基于Vague集模糊熵和D-S证据理论的多属性群决策方法

邹 圆,杨道理,王立威

1.重庆工商大学 经济学院,重庆 400067 2.重庆工商大学 管理科学与工程学院,重庆 400067 3.六盘水师范学院 物理与电气工程学院,贵州 六盘水 553004

1 引 言

多属性群决策指多人共同参与决策分析,在各属性下对方案进行评估,通过将不同决策者提供的带有各自偏好的决策信息进行集结,据此对备选方案排序并选优的过程[1]。由于经济社会等领域中现实决策问题的复杂性、人们自身知识的有限性及认识事物的局限性,专家们往往难以给出精确的评估值而使决策问题通常带有不确定特征。Gau等[2]于1993年首次提出Vague集概念,其特点在于同时包含了支持隶属度、反对隶属度和未知度3方面信息;Mishra等[3]认为相比于单一隶属度的Zadeh模糊集,Vague集对事物的刻画更为细腻,可视为Zadeh模糊集概念的推广。以Vague值表征的专家评价信息可很好契合人类思维“亦此亦彼、非此非彼”的模糊特性,因而引起了研究者们的极大关注并在不确定多属性群决策问题中获得了广泛的应用[4-6]。

对Vague多属性群决策的现有研究主要聚焦于两个方面:一是方案排序及选优。Liu[7]、Zhou[8]、 Gao[9]等将TOPSIS方法引入Vague集,通过算出各备选方案与正负理想解之间的差距以对方案进行排序;Wang[10]、 Guo[11]、 Lin[12]、 许昌林等[13]各自定义Vague集记分函数,将Vague值转化为精确数,从而计算各方案的得分,分数越高表示方案越优;Gui[14]提出了基于Vague集的灰色关联分析排序方法。二是个体决策信息集结到群体判断。一些学者通过定义Vague集的基本运算诸如实数与Vague值乘积[15]、Vague值间的交并运算[16]、Vague值间的乘积[17]、Vague集间的相似度[18]等将评价信息集结,获得方案的最终评价值。上述操作均未涉及Vague集未知度的合理分配,融合结果存在不同程度的偏差。Wang[19]将Vague值转化为Fuzzy值后进行信息融合以筛选方案,但在转换时易造成信息损失。后续,Wang等[20]定义了Vague集的极小和极大信心度,并利用线性规划模型求出群体最优综合信心度,以此作为唯一依据进行决策,其缺陷在于未考虑其他影响因素。鉴于传统方法对Vague 信息集结时未知度分配不合理以及将Vague信息转化为其他类型信息处理所导致的信息损失问题,崔春生等[21]提出了基于证据理论的Vague多属性群决策方法。证据理论作为一种被广泛运用的不确定信息处理方法,在信息融合中不需要先验概率[22],且在证据合成过程中可对未知度进行重新分配,在不确定信息的表达与融合上具有优势,有效地解决了 Vague多属性群决策的信息集结难题。

通过对现有文献的研究梳理发现,学者们往往关注Vague信息转化和信息集结,较少探讨Vague多属性群决策问题中的专家评分可信度获取规则,通常是直接先验给定可信度点值,这缺乏客观依据,也未考虑专家在不同属性下评分可信度的差异,影响评价结果的内在一致性。模糊熵是对Vague信息模糊不确定性的客观度量,熵值越大,表示模糊不确定性越高,专家评价信息的可信度越低,可用来客观反映专家在决策中的评分可信性。本文在前人工作的基础上,将模糊熵的思想引入Vague决策环境中,结合证据理论和Vague集记分函数,提出了一种新的完全由数据驱动的Vague多属性群决策方法。该方法基于专家群体的原始评价信息,利用模糊熵获取各专家在不同属性下的评分可信度,从而构建起专家评价信息与其可信度之间的一一映射关系,降低了由于可信度赋值的主观性对最终决策结果产生的影响。引入证据理论来解决Vague多属性群决策的信息集结问题,以及利用记分函数进行Vague值转化及排序,最后以一个决策实例验证了该方法的可行性和有效性。

2 问题描述及方法基础

2.1 问题描述

(1)

