一种基于小波变换的图像加密算法研究

方彪 庞恒鑫 王炫清 燕善俊

摘  要：随着计算机网络技术飞速发展，图像直观、形象等特点使其成为信息传播的重要媒介，但实际使用中仍旧存在着许多的安全隐患。文章采用小波变换和混沌图像加密结合的方法，对图像加密算法进行研究，并设计了一类兼顾压缩的图像加密算法。并通过对加密算法进行密钥灵敏度测试、时耗测试，可知该加密算法加密效果较好，安全性较强，加密速度有所提升。

关键词：小波变换；Arnold置乱；混沌系统；图像加密；网络安全

中图分类号：TP309.7    文献标识码：A  文章编号：2096-4706（2023）05-0102-04

Research on an Image Encryption Algorithm Based on Wavelet Transform

FANG Biao， PANG Hengxin， WANG Xuanqing， YAN Shanjun

（School of Mathematics and Statistics， Xuzhou University of Technology， Xuzhou  221111， China）

Abstract： With the rapid development of computer network technology， the characteristics of image intuition and vividness make it become an important medium of information dissemination， but there are still many security risks in actual use. This paper uses the method of combining wavelet transform with chaotic image encryption to study the image encryption algorithm， and it designs a kind of image encryption algorithm that takes compression into account. Through the key sensitivity test and time consumption test of the encryption algorithm， it is known that the encryption algorithm has good encryption effect， strong security and improved encryption speed.

Keywords： wavelet transform; Arnold scrambling; Chaotic System; image encryption; network security

0  引  言

随着计算机网络和多媒体的发展，数字图像的应用越来越多，它所承载的个人信息比例也逐渐增加，数字图像的安全问题已成为信息安全的焦点。在传统的加密算法如（DES、RSA），该类加密算法已得到了广泛应用，但随着应用的增加其，其破译方法也逐渐增多，且不适用于对图像及视频的处理。如今混沌动力学系统以其特殊的性质，对初始条件的极其敏感性，成为图像加密的首选方法。

混沌系统主要包含以下几种特征：

（1）对初始值的敏感性：混沌现象非常依赖初始条件。初始条件如果有细微变动，最终的结果可能会发生颠覆性的变化，这不利于预测长期的混沌系统的行为。

（2）长期不可预测性：因为混沌系统对初始条件的敏感，并且初始条件的精度是有限的。所以，混沌系统中未来某一时刻的特征是很难长期预测的。

（3）内随机性：即使外部的条件不变的情况下，有些状态可能会出现，也可能不会出现，这种现象就被成为内随机性。混沌系统内部会自发的产生内随机性。

本文简单介绍一种典型的一维混沌系统，即Logistic映射。它是一个简单而又非常重要的非线性迭代方程，在动力系统中被广泛应用。方程如下：

xn+1= μxn （1-xn）

其μ表示控制参数，n表示迭代次数，x表示状态变量。

小波与普通的波不同，理论要求有两个：一是小波波动正负交替，直流分量为零；二是能量一般聚集在某一个时刻附近，且能量有限，随着时间或距离的增加而越来越小。

信号一般由许多不同的频率成分组成。通常，于时域中，高频信号更容易区分，而在频域中低频信号更容易区分。所以当要分析的频率较高时，必须选择窄的时频信号来提高分辨率以求更好地分析高频信号的内容，并在分析低频信号时选择宽的时频信号进行分析，而小波变换可以满足这些需求。

小波变换具有以下特点：

（1）信号有着多尺度的特点，从粗到精都能观察到。

（2）相当于一个带通滤波器，基本频率固定，利用变换缩放因子对信号进行滤波。

数字图像通过小波变换压缩图像的基本方法为：将原始图像分解为四个子带信号，这些子图像的频率不同，本质是将这四个自带信号中的整体相关性消除掉，分解后的低频分量相比较原始图像，轮廓基本完整，图像基本保持不变，而且信息量缩减，传输效率大大提高。

小波母函数是一个集合，因此小波选取集合中的哪一个效果最好成为值得探讨的问题。小波变换主要分为三类：Symlets小波系、Daubechies小波系和Coiflet小波系，其中Symlets小波系和Daubechies小波系中分別有15种不同的小波，Coiflet小波系中有5种不同的小波，这共有30种不同的小波。现有的分析结果是：效果最好的小波为Coiflet 3，5、Daubechies 9，10，15以及Symlet 7，11，14，15。

