在“鸡兔同笼”问题中凸显“结构”的力量

李义杰

【摘 要】本文尝试通过结构化教学，帮助学生在分析、解决不同情境的实际问题的过程中，从会解决“一个问题”到会解决“一类问题”；引导学生经历结构化学习历程，实现知识结构化、思维结构化和策略结构化，促使核心素养的培养落地，充分彰显“结构”的力量。

【关键词】结构化 迁移 核心素养

许多教师对“鸡兔同笼”内容的教学有以下困惑：画图、列表、列式是解决“鸡兔同笼”问题的不同策略，怎样才能让学生一一体会、分别掌握呢？学生的困惑是学习“鸡兔同笼”到底有什么用，为什么要掌握多种方法。

师生的困惑引起了笔者的深入思考，也不由想到了结构化教学。结构化教学包括教学内容的结构化、教学形式的结构化、学生思维的结构化。结构化教学有利于深度学习的发生，有利于整体建构知识体系。回顾过去，“鸡兔同笼”问题的原有知识基础是什么？立足现在，画图、列表、列式虽然是不同方法，但是其背后的思维有无相通之处？展望明天，“鸡兔同笼”的学习又能促进学生哪些方面的成长？笔者认为，教师想清楚这些问题，就能够以整体性的、结构化的视角进行教学设计。

下面笔者以对“鸡兔同笼”问题的研究为例，尝试通过结构化教学，以“结构”的力量，让学生经历结构化学习，实现知识结构化、思维结构化和策略结构化，促使核心素养的培养落地。希望我们的设计和实施过程，能带给一线教师些许启示，能引发大家对结构化教学的思考。

一、从“单一”到“复杂”，孕伏知识结构化

心理学家奥苏贝尔在其意义学习理论中指出，意义学习过程的本质是将学习任务与学习者的原有知识建立起一种非任意的、实质性的联系。追本溯源，“鸡兔同笼”从哪儿来？我们认为能够表达份总关系的乘法模型可以作为其最为本源的已有知识。于是，教师创设活动，促使学生利用“每份数×份数=总数”这组数量关系，以此拉开学习“鸡兔同笼”问题的序幕。

活动一：从“鸡或兔”到“鸡和兔”

先口答“1只、2只、3只鸡（或兔）分别有几条腿”的简单问题，再让学生思考“鸡和兔一共有6只，有多少条腿”的复杂问题。学生经过交流不同想法才意识到后者是一个开放性问题，教师鼓励学生记录各种情况，通过观察数据，引导学生发现鸡、兔只数的变化会引起总腿数变化的规律，初步感悟：如果鸡的只数多，总腿数就离12更近；如果兔的只数多，总腿数就离24更近（如图1）。

在这一活动中，学生对几只鸡（或兔）有几条腿的问题对答如流，原因是这些份总关系故事里的主角只有一个，所以用份总关系2a（a表示鸡的只数）、4b（b表示兔的只数）可以轻松解决。面对“鸡和兔一共有6只，有多少条腿”的问题，学生开始有些迟疑，随后出现不同想法，最后达成一致，认同根据现有条件总腿数是不确定的。分析学生不能顺畅解决问题的原因，不难发现，这个故事里的主角变成鸡与兔两个主角，于是份总关系演变成了2a+4b，且a+b=6，情况愈加复杂起来。从“单一”到“复杂”，学生将当下的学习任务与原有的知识经验建立起了实质性的联系。这一巧妙的设计不仅在上课伊始就孕伏了知识的结构化，也促使学生回归思维原点，一一列举成为解决问题的必经之路。学生在观察、思考、交流中发现了只数与腿数的变化规律，为后续的理解和建构提供了思维支撑。

二、从“理解”到“建构”，实现思维结构化

《追求理解的教学设计》一书中强调，理解是多维的、复杂的，可以从多个不同却又相关的视角认识它，解释、阐明、应用、洞察、神入、自知，是理解六侧面。结合理解的不同侧面，进行结构化教学，可以让学生在不断深入地“理解”中建构认知结构。

再看“鸡兔同笼”问题，虽然不同策略蕴含着不同的思考方法，但是各种解法之间又有内在关联。因此，笔者重点聚焦列表法，以“枚举试探”为抓手，引领学生逐渐进入深度思考，促进学生主动关联，“理解”不同方法背后的思维相通之处，促使学生实现思维结构化。

活动二：解古代趣题——“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，雉兔各几何？”

