参数优化 VMD-MPE 和 PSO-CS-Elman 神经网络在滚动轴承故障诊断中的应用研究

肖茂华 周爽 黄天逸 赵远方 费秀国

摘要： 针对滚动轴承振动信号的非线性、非平稳特征，提出了基于参数优化变分模态分解（Variational Mode Decom‐position，VMD）、多尺度排列熵（Multi‐scale Permutation Entropy，MPE）和粒子群‐布谷鸟搜索融合算法优化 Elman神经网络的故障诊断方法。针对 VMD 中模态分量个数和惩罚因子难以确定的问题，引入鲸鱼优化算法，令其自主搜寻最优解；利用获得最优参数的 VMD 对滚动轴承故障仿真信号进行分解，对最佳模态分量进行包络谱分析，对比仿真故障频率与实际值的吻合度，验证该方法的可行性。考虑到 MPE 具有可探究信号内动力突变的优点，将其与参数优化 VMD 相结合，求取滚动轴承振动信号各阶模态分量的 MPE 值，选择部分熵值构建特征向量，并将其投放在三维空间观察其差异性，判断其是否能够良好地表征不同故障类型。针对 Elman 神经网络识别精度低的问题，将粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法和布谷鸟搜索（Cuckoo Search，CS）算法相融合，以此联合优化 Elman 网络的权重和阈值，以提升网络的收敛精度和诊断精度。以实验采集和凯斯西储大学的滚动轴承振动信号为研究对象，应用所提方法进行分析。结果表明，所提方法不仅能够自适应地将信号分解，并提取出有效的故障特征，还能准确实现故障模式的分类，提高故障识别率。

关键词： 故障诊断；滚动轴承；参数优化变分模态分解；多尺度排列熵； PSO‐CS‐Elman

中图分类号： TH165+.3；TH133.33 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2023）03-0861-14

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.029

引 言

滚动轴承因具有转速高、效率高以及噪声低等优点而被广泛应用于机械行业的各个领域。它的工作环境通常较为恶劣，导致其寿命离散性大且故障率高。据统计，在使用滚动轴承的旋转机械设备中，约有 30% 的机械故障与轴承损伤有关［1］。利用其工作过程中产生的振动信号进行故障诊断，不仅能够降低机械设备发生意外事故的几率，还可为设备的后期维修提供一定参考［2‐3］。

滚动轴承振动信号受诸多因素的影响而呈现出非线性与非平稳性，如何从中提取出有效信息尤为重要［4］。传统手段主要包括时域和频域分析，但对于非平稳复杂信号，其时域和频域的统计特性均随时间变化，需同时在时域与频域内进行分析与处理［5］。常用的时频分析方法主要有小波分析［6］、经验模 态 分 解（Empirical Mode Decomposition，EMD）、局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）［7］等。EMD 可将信号自适应地分解为若干个本征模态函数，但易存在端点效应、模态混叠等问题［8］。徐卓飞等［9］提出了一种融合 EMD 和多元统计的轴承故障诊断方法，实现了对常见的三类轴承故障的分类。与它相比，LMD 在迭代次数与运算速度方面有一定改善，但仍解决不了端点效应等问题。于是，Dragomiretskiy 等［10］提出一种可变尺度的处理方法，即变分模态分解（Variational Mode Decomposition，VMD）。该方法引入变分模型，将信号的分解转换为约束模型最优解的寻优问题，可以避免端点效应、抑制模态混淆，并且具有很高的分解效率。武英杰等［11］将 VMD 应用于风电机组的故障诊断中，证明了 VMD 能够有效避免模态混叠现象，对轴系不平衡故障有良好的诊断效果。但是，VMD 在应用过程中，其分解层数与惩罚因子难以精确选取。唐贵基等［12］曾使用智能算法优化 VMD 参数，获得了比较好的分解效果；但选用谱峭度作为适应度函数参数，导致最终求得的分解层数值不稳定。

