探究圆柱体积公式的推导过程

涂贺兰

一、教学内容

义务教育教科书数学六年级下册第三单元P25“圆柱的体积”。

二、教材简析

圆柱是一种含有曲面的几何体，对学生认识体积和计算增加了难度。教材将本课学习安排在圆柱的认识和圆柱的表面积之后。让学生有序地经历了探究物体与图形的形状、大小、位置关系的变换过程，掌握圆柱体积的计算方法和公式的推导过程，建立初步的空间概念，培养形象思维，还可以为学习圆锥体积打下坚实的基础，提高学生的知识迁移能力。

三、学情分析

高年级学生发现问题、解决问题能力逐步增强，这为学生的自主探究及合作学习创造了有利条件，他们已经掌握了一些几何知识，了解部分几何图形之间的转化方法。但学生的立体空间观念还不是完全成熟，形体之间的转化还有一定的困難。针对学生的实际，教学中笔者主要采用观察、比较、操作等方法。组织学生探索规律，归纳总结，体验知识的生成和形成。

四、教学目标

1. 经历圆柱的体积计算公式的推导过程，掌握圆柱的体积计算公式。

2. 能正确运用圆柱的体积的计算公式进行计算。

3. 在探究圆柱体积的计算公式过程中，体会转化的数学思想方法；再次感受极限的思想。

五、教学重难点

教学重点：正确计算圆柱的体积

教学难点：理解圆柱体积公式的推导过程

六、教学准备

学具（圆柱展开图）、多媒体课件等。

七、教学过程

（一）回顾旧知，做好知识迁移

1. 我们已经认识了圆柱，也学习了圆柱的表面积，今天这节课我们来学习圆柱的体积，（板书：圆柱的体积）什么是圆柱的体积？（圆柱所占空间的大小就叫作圆柱的体积）

2. 我们学过哪些立体图形的体积计算公式？（长方体和正方体，长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长）谁还有补充？（统一的计算公式是底面积×高）

3. 我们先来看看圆柱、长方体和正方体有什么联系和区别？我们能不能把圆柱的底面转化成长方形或者正方形呢？回忆我们在推导圆面积公式时是怎样做的？

【设计意图】复习题与新知识联系紧密，针对性强，既检查了学生对旧知识的掌握情况，有利于调节教学过程，又为学习新的知识作好了铺垫。设疑激趣，激发学生探求新知的欲望。

（二）小组合作探究，体会“转化”的数学思想方法，体验“极限思想”

1. 学生动手操作，完成下面的两个问题。（教师为每个同学准备了一个学具模型，同学们带着问题边动手操作边思考）

①把圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再拼起来得到一个近似的（      ），比较切拼前后的图形，发现（      ）变了，（      ）没变。

②拼成的近似的长方体的底面积相当于圆柱的（      ），高相当于圆柱的（      ）。

小组交流汇报。

2. PPT演示将圆柱形分成16等份、32等份、64等份。

思考：①分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近一个什么图形？②所以要计算圆柱的体积可以转化成计算什么图形的体积？

3. 推导圆柱的体积公式。

（1）因为长方体的体积＝（底面积）×（高）

所以圆柱的体积＝（底面积）×（高）

V＝sh

V＝πr2h

（2）读背公式并理解记忆。

（3）计算圆柱的体积需要什么条件？如果题目给的是半径或直径呢？

【设计意图】采用以小组合作探究的学习方式进行数学活动，学生亲自动手实验，使听觉、视觉、触觉等各种感官一起参与活动，通过自己亲自动手操作，努力去探索圆柱体积与长方体之间的联系，充分调动学生各种感官，完成从操作→观察、比较→归纳推理的认知过程，让学生通过自己动手、动脑得到结论。这样的学习，既发挥了教师的主导作用，又充分体现了学生的主体作用。体会转化的数学思想方法，再次感受极限的思想。

（三）巩固练习

1. 计算下面各圆柱的体积。（后面两题的单位是cm）

2. 李家庄挖了一口圆柱形水井，地面以下的井深10m，底面直径为1m。挖出的土有多少立方米？

【设计意图】这组练习题主要让学生熟悉运用公式正确计算圆柱的体积，运用所学的知识解决生活中的实际问题，在运用新知识解决实际问题的过程中体验到成功的喜悦和乐趣。

（四）全课小结

谈谈你的收获。

【设计意图】用“你学到了什么？通过什么方法学到的？”来引导学生从知识性的收获和解决问题的方法的收获两方面进行课堂小结，可以帮助学生疏理所学知识、激发他们展开丰富的想象，使之感受到数学知识的无穷奥妙，也为以后的数学学习做准备。

（五）堂上检测

1. 做一个圆柱形的油桶，求用多少铁皮？是计算油桶的（   ）；求能装多少油，要计算油桶的（   ）；求占多大的地，是计算油桶的（   ）；在油桶的四周贴上商标纸，是计算油桶的（   ）。

A. 底面积   B. 侧面积   C. 表面积   D. 容积

2. 一根圆柱形木料底面积为75cm2，长90cm，它的体积是（   ）cm3。

3. 一个圆柱形的零件，底面半径是5cm，高是8cm。这个零件的体积是（   ）cm3。

【设计意图】这组小测题，主要让学生分清什么时候是求底面积、侧面积、表面积、体积（容积），检测学生对圆柱体积公式的掌握情况。

（六）研学拓展

把一根长15分米的圆柱形钢材截成三段后，如图，表面积比原来增加9.6平方分米，这根钢材原来的体积是多少？

八、板书设计

圆柱的体积

长方体的体积＝底面积×高

圆柱的体积＝底面积×高

V＝sh

V＝πr2h

九、教学反思

课一开始，笔者用了一系列的问题引起学生的思考：什么是圆柱的体积？回忆长、正方体的体积是怎么求的？找出圆柱与长、正方体有什么联系与区别？引导学生回想圆面积计算公式的推导过程。引导学生运用类比，提出能否把圆柱转化成我们学过的某种立体图形来推导出体积计算公式呢？既检查了学生对旧知识的掌握情况，有利于调节教学过程，又为学习新的知识作好了铺垫。由于复习铺垫较多，导致后面的时间较紧，在下次的教学中，是否可以直接进入主题：“能否把圆柱转化成我们学过的某种立体图形来推导出它的体积计算公式呢？”引起学生的思考。

接着让学生动手操作，通过操作，把圆柱转化成近似长方体后，观察前后各部分的对应关系，让学生在小组内说说什么变了？什么没变？自主推导出圆柱的体积计算公式。推导出公式，立即让学生记忆公式，让学生说说计算体积需要什么条件？在这个环节创设情境让学生亲自动手操作，努力去探索圆柱体积与长方体之间的联系，充分调动学生各种感官，完成从操作→观察、比较→归纳推理的认知过程，最后自主推导出圆柱的体积计算公式。在教学中对于学生的发现（什么变了？什么没变？）分析得不是很透彻，教师最好也准备2个圆柱的展开图，便于学生观察理解转化前后的联系。