在传统的加密信息传播的过程中，处理后的图像数据量很大，以及图像本身就具有很高的冗余度，所以要对图像进行预处理，即采用小波变换的压缩感知算法对图像进行初始化。

图像数据通常有两种：连续型图像数据和离散型图像数据，在图像信息的处理中，小波变换和傅里叶变换都是常用的基本方法。相比较傅里叶变换，小波变换能很好的处理剧烈变化中的非平稳信号。采用小波变换，可以将大量的离散数据进行压缩，从而减轻存储容量、通信路线的宽带和计算机的处理的压力。在压缩数据的过程中，通过分析图像中数据的相关性，减少冗余的数据，保留有效部分，从而减少所需的混沌序列，加密效率也有很大提高。

依据作用域的划分，图像加密算法可分为空域和频域两类，对于空域而言，其加密具有速度快，效果好的优势，但在抵抗外界攻击时不如频域加密算法。在频域加密算法中，离散小波变换相比于离散傅里叶变换更具优势，它具有多分辨率分析的特点，在时域、频域中都具有表征信号局部特征的能力，能够解决信号的不平稳性。经小波变换后能够得到原始图像的低频信息，集中了原始图像的主要能量，与其相似度很高，可直接用来代替原始图像进行加密，能够去除冗杂的高频信息的干扰。

在图像处理的过程中，常见的小波变换形式是离散形式。离散小波本质上是将连续小波离散化。对位置参数b和尺度参数a进行离散化。设Ψ （t）是基本小波，取a0＞1，b0＞0记为：

称{Ψm， n （t）∈Z}为离散小波。

1  基于混沌系统与小波变换的图像加密算法设计

目前图像加密算法的完成都是针对频率或者像素的置乱，即便它有较好的加密效果，但是对于图像的压缩仍然存在大量可优化的空间，所以本文将小波变换和混沌系统的图像加密相互结合，成为一种新的图像加密方法。

1.1  图像加密算法的步骤

（1）DWT处理。对于初始图像利用小波变换进行小波分解，区分出图像在小波变换后低频、水平、垂直以及对角系数。

（2）图像压缩。对图像进行小波分解后，保留低频数据，去除高频数据，将分解的低频数据进行信息量化编码压缩，重复该步骤，对第二层进行数据压缩。

（3）混沌系统加密。通过一维Logistic映射生成混沌序列，与压缩图像进行异或操作，利用公式：

p′ （x， y）=p （x， y） ⊕ x （i）

其中p （x， y）表示原图在点（x， y）T处的灰度值，p′ （x， y）表示加密后的图像在点（x， y）T的灰度值，x （i）表示混沌序列。得到第一次加密图像。

（4）置乱加密。本文采用Arnold置乱，设（xn， yn）为图像中的点，通过：

对像素点进行变换，其中N取图像的宽或高，p，q都是参数。经过上式的n次运算后，坐标在（xn， yn）的点也移动到了点（xn+1， yn+1）处。

通过对整幅图片上像素的位移实现了置换，得到最终加密图像。

1.2  图像解密算法步骤

（1）解密过程就是对加密过程的逆变换，利用Logistic映射形成与加密过程参数相同的混沌加密序列，与加密后的图像进行异或操作，再由式子：

根据置乱原则将移动的像素恢复到原来的位置，对数据进行第一次解密。

（2）先逆推置乱公式将像素位置归回原位，得到公式：

p （x， y）=p′ （x， y） ⊕ x （i）

其中p （x， y）表示原图在点（x， y）T处的灰度值，p′ （x， y）表示加密后的图像在点（x， y）T的灰度值，x （i）表示混沌序列，通过公式运算即可得到解密图像。

（3）根据解密图像与小波分解得到的高频数据进行小波逆变换，得到最终的解密图像。

2  实验仿真

2.1  小波变换分解

对原始信息进行二维多尺度小波分解，将图像分为四个分量，分别为低频分量、水平高频分量，垂直高频分量、对角线高频分量，图1为各分量图像及系数重构图像。

2.2  图像压缩

通过小波对图像进行分解后，对分解得到的低频信息进行信息量化编码，保留第一层的低频系数，去除高频系数。按照一样的步骤，接着继续对第二层进行数据压缩。最终的压缩图像如图2所示。