采集的故障滚动轴承的振动信号比较复杂，不容易直接获取较好的信号特征。若直接将原始信号作为神经网络的输入，不仅存在样本过大、训练时间过长等问题，还会影响最终的故障分类效果。常用的复杂性分析方法主要包括近似熵、样本熵、排列熵、多尺度排列熵等。其中，多尺度排列熵（Multi‐scale Permutation Entropy，MPE）具 有 可 探 究 信 号内动力突变的优点［13］，使用它来表征不同工况下的振动信号将会达到较好效果。但是，因其参数选取对于特征提取的好坏具有决定性作用，通常需对其所构建特征向量的性能作出进一步判定。

当前，故障诊断方法已经从早期的人工检测逐步演变为智能化诊断。支持向量机（Support VectorMachine，SVM）是 对 有 限 数 据 进 行 处 理 的 工 具 之一，它具有非常好的泛化能力，不需要设定太多的训练样本就可以保证最终的故障分类结果保持在一个较高水平［14］。Van 等［15］搭建了一个混合 SVM 模型，并成功应用于轴承故障分类。Parmar 等［16］利用小波包分解和 SVM 对圆柱滚子轴承的多种故障进行了分类研究，并证明了其在分类效果和训练时间方面的优越性。聚类分析（Clustering Analysis，CA）是用來描述数据的一种方法，有着独特的分类原则，在同一聚类中分出非常相似的对象，但又对每个记录进行合理划分，从而确定每个记录所属的类别。姚立国等［17］利用模拟退火方法挑出最优局部解，并与CA 相结合，较好地应用于轴承的故障诊断。采用神经网络进行故障诊断，就是将各类故障信息的有效特征向量作为网络结构的输入值，利用网络的不断迭代训练测试，最终完成类别的划分。目前，在机械故障诊断中应用较多的主要有 Elman，BP，径向基和小波等神经网络。此类方法在目前研究中是一种主流方法，但它对于特征向量构建及参数选取的依赖性较强。针对原始网络中总存在收敛精度低、分类精度低等问题，学者们纷纷采用各类方法对其进行优化。Li 等［18］基于 BPNN 的多尺度局部特征学习开展了滚动轴承智能故障诊断研究。任学平等［19］和唐立力等［20］分别用了粒子群（Particle SwarmOptimization，PSO）算法和思维进化算法对神经网络进行结构参数优化，最终的分类效果都有明显提升。皮骏等［21］使用改进 PSO 优化 Elman 神经网络，并应用于航空发动机的故障诊断，提升了网络训练速度和诊断精度。除此之外，深度学习方法的故障诊断应用也逐渐增多［22］，它与神经网络在很多时候有些交叉成分，它最大的不足就是训练时间往往过长。所以目前使用浅层神经网络实现更高效率和实时的故障诊断依然很有必要。

综上所述，VMD 虽在端点效应、模态混叠等问题上有所改善，但其分解层数与惩罚因子难以精确选取。Elman 神经网络可以用于故障分类，但其收敛精度与分类精度还有很大提升空间。

为解决上述问题，本文基于鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA），使 VMD 能够自动搜寻最优参数；利用信号分解与 MPE 提取的融合方法来构建特征向量，以更好地表征不同类型的振动信号；提出基于 PSO‐CS 优化的 Elman 神经网络，以提升收敛精度及故障分类精度。

1 参数优化的变分模态分解

1. 1 VMD 方法

1. 1. 1 VMD 基本原理

VMD 的实质是以频域迭代方式将振动信号分解为若干个幅频调制信号。假设存在一多频信号 f，可被划分为 K 个离散时间序列 u（k t），且带宽有限；它们相应的中心基频带为 ω（k t）；并且，由 u（k t）所得频谱都拥有稀疏特性。带宽求取的具体步骤如下：

（1）利用 Hilbert 变换，将分解所得各阶本征模态分量（Intrinsic Mode Functions，IMF）的解析信号以及单边频谱加以计算：

（2）在各模态信号上乘以一个指数项，以调整其中心频带：

（3）计算解调信号的梯度范数 L2，估计各模态信号带宽：

（4）上面所获取的中心频率及带宽是有条件限制的，即要符合各个 IMF 信号带宽之和最小的要求。所以，有必要构建约束变分模型：式中 ωk表示各IMF的频率中心；uk表示第k个IMF；f表示原始信号。