片段一：组织学生对不同作品（如图2、图3、图4）进行辨析。

聚焦问题：为什么一开始列举时鸡要比兔的只数多？为什么要从鸡有18只、兔有17只开始列举？在列举的过程中怎么想到要“跳一跳”的呢？

通过辨析，学生的思维逐渐被激活，能够主动关联活动一的经验，结合35只鸡有70条腿，35只兔有140条腿，94离70更近，初步判断鸡的只数更多。从这些作品中不难看出学生思维的变化和成长，学生在探究中逐渐感受到一一列举费时费力，于是向前勇敢地迈出了一大步，即萌发了跳跃意识。有的学生还能较为灵活地进行调整，或从“起点”尝试小步跳跃，或借助平均分从“中点”直接起跳。通过聚焦对比列举数据之间的关系，学生充分表达自己的思维过程，当学生用有意义的数学语言进行推理时，我们仿佛看到了他们长长的思维链条。

片段二：呈现学生作品（如图5、图6）。

师：谁能读懂这两幅作品的意思？它们的意思一样吗？

生1：这两幅作品表达的意思其实是一样的。假设全是鸡，总腿数是70条，比94少24条。一鸡变一兔，腿数要增加2条，24里有12个2，有12只鸡要变成兔，所以鸡是23只。假设全是兔，总腿数是140条，比94多46条，一兔变一鸡，腿数要减少2条，46里有23个2，有23只兔要变成鸡，所以兔是12只。

师：这种“假设法”与刚才列表的方法有联系吗？

生2：我觉得假设法就是从0只鸡或者0只兔的情况开始的，直接一步跳跃就能得到结果，它跟刚才列表的那些作品的道理其实是一样的，都是先假设，再寻找答案。

虽然教材不要求用“算术法”解决“鸡兔同笼”问题，但是在学生自主探究尝试列举的过程中，想跳得快些、跳得准些的朴素想法，促使学生自觉迁移已有认知，使“算术法”的出现成为学生思维的迫切需要，使想用简洁与準确的数学语言进行表达成为必然，也让学生对课堂上出现的按照套路列出的算式，得以“知其所以然”。算术方法中的“跳”，不是从半截开始起跳，算术方法从全假设成鸡或全假设成兔开始，其实就是直接从“无”一次性精准地跳跃到“几”。

至此，大家普遍认为原本看起来笨笨的、麻烦的一一列举的方法，实际上“大巧若拙”，同时它也“暗藏乾坤”，既可以在试探中进行跳跃枚举或取中枚举，体现数学思维的灵活性，也可以在推理、计算中调整得“一步到位”，体现数学思维的严谨性。总之，它是思考“鸡兔同笼”问题的思维原点，是真正的通性通法。

以前，我们总是习惯性称“算术法”为“假设法”，现在学生也能感受到列表时无论是从几只鸡、几只兔开始都是在假设；画图时无论先画几只鸡、几只兔，还是不画鸡（兔）只画兔（鸡）同样是假设。由此一来，不同方法的思维路径都源于“假设”，思维过程都经历“比较”和“调整”，都是在假设前提下的尝试与调整。将不同方法借助思维结构化的力量“合而为一”，让数学思维看得见、抓得住，帮助学生从“理解”转向“建构”，实现思维结构化。

三、从“迁移”到“完善”，实现策略结构化

“鸡兔同笼”问题要“到哪里去”？如何凸显学习“鸡兔同笼”问题的价值呢？答案就在活动三的内容设计中。

活动三：学生自主选择解决实际问题（如图7）

在课堂上，教师为学生创设的这些合适的、具有启发性的真实情境，有助于促进学生的理解。在这一过程中，学生也能够自发地借助摘录条件（如图8），抽象出数量关系，进一步明确类似问题的结构特征，逐渐深入地体会“鸡兔同笼”问题的现实意义，发现“鸡兔同笼”问题具有广泛的应用性。

这些实际问题，无论是问题主角还是问题表述，越来越不像“鸡兔同笼”问题，尤其是最后一个，乍看和“鸡兔同笼”毫不相干，而学生依然能够顺利解决。这种积极的迁移，反映出学生对“鸡兔同笼”问题的认知已经从“特殊”走向“一般”，说明学生能够从现实生活情境中抽象出具有两个主角的复杂份总关系，具备了数学的眼光，同时在迁移的过程中完善了结构，实现了策略的结构化，培养了学生的模型意识，促进了学生用数学的语言表达真实生活的素养提升。

综上所述，学生在分析、解决不同情境中的实际问题的过程中，从会解决“一个问题”过渡到会解决“一类问题”，利用已有的认知完成了知识的建构。教师通过结构化教学，让学生经历结构化学习历程，实现了知识结构化、思维结构化和策略结构化，充分彰显了“结构”的力量。