振幅和初相位决定。

由图6可见，同方向不同频率的振动的合振动不是简谐振动，但有周期性。分振动的周期分别是2π和π，合振动的周期为2π，是分振动周期的最小公倍数。特殊情况下，如果两个分振动的频率之和远小于其频率之差，那么合振动可以看作“准简谐振动”，即振幅有周期性变化的“简谐振动”，如图7，分振动的圆频率分别为0.50 rad·s-1和0.52 rad·s-1，频率之和远大于频率之差，合振动的振幅在（0，2）之间缓慢变化，这种现象叫“拍”。

由图8可见，两互相垂直简谐振动的合振动的轨迹的形状由分振动的振幅、频率和初相差决定。当分振动的频率相同时，合振动的轨迹为椭圆，相位相同或相反时，椭圆化为直线；当分振动的频率为整数比时，合成振动的轨迹可以称为稳定的曲线，曲线的花样和分振动的频率比和初相位有关，即得到李萨如图形。

6 结语

简谐振动是最基本的机械振动，物体在线性恢复力的作用下按照正弦或余弦规律作周期性运动。采用Origin 软件仿真可以简便直观地探讨简谐振动的特征，具体如下：

（1）简谐振动的位移、速度和加速度随时间变化的曲线呈现余弦（或正弦）规律，具有周期性。曲线的形状和在坐标轴的位置简谐振动的圆频率和初始条件决定。质点的运动状态也可以用相轨迹来描述，简谐振动的相轨迹是椭圆或圆，其形状和大小由简谐振动的圆频率和初始条件决定。

（2）由于简谐振动的质点只受线性恢复力的作用，运动过程中系统的机械能守恒。动能和势能均按正弦或余弦函数的平方随时间变化。动能最大时，势能最小，动能最小是，势能最大，简谐振动的过程就是动能与势能相互转化的过程，总的能量不变，且大小取决于系统的劲度系数与振幅。

（3）质点同时参与几个简谐振动，则其振动应为几个振动的合成。若分振动同方向同频率，则合振动仍为同方向同频率的简谐振动，其振幅和初相位由分振动的振幅和初相位决定；若分振动同方向不同频率，则的合振动不是简谐振动，但有周期性。特殊情况下，当分振动的频率之和远小于其频率之差，出现“拍”现象；若分振动互相垂直，则合振动的轨迹的形状由分振动的振幅、频率和初相差决定。当分振动的频率相同时，合振动的轨迹为椭圆，当分振动的频率为整数比时，会得到稳定的曲线。