基于用方程解决问题 画图帮助构建模型

周雪梅

数学源于对现实世界的抽象，能在熟悉的具体情境抽象数量关系，经历探索规律的过程，形成模型意识，提升解决问题的能力。五年级学生第一次正式学习用字母表示数，感知含有字母的式子既能表示一个数量也能表示两个量之间的数量关系，并通过对具体情境分析、抽象出数量关系，从而解决实际问题，实现从算术思维向代数思维的转变。但是学生受算术思维定式的影响、找不到数量关系和书写格式要求烦琐等诸多原因，学生不喜欢用方程来解决问题，不管从学生小学与初中衔接还是从学生思维发展的需要，教师都应该引导学生体会列方程解决问题具有变逆向思考为顺向思考的优势，丰富解题策略，发展思维的灵活性。以下是笔者在教学用方程解决问题时的几点思考：

一、利用画图来找题中的等量关系

画图是学生对现实世界在头脑中的最直观的反映，所以教科书充分利用主题图、插画等吸引学生，唤起学生已有生活经验，慢慢过渡到文字。当教学五年级用方程解决问题时，找等量关系式是关键，有些数学问题数量关系复杂，学生一时不易找出隐含的等量关系，导致列不出方程。这时，学生不妨从熟悉的情境出发，简单的数量关系入手，由浅入深，循序渐进。教师引导学生边读题边回到“画”里面去，在文字语言所提供的材料基础上，运用感知觉和表象，将学生读到的信息“画”出来，从而有效地帮助学生分析数量关系。

片段一：

师：希望小学五年级有两个班，五（1）班有30人，五（2）班人数是五（1）班人数的2倍少10人，求五（2）班有多少人？

首先，教师牢牢抓住两个问题“是在以谁的数量为标准，五（1）班和五（2）班存在什么样的数量关系”，引导学生把这两个问题“画”出来，并进一步规范画图时，先画“标准量”或者“1倍数”。

分析题中“标准量”即“1倍数”是五（1）班的人数，用一小段线段表示，五（2）班人数是这样的两小段少10人（线段长度选取合适，用虚线表示），看图找出题中的数量关系，五（2）班人数是五（1）人数的2倍少10人，列式：30×2-10=50（人），解决问题。

教师再次更改为题2：希望小学五年级有两个班，五（1）班有30人，五（1）班人数是五（2）班人数的2倍少10人，求五（2）班有多少人？

学生画图，此时题中“标准量”或者“1倍数”变成了五（2）班，画图时先画标准量五（2）班（1倍数），再画标准量的2倍，最后在线段图上标注出少的10人（线段长度合适，用虚线），此处需要给学生足够时间去辨析哪一段是表示五（1）班人数30人，通过线段图很容易找到其中隐藏的数量关系，五（1）班人数是五（2）班人数的2倍减10人。此时，学生发现“标准量”即“1倍数”不知道是多少，自然而然想到用字母x来表示，列出方程解决问题。

最后，再次对比题2和题3的异同。不同点：“标准量”不同；相同点：要求的量都是“标准量”的2倍少10人。通过画图，学生难以理解的数量关系一下子浮出水面，在图中对比加深数量关系的理解，克服找不到数量关系的困难。

二、利用画图对比优化解题策略

当我们通过画图把数量关系找出来后，不少同学觉得用算术法也能解决，何必去写格式要求烦琐的方程呢？那就让我们的同学试试用算术法解决题3，再谈谈想法。其实，算术解法与方程解法既有联系，又有区别。两者最明显的区别在于：方程解法中未知数可以参加列式与运算，而算术解法中则不能。正因为如此，算术法需要用到倒推，逆向思考，思维难度比较大，学生容易与相应的顺向思考问题（求比一个数的几倍多或者少几的数是多少）相混淆，前测错误率高达68%。请学生看图说说什么样的题适合用算术法，什么样的题用方程更好？通过小组交流讨论后发现，标准量知道的情况下，适合用算术解；标准量不知道的情况下就设标准量为x，带着x按照数量关系列出方程解出来就行，有明显的优越性。

回顾反思环节，也可以让学生看着自己画的图来描述已知信息和问题，检验一下自己对题目的理解是否有偏差，从而培养学生认真严谨的科学态度。

三、利用画图感悟数学之间的联系

随着我们对知识的不断积累，生活经验的增加，学生思维水平也开始从具体慢慢转向抽象，现实生活中一些稍微復杂的数量关系也可以通过画图和旧知沟通联系，让学生感悟数学之间的密切联系。下面以六年级利用分数解决问题为例。

片段二：

师出示题1：希望小学五年级有两个班，五（1）班有22人，五（2）班人数比五（1）多。五（2）班有多少人？

学生开始画图，标准量是五（1）班人数（已知），标准量看作单位“1”，平均分成2份，五（2）班比五（1）多五（1）的，即有3份，相当于知2份求3份。

接着，教师更改题2：希望小学五年级有两个班，五（1）班有33人，五（1）班人数比五（2）多。五（2）班有多少人？

学生画图，标准量是五（2）班人数（未知），标准量看作单位“1”，平均分成2份，五（1）班比五（2）多五（2）的，即有3份，相当于知3份求2份。

甚至到后面用比、百分数解决问题时，只要学生学会画图，很容易发现两个量之间的数量关系，无论哪种表达方式，只要找准“标准量”和数量关系，知标准量用算术法，不知标准量，优先用方程快速列出式子或方程。通过画图，新旧知识之间构架一座桥梁，正所谓一通百通，学生对倍、比、分数、百分数、正（反）比例等数量关系有了更深刻的认识，体会数量关系之间的紧密联系，对于用方程解决问题，学生通过画图，思维由“混沌”走向“清晰”，体验到了“模型”思想的无限魅力。

在教学中，笔者经常把题目的类型、结构进行对比，让学生从一个题上升到一类题再到不同类型的题，通过画图，厘清数量关系，发现一种模型多种解法，再进行优化后，留下适合自己的解法。学生今后不一定记得很多知识点，唯有刻在他们头脑中的解题方法和策略、数学思想和严谨的科学态度能在他们身上留下深深的印记，最终达到立德树人的教育目的。