在质的更新、量的扩充中完善认知结构

刘梅

在小学数学教学中十分重视数学概念的引入，常常会设计一些特定的活动情境或构建与新概念有关的已经学过的数学知识引出新的概念，但究竟为什么要这样设计，很少有老师去深入交流，很少有学生在已有的认知结构学习中，主动辨别新概念与之前学过的数学知识有没有关联，知道要以什么样的数学认知方式学习新的概念，并对同一模块不同阶段的单元学习内容重新构建，感受数学结构的美。本文以“长度单位”为例，谈一谈自己的一些做法和思考。

一、分辨关联，是认知的前提

《美国学校数学教育的原则和标准》中讲道：数学是相互关联的观念。当学生能够将数学观点联系在一起时，他们的理解会深刻并且牢固。

为了突出数学相互间的联系，教师从单元结构、模块结构、领域结构把握小学数学学科体系的整体性、阶段性及一致性。如，教材将长度单位分编在二、三年级上册进行学习，分析数学知识的关联，认识厘米，是学生首次学习长度单位，与原有的数学知识没有关联，需要建立一个新的长度单位的认知结构，促进学生原有认知结构发生质的变化。学习厘米后，认识米、千米、分米、毫米，与原有的数学知识有关联，米与厘米有关联，千米与米有关联，分米与厘米有关联，毫米与厘米有关联，每一个新的长度单位的学习，就是一次量的扩充，促进了认知结构的量变。为此，教学中，教师有必要引导学生提出：这个新的长度单位与已学过的数学知识有没有关联？为什么？通过交流，建构新的知识与实物，强化学生对关联的认识，从而让学生更好地学习面积单位、体积单位及容积单位，同时扩展数学知识间的逻辑联系。

二、同化顺应，是认知的方式

小学数学学习的过程实际上是一个数学认知的过程，小学生主要通过同化和顺应两种方式认知数学。

选择哪种认知方式引入概念，教学的前提是引导学生辨别“新概念与之前学过的数学知识有没有关联”。若有关联，构建与新概念有关的已经学过的数学知识引入概念，即要用原有概念同化新的概念；若无关联，创设活动情境和几何直观，用顺应的认知方式引入概念。认识长度单位前，虽然学生能够定性描述一些物体的长短，但不一定能够运用定量的方法进行描述，而对长度的量化，离不开对长度单位的认识。厘米和米是两个常用的长度单位，是量化物体长度的基础，是两种不同认知的学习方式。下面以“认识厘米”为例，在感受统一长度单位的必要性后，教师会怎样引入1厘米呢？

师：我们先来认识直尺（屏幕上呈现直尺）。仔细观察，直尺上有什么？谁来说一说。（生独立观察）

生1：有线，有的长，有的短

生2：有数，有0、1、2、3、4、6、7、8、9、10。

师：直尺上的线是刻度线，直尺上的0是起点。观察两条短刻度线之间的长度，发现什么？观察两条长刻度线之间的长度，发现什么？（生独立观察）

在师生的对话中，学生认识刻度线，认识两条短刻度线之间的长度一样长，认识两条长刻度线之间的长度一样长，也就是0刻度线至1刻度线、1刻度线至2刻度线、2刻度线至3刻度线……它们之间的长度都一样长，教师追问是怎样发现的，接着介绍像这样0刻度线至1刻度线之间的这一段长度，就是1厘米的长度。

教学中，教师引导学生借助直尺认识1厘米的长度单位，但为什么要借助直尺学习新的概念，学生不知其所以然。为此，在感受统一长度单位的必要性后，提出要以多长才能作为统一的长度单位？当学生比画出1厘米的长度时，教师追问，以这一小段作为统一的长度单位，要以哪一个新的长度单位度量呢？这个新的长度单位与之前所学的数学知识有没有联系？给学生充足的时间去思考，辨别出没有任何联系，此时教师就可以呈现借助生活中的实物如测量的工具直尺学习新的长度单位。从关联的角度，渗透了用顺应的方式认识1厘米。接下来，可将新概念米、千米、分米、毫米纳入原有的长度单位认知结构中去，用同化的认知方式学习这些新的长度单位。正如《美国学校数学教育的原则和标准》讲道：数学是相互关联的观念，应渗透到各年级的数学学习中，通过强调数学中的联系，帮助学生形成应用联系解答数学问题的态度。

三、多重构建，是认知的完善

当认识了千米、分米和毫米后，需要将两个单元的长度单位的内容重新置于同一结构中，多重构建，完善认知，提升学生后续学习面积单位和应用面积单位解决问题的能力。下面，以问题引领，组织学生开展活动：

活动一：你学习了哪些长度单位？

教学立足学生，用归总的学习方式引导学生清晰、完善地构建出长度单位整体结构，加强了学生知识的系统性，进一步发展学生结构化的思维。

活动二：为什么一定要统一长度单位？

让学生在交流中，感悟统一长度单位的价值可以用定量的方法精确度量生活中一些图形或物体的长度，根据图形或物体的长度选择不同的测量工具进行测量，选择不同的长度单位进行度量，增强了学生的量感，有助于学生将这样的感悟类比到为什么要统一面积单位的学习中。

活动三：从关联的角度辨别，用什么方式认识长度单位？

习得长度单位的数学知识、技能固然重要，但更重要的是引导学生回顾认知长度单位的方式。通过表达，帮助学生厘清應用同化或顺应的方式认识长度单位，丰富学生从关联的角度辨别新概念与之前所学的数学知识有无联系的经验。

活动四：每一个长度单位有多长？量与量之间有什么关系？

在形与数的转换中，描述每一个长度单位有多长，实现从直观思维到抽象思维的进阶。如描述1千米有多长时，再次将1千米与步行所需要的步数和时间建立联系，增强学生对1千米的量感，同时丰富学生类比的学习经验。另外，引导学生感悟十进制数的位置意义，并从数系层面理解量与量之间的关系。

活动五：联系生活，说一说下面各题你是怎样想的？

1.（  ）的长是5（  ），（  ）的长是4（  ），（  ）比（  ）长。

2.一条彩带用去30厘米后还剩7分米，彩带原来长（  ）厘米，合（  ）米。

3.估一估（  ）到（  ）的距离是1（  ）。

组织学生独立完成后，通过交流，让学生在量的比较、量的运算、量的估计中提升学生应用能力，同时也丰富了量感的评价方式。

学生能不能将新的数学知识内化为自己的数学认知结构，取决于教师对小学生数学认知理论知识的理解、掌握和应用。作为小学数学教师有必要不断提升自己的专业知识，帮助学生体验从知识系统化走向思维结构化的学习过程，让学习深度发生。

【注：本文系“2021年度云南省教育科学规划基础教育专项项目《基于新课程标准的小学数学教学改进实践研究》（项目批准号BFJC21023）”“2022年度普洱市教育科学规划重点课题《多元表征下小学数学概念理解过程的实证研究》（课题立项编号22Z007）”的阶段性研究成果。】