为获得式（4）最优解，引入二次惩罚因子法和Lagrange 函数乘子法，将其转换为无约束变分问题。增广 Lagrange 函数为：

接着，引入交替乘子方向算法（Alternate Direc‐tion Method of Multipliers，ADMM）便 能 够 搜 寻 该变分问题的鞍点。每个 IMF 的中心频率和带宽可以更新：

1. 2 鲸鱼优化算法（WOA）

WOA 属于群体人工智能优化算法，主要步骤如下：

（1）包围猎物。在鲸鱼搜捕猎物的过程中，若某只鲸鱼锁定一个最佳的待捕捉猎物，那么其他鲸鱼将会尝试识别到该猎物所处位置，并向该处移动聚集，最终将目标猎物包围。可描述为：式中 t 为当前迭代次数；X 为鲸鱼当前位置；X ？ 为猎物当前位置；D 为鲸鱼与猎物之间的距离向量；A和 C 为系数向量，表示为：式中 r 为随机向量 ，范围为［0，1］；a 从 2 线性递减到 0。

（2）冒泡进攻方式。有两种数学模型可描述该方式，第一种是收缩包围机制，能利用 a 的降低来完成，设置 A 为［？1，1］内的任意数，那么可以在初始值与最优位置中选取新的位置。第二种是螺旋更新位置，通过鲸鱼和猎物之间的螺旋式转换，不断更新位置：

WOA 设定了 50% 的概率，随机选择以上两种方式，以便模拟两者同时发生的情况。此过程的迭代更新表示为：

（3）搜索猎物。鲸鱼识别同类或搜索猎物的过程都是随机的，利用这个随机值代替最优的结果。其数学模型为：式中 Xrand 为鲸鱼群中随机一个鲸鱼个体的位置。

探索及开发能力可以利用| A|的范围来决定。当| A|<1，就选择最优结果；当| A|>1，就随机选取搜索个体。

在进行全局搜索时，为了对迭代情况进行良好判断，选用样本熵的最小值作为 WOA 的适应度函數。若某信号的样本熵值越逼近于 0，它的内部相似性程度越高，其中夹杂的噪音就越少［23］。

1. 3 基于 WOA 的 VMD 参数寻优流程

基于以上分析，提出了参数自适应的 VMD 方法，如图 1 所示。主要步骤可归结如下：

（1）获取滚动轴承的振动加速度信号；

（2）设置鲸鱼优化算法循环初始条件；

（3）设置VMD分解层数和惩罚因子的寻优空间；

（4）依据样本熵值最小准则对结果进行统计，选取熵值最小时的分解层数和惩罚因子为最优 VMD参数；

（5）对信号分解后所得最优 IMF 进行包络谱分析，观察仿真与实际故障频率的契合程度。

1. 4 仿真信号测试

基于轴承内圈单个损伤点的故障理论模型［24］，模拟轴承内圈故障产生的冲击信号。此外，对它添加一定信噪比的高斯白噪声，模拟实际工况下轴承内圈故障信号。最终仿真信号模型为：式中 x（t）为仿真信号；s（t）为周期性故障脉冲；T为故障周期；h（t）为随指数衰减的正弦冲击信号；A0为幅值，取值0.5；fr为转频，取值20Hz；C为衰减系数，取值800；fn为共振频率，取值4000Hz；内圈故障频率fi=1/T=110Hz；τi为微小波动，本次取值为0；n（t）为白噪声，其信噪比取为+2dB。

采样频率设置为12kHz，采样时间设置为0.5s。冲击信号与仿真信号的波形图与频谱图如图2所示。

WOA的相关参数如表1所示。在寻优过程中，每次迭代更新后，计算分解所得全部IMF的样本熵值，选取其最小值作为最佳目标函数值。图3为适应度值的变化曲线。

由图3可知，样本熵值先随着迭代次数的增加而减小，且最小的样本熵值0.1066第一次出现在第12 代，然后样本熵值便一直保持不变。迭代结束后，可以得到优化后的参数组合为［α，K］=［3896，4］。于是 VMD 的分解参数自动更新为 α=3896，K=4，接着便对输入的仿真信号完成分解。然后，原始仿真信号经 VMD 分解后便可形成 4 个 IMF，其时域波形图与频谱图如图 4 所示，各分量的样本熵值如表 2 所示。