2.3  图像加密

对于压缩后的图像，运用Logistic混沌映射理论，利用一维Logistic生成混沌序列，再用reshape（）函数转换为二维混沌加密序列，将其与压缩后的结果进行按位异或得到初次加密的图像，再对其进行Arnold置乱加密，增加图像的加密效果，以得到最终的加密图像。加密结果图3所示。

2.4  图像解密

首先通过Arnold置乱公式逆变换将加密后的图像像素回归原位，得到初次解密图像，再使用与加密时生成的相同参数的混沌序列对反置乱后的图像进行按位异或得到解密图像，再通过小波逆变换得到最终的解密图像。解密结果如图4所示。

2.5  错误解密图像

改变生成混沌序列的初始值，令x0=0.301，测试混沌序列加密测试解密结果，最终无法得到相应的解密图像，错误解密图像如图5所示。

3  实验效果与评价

3.1  密钥灵敏度测试

为了测试加密后的图像对密钥的灵敏度，本文对一维Logistic映射的參数μ和初值x0进行研究，通过改变参数和初值的取值，观察图像解密效果，以验证密钥的灵敏度，实验中密钥的正确值为μ=3.6，x0=0.3，输出计算结果如表1所示。

通过参数的改变输出如图6解密图像。

通过以上实验结果可以看出，当密钥处于正确值时图像可以成功解出。当初始值不变、改变参数任一改变时，无法解出正确图像；两者同时改变，依然无法得到正确图像，随着密钥数值的不断增大，解密图像与原图像的差别也逐渐增加，说明改算法的密钥较为灵敏，加密安全性较高，没有正确的密钥很难解出正确图像。

3.2  耗时测试

本文在对图像进行加密前，首先对其进行了基于小波变换的压缩处理，通过提取图像μ中的低频数据，使其保留大部分原始图像信息，进而对其压缩，将图片大小从500×500压缩至136×136，通过分别对压缩前后的图像进行加密，计算加密时间，如表2所示。

通过表2的耗时测试结果可以看出，对图片进行压缩后再加密，可以大大减少图像的加密时间，而基于小波变换的信号具有良好的能量集中性，包含大部分原始信息，从而使得在变换域的进行有效压缩，优化压缩和加密效果，并提高了加密速度。

3.3  鲁棒性分析

为了判断解密后的图像质量，即分析解密图像与原始图像的偏离误差，本文采用均方根误差（RMSE）和峰值信噪比（PSNR）进行客观分析。

RMSE公式：

其中f ′ （i， j）、f （i， j）分别表示解密后的图像和原始图像在（i， j）处的像素值，且1≤i≤n，1≤j≤m，RMSE值越小，则解密前后的图像相似度越高。

PSNR公式：

PSNR越大，则图像的真实性越好．相似度越高。

本文通过计算可以得到wugui.jpg的解密图像与原始图像的RMSE值为0.408，PSNR值为55.917，说明该算法对解密得到的图像与原始图像相似度较高，算法效果较好。

4  结  论

本文通过研究了小波变换与图像加密的融合，利用小波变换能够在不同时域、不同频域进行信号分析等特征，对图像加密进行增强改进。小波变换分割低频、高频信息的能力有助于压缩图像，在去除冗杂信息后依然保持着与原图像的高相似度。本文在通过该方法将图像压缩后，分别利用混沌序列和Arnold置乱对图像做进一步的加密，经算法实验仿真及效果评价，证明了该加密算法的加密效果，在安全性和加密速度方面得到了一定的提升。

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作者简介：方彪（2001—），男，汉族，江苏徐州人，本科在读，研究方向：计算数学；庞恒鑫（2001—），男，汉族，江苏徐州人，本科在读，研究方向：应用统计；王炫清（2000—），男，汉族，江苏连云港人，本科，在读，研究方向：计算数学；通讯作者：燕善俊（1978—），男，汉族，江苏沛县人，副教授，硕士，主要研究方向：应用数学与信息安全。

收稿日期：2022-11-08