考虑各属性对决策方案的重要性,假定专家ek对属性Cj给出的Vague权重值为wkj,其中wkj=[tkj,1-fkj],tkj,fkj,πkj=(1-fkj)-tkj分别表示重要度、不重要度与对属性影响的未知度,则可构建属性权重矩阵W为

(2)

基于专家评分可信度、决策矩阵与属性权重矩阵对各方案进行集成评价,最终筛选出最优决策方案。本文主要解决的问题在于:传统方法一般事先给定专家评分可信度,往往带有一定的主观性,且对所有属性均相同,缺乏客观依据与针对性,并影响方案的最终评价结果。而本质上造成专家评分可信度不一的来源在于其在Vague决策过程中的未知性、不确定性与模糊性。模糊熵作为上述特征的度量工具,可据此来计算评分可信度。首先,通过计算各专家Vague决策矩阵中的模糊熵获得其在各属性上的评分可信度;其次,基于D-S证据理论对各专家关于每一个方案的Vague评价值进行信息集结;再次,确定各属性权重并计算决策方案的最终评价值;最后根据评价值进行方案的排序与择优。

2.2 Vague集模糊熵

Vague集的模糊熵通常被用来度量Vague集的未知性、不确定性以及二者交叉时形成的模糊性。其公理化要求为[23]

定义1 假设A是论域U上的一个Vague集,记为A(x)=[tA(x),1-fA(x)],其中tA(x),fA(x)及πA(x)=1-tA(x)-fA(x)分别为x在A中的支持度、反对度和未知度。称函数VE:U→[0,1]为Vague集A的模糊熵,若其满足如下条件:

(1)VE(A)=0当且仅当对∀x∈U,A(x)=[0,0]或[1,1];

(2)VE(A)=1当且仅当对∀x∈U,tA(x)=fA(x);

(4) 若Ac是A的补集,Ac(x)=[fA(x),1-tA(x)],则VE(A)=VE(Ac)。

基于上述公理化定义,杨永伟[23]、范平[24]等分别独立提出了Vague 集上模糊熵的具体计算公式。

定义2 设论域U={x1,x2,…,xn},A是U上的一个Vague集,A(x)=[tA(x),1-fA(x)]。

(1-yA(xi))log2(1-yA(xi))]

(3)

(2) 令πA(xi)=1-tA(xi)-fA(xi),Vague集A的模糊熵定义为[24]

(4)

上述关于模糊熵的两个计算公式均体现了Vague信息的未知度、不确定度及二者交叉的模糊度。当A变成Fuzzy集时,前者退化成Fuzzy集上的模糊熵,因而与Fuzzy集上的模糊熵定义相容;后者按照Vague集模糊熵的度量来源直接表示,其测算过程符合人们直觉。

2.3 D-S证据理论

D-S证据理论通过定义信任函数,并以Dempster合成规则为核心来综合不同数据源或专家群体的数据或知识,勿需先验概率信息,在证据合成过程中可对未知度进行重新分配,表征和融合不确定性信息更为有效直观。在信息融合方面的突出优势使其在专家系统、情报分析、多属性决策分析等领域均获得了广泛应用。D-S 证据理论的相关基本概念定义如下:

定义4 在识别框架Θ上,假定基本概率分配函数m:2Θ→[0,1],有

定义5 对于∀A⊆Θ,定义识别框架Θ上的有限个mass函数m1,m2,…,mk,焦元(证据)分别为A1,A2,…,Ak,则Dempster证据合成规则为

m(A)=(m1⊕m2⊕…⊕mk)(A)=

(5)

3 模型设计

3.1 评价信息处理

专家评分可信度受制于其在对目标方案的Vague决策中表现出来的未知性、不确定性及二者兼具时的模糊性影响,可由模糊熵来客观度量。

(6)

(7)

(3) 属性权重计算。通常采用记分函数表示决策方案对决策者要求的满足程度。对于方案Ai,根据评价函数E,获得Ai的Vague评价值E(Ai)=[tAi,1-fAi],将记分函数定义如下:

(8)

基于上述记分函数计算属性权重矩阵W中Vague权重的得分,获得属性权重得分矩阵:

(9)

结合考虑专家的评分可信度,在各个属性上将所有专家的意见进行加权综合,计算出各个属性的综合权重值,并构建属性综合权重序列W*:

(10)

3.2 决策矩阵证据信息集结

在Vague多属性群决策中,对于每个决策方案,在各属性下均有多位专家给出的Vague值评价信息,利用证据理论将各专家经修正后的Vague评价值进行信息集结,获得每个方案在各属性下的综合Vague评价值。其流程如下:

(11)

其中,dij=[tij,1-fij],并满足:

(12)

(13)

(14)

3.3 确定最优决策方案

3.4 算法步骤

根据上述分析,给出基于Vague集模糊熵和D-S证据理论的多属性群决策方法。具体步骤如下:

步骤1 将各专家给出的方案的属性评价值以及属性权重值用Vague值表示,构建决策矩阵与属性权重矩阵。

步骤2 根据决策矩阵计算各专家在各属性下的Vague集模糊熵,得到每位专家的评分可信度序列,并以此修正各专家的决策矩阵。

步骤3 针对每个方案,利用证据合成式(12)—式(14),对各专家在各属性下经修正后的每一方案Vague评价值进行信息集结,相应构建得到专家群体决策矩阵。

步骤4 针对属性权重矩阵,使用记分函数式(8)计算属性权重得分矩阵,并利用各专家的评分可信度序列进行调整,获得属性综合权重序列。

步骤5 基于专家群体决策矩阵与属性综合权重序列,计算各方案的加权平均Vague评价值,再利用记分函数式(8)算出各方案的综合得分。其值越大,所对应的决策方案越优。

综上所述,进行多属性群决策的具体流程如图1所示。

图1 Vague值多属性群决策算法流程图Fig.1 The algorithm flow chart of Vague valued multi-attribute group decision making

4 算例分析

为了解释上述算法,并与崔春生等[21]提出的基于证据理论与Vague集的多属性群决策方法进行比较分析,本文继续沿用崔春生等[21]文中的案例,假设方案集为A={A1,A2,A3},方案评价的标准为属性集C={C1,C2,C3,C4},3位专家记为e1、e2、e3,基于各属性分别对各个方案进行评价。

步骤1 专家e1、e2、e3考虑各属性后对各决策方案进行Vague评价,构建原始决策矩阵D1、D2、D3分别为

专家e1、e2、e3设定各属性的权重,构建属性权重矩阵W为

步骤2 根据各专家决策矩阵,运用Vague集模糊熵式(3),计算各专家的评分可信度序列,得到可信度矩阵r为

5 结束语

探讨了Vague集信息下的多属性群决策问题,提出了一种基于Vague集模糊熵和D-S证据理论的多属性群决策方法。主要工作及特点包括:根据专家在考虑各属性下对各方案的Vague评价,运用模糊熵值确定各专家的评分可信度序列,弥补了传统方法对可信度主观统一设定上的不足,其由具体数据驱动,并随具体决策问题不同而不同,因而更具客观性与灵活性,其评价结果也能保持内在一致性;利用专家可信度序列修正原始评价信息,分别运用Vague记分函数与专家可信度序列计算出各属性的综合权重值,使之更贴合实际;结合Vague集模糊熵在刻画模糊不确定性上的优势以及D-S证据理论在信息融合上的优势,运用证据合成公式将各位专家在属性集下每个方案的Vague评价值进行信息集结,并经属性综合权重的加权与记分函数计算得分后,获得各个方案的最终评分。本文提出的多属性群决策方法可以进行程式化设计,具有较强的可操作性,易于实践。

本文是基于崔春生等[21]一文基础上的后续研究,所提出的方法在该文基础上有两个改进:一是以Vague集模糊熵为依据来获得专家的评分可信度,摒弃了主观设定的传统思路;二是仅对专家评价证据进行信息集结,减少了对属性集证据信息的二次集结,原因在于证据合成次数较多,尤其是存在高冲突的证据时,易造成信息失真,产生与直觉相悖的结果。通过算例验证了提出的多属性群决策方法的合理性和实用性。如何降低Vague证据信息合成中可能存在的高冲突性以拓宽应用场景,以及如何在专家的方案评价信息或属性权重信息存在部分缺失情况下进行群决策有待后续进一步的研究。