由图 4 和表 2 可知，IMF3 中包含着频带中心为4000 Hz 的共振频带，且样本熵值最小，其所含杂质信号的成分也较少。然后，通过下式计算它们与原始信号的信噪比 SNR 和相关度 R：式中 n为信号的总数目；yi为信号分量；y？i为原始信号。计算结果如图5所示。

从图5中可以看出，IMF3在两方面都优于另外三项。

于是，选择IMF3，绘制其包络谱如图6所示。由图6可明显看见内圈故障仿真信号的故障频率及其二倍频、三倍频等。通过寻优后的VMD信号分解，轴承内圈的重要故障频率信息就被提取出来，可以作为判定轴承内圈存在损伤的依据。此仿真信号分析充分证明了WOA参数寻优的有效性，以及WOA‐VMD信号分解的高效性。

2 PSO-CS-Elman 方法

2. 1 Elman 神经网络

Elman 神经网络属于反馈型网络，它由输入、隐含、输出和承接四层构成，如图 7 所示。y（n t）为 n 维输出节点向量；U（dt）为d维输入向量；Xm（t）为m维中间层节点单元向量；Xcm（t）为反馈状态向量；w（t）为中间层到输出层连接权值；r（t）为承接层到中间层的连接权值；v（t）为输入层到中间层的连接权值。

2. 2 粒子群算法（PSO）

PSO 算法的基本思路是：在可行域内放入一群粒子，每个粒子都有适应度和速度向量。通过适应度来判断目前个体的最优解和群体的最优解，每次迭代都向适应度最优的方向搜寻，并不断优化每个粒子的适应度和速度向量，直到达到所需的精度，则迭代完毕，当前适应度最优的粒子所处的位置即为可行域内的最优解。

PSO 算法简便易行，但它在搜寻最优解的时候容易出现收敛不成熟和误差较大等问题。

2. 3 布谷鸟搜索（CS）算法

CS 算法的灵感来源于布谷鸟的寄生繁衍方式，其流程如图 8 所示，具体步骤如下：首先对种群初始化，并判别是否达到了最大迭代次数。如达到目标，则将最优解立刻输出。

利用莱维飞行机制，不断将鸟窝位置更新：

在算法运行过程中，随机生成一个数 r 在 0～1之间，将其与发现概率 Pa 相比较。如果数值大于Pa，则将该解舍弃，并利用下式再次形成新解；否则保持原解。

2. 4 PSO-CS 算法

虽然 CS 算法存在结构简单、全局搜索能力好等优点，但其也有不足，如参数设置固定、缺乏种群内部交流机制和局部搜索性能较差。针对这些缺点，将 PSO 算法与 CS 算法相融合，进行二者混合编程。其基本原理可总结归纳为：在 n 个粒子群不停迭代时，通过 PSO 算法将各代的粒子速度及位置进行更新，获得一组粒子的最佳位置；接着，将上一步获得的粒子最佳位置随即代入到 CS 算法中，继续更新。这样，与原算法相比，除了本身的迭代次数以外，所有的粒子群都会增加一次 CS 算法的更新及计算，这在迭代时间上相差也不算大。它的具体算法流程如图 9 所示。

此方法最大的优点是，它将粒子群算法的搜索能力与布谷鸟算法的全局搜索能力叠加起来，在总体上可将算法的优化能力提升许多。

3 信号降噪与特征提取

3. 1 奇异值分解（SVD）

奇异值分解（SingularValueDecomposition，SVD）实质上是一种非线性滤波，能够较好地滤除信号中的随机噪声。

SVD 的降噪效果通常取决于奇异值个数的选择，由于有用信号主要集中在前面 i 个较大的奇异值，通过保留合适的奇异值，再进行 SVD 的逆过程就可以消除原始振动信号中的噪声，从而提取到有用的特征信號。

3. 2 多尺度排列熵

4 故障诊断流程

基于以上分析，提出本文故障诊断方法，其流程如图 10 所示。主要步骤可以归结为：

（1）采集各类轴承在不同工况下的振动信号。

（2）通过 SVD 分解对采集数据进行降噪。

（3）对各类信号进行 VMD 分解，再利用 MPE计算及归一化，挑选有用数值，构建多组特征向量作为网络的输入。

（4）对 Elman 神经网络完成优化设计，将特征向量进行分组，输入到网络中进行训练及测试。同时，通过不同网络结构对同组样本数据的分类结果加以对比分析。

5 试验验证

为检验上述方法的诊断性能，本文以实验室内机械传动故障植入诊断试验平台和凯斯西储大学轴承故障诊断试验台采集的两份传感器数据为研究对象，进行故障诊断试验。

5. 1 试验数据来源

5. 1. 1 试验数据

通过线切割在圆柱滚子轴承的外圈、内圈和滚子上开槽来制造故障，各状态轴承如图 11 所示。利用图 12 试验台模拟正常轴承和这三种故障轴承的实际运行状况。在此过程中，设置电机频率为45Hz，径向载荷为200kg，采样频率为16kHz，连续采集振动加速度信号。

5. 1. 2 凯斯西储大学数据

凯斯西储大学以图 13 所示电机驱动端和风扇端的轴承作为诊断对象，分别在测试轴承的内圈、外圈及滚子上采用电火花加工的方式引入单点损伤来模拟轴承的三种故障，损伤尺寸分别为0.007（0.1778），0.014（0.3556）和0.021（0.5334）inch（mm），然后在不同工况下由加速度传感器采集信号［25］。

本文仅将电机驱动端正常轴承、内圈、外圈以及滚子故障的轴承振动信号作为研究对象，故障数据具体如表 3 所示。采样频率为 12 kHz。

5. 2 特征向量的构建

将实验采集的振动信号集按照类别平滑划分为若干个点数为 16000 的小样本。为了避免环境对有效信号的影响，采用 SVD 对信号进行降噪。图 14所示为正常轴承的原始振动信号与降噪信号。

接着，采用 WOA ‐VMD 方法对全部样本信号进行合理分解，并提取其 MPE 作为特征值。图 15即为某组信号的时域、频域自适应分解结果。

利用该方法对多组样本信号进行参数寻优，发现分解层数均超过 5 层。关于 MPE 的参数选取，郑近德等［26］通过仿真发现，当尺度因子 s=11、嵌入维数 m=6、时间延迟 τ=1 时，能够有效提取出轴承信号中的特征信息；本文借鉴其试验参数，分别计算各信号分量的 MPE 值并归一化。刁宁坤等［27］通过仿真发现当 s 逐渐增大时，4 种状态的排列熵值逐渐接近，在前几个尺度的排列熵值中包含较多信息。于是，本文从多尺度排列熵中选用前 4 行、前 2 列的数据进行排列，组合成一个 8 列 1 行的特征向量，当作网络的一个输入样本。按照上述方法，利用 MAT‐LAB 为 4 种类型信号分别生成 60 组输入样本，其图形表示如图 16 所示。可以看出，4 类信号的 MPE 特征向量在某些元素上有较明显差别，信号特征提取效果较好。

类似地，针对凯斯西储大学的 6 类振动信号，分别构造出 45 组输入样本，其图形化表示如图 17 所示，各类型的特征向量均可发现明显差别。

5. 3 仿真试验与结果分析

5. 3. 1 基于试验数据的仿真试验与结果分析本文选择仅包含一个隐含层的 4 层 Elman 神经网络结构。该仿真试验是以归一化 MPE 8 元素特征向量作为输入，而输出则以单个标签形式呈现，于是，将输入和输出层的神经元数目分别定为 8 和 1。隐含层神经元个数的选取参考下式，最终定为 17。

马位涛［28］曾做过多组传递函数搭配的测试对比，发现“tansig+purelin”的测试性能最佳，它在结果准确度以及网络训练时间上均有较大优越性。本文借鉴其经验，将该组合确定为隐藏和输出层的传递函数。

PSO 及 CS 算法的各参数对测试结果有着至关重要的作用。通过多次仿真，确定其参数：对于PSO，学习因子c1=c2=1.5，最大速度Vmax=0.9，最小速度Vmin=0.4，粒子数为20；对于CS算法，巢穴数量为20，被宿主发现的概率Pa=0.25，最大迭代次数为100。

将所有特征样本输入至PSO‐CS‐Elman中运行，将Elman神经网络的训练误差作为适应度函数。此过程中，将240个总样本按照类别均等划分为训练样本和测试样本，即保证各类型的训练和测试样本数均为30；但具体样本不指定用于训练或测试，而是通过程序使其随机完成分组。为了评价其优化性能的好坏，再将相同样本分别输入至Elman，PSO‐Elman和CS‐Elman神经网络中进行测试，相关参数设置保持一致。

图18为3种优化算法运行时适应度的变化曲线，PSO‐CS算法在第29次迭代时便达到了最优适应度值0.0152，它在迭代次数与收敛精度方面明显优于其他两者。图19所示为4种网络结构此次对测试样本的识别结果对比。由图18，19 的曲线可知，PSO 和 CS 优化 Elman 的识别结果比较相近，都比原始网络结构识别准确率高，但 PSO‐CS‐Elman 故障识别的出错数目最少，其准确率比原始 Elman 神经网络提升了 10%，优越性比较明显。

之后，将 4 种方法分别再运行 5 次，这样处理可以避免网络结构对某组既定的测试样本有偶然的较高识别率。同时，引入 BP，PSO‐BP 和 SVM 方法进行同样的分析，所得分类结果如表 4 所示。从表 4 的平均准确率中可以看出，PSO‐CS‐Elman 拥有最好的故障识别率，比原始网络提升了 7.91%；但是，它在获取较高准确率的同时放弃了一定的诊断速率，其平均速率低于其他方法。尽管如此，参照以往的深度学习故障诊断模型，其速率在可接受范围内。

5. 3. 2 基于开源数据的仿真试验与结果分析

该试验的训练和测试样本数量分别定为 210 组和 105 组，且每种类型均匀划分。然后将其输入至4 种神经网络结构中进行仿真测试；其中，各参数均与上节所述一致。图 20 为各优化算法适应度的变化曲线；图 21 为 4 种网络结构对测试样本的单次分类结果对比。

由图20可知，PSO‐CS算法在迭代次数为 30时，适应度值达到了最低值 0.0238，而 PSO 和 CS 算法分别在第 59 和 47 次迭代时，适应度值达到 0.0462和 0.0401；明显地，PSO‐CS 算法在迭代次数和收敛精度上依然占据优势。通过观察图 21 的仿真结果，总体上，PSO‐CS‐Elman 神经网络仍然具有最高的故障分类识别效果，准确率高达 97.14%。

同样地，引入多种算法进行多次测试，获得结果如表 5 所示。对比可知，PSO‐CS‐Elman 的高故障识别率具有一定的稳定性，且比原始神经网络准确率提升了 10.32%，但其运算速率依然最低，这是因为在算法迭代过程中，为了追求更高准确率，不断调整参数，将模型结构计算过程稍微复杂化，但总的来说，其运算速率与诊断正确率达到了一定平衡。

6 结 论

基于参数优化 VMD 多尺度排列熵和 PSO‐CS‐Elman 神经网络，可以有效地实现对滚动轴承的故障诊断。

（1）针对振动信号在 VMD 分解时受分解数量K 和惩罚因子 α 的影响，提出采用鲸鱼优化算法对VMD 进行参数优化，使滚动轴承振动信号可以自适应地分解，以便于后续的有效特征提取。通过仿真分析证明了 WOA 参数寻优的有效性，以及 WOA‐VMD 信号分解的高效性。

（2）通过开源数据和自行搭建试验台数据的多重分析对比，发现利用优化变分模态分解与多尺度排列熵所构建的特征向量，能够较好地区分各个类型的轴承振动信号。

（3）PSO‐CS‐Elman 神经网络在训练过程中，在迭代次数和收敛精度上依然占据优势。并且它有着更为优越和稳定的故障分类效果：在实验数据与开源数据仿真测试中的平均分类准确率高达 97.22%和 97.15%，相较于原始 Elman 神经网络分别提升了7.91% 和 10.32%；在此过程中，牺牲了一定的运算速率，但總体而言，其速率比通常深度学习速率要快很多。在某种意义上，本文方法在运算速率与诊断准确率上做到了互相平衡。

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