探究式学习在数学教学中的应用

刘园园

［摘  要］ 新课改强调数学教学活动的开展，需注重学生的自主探索、实践与合作交流等. 但在实际教学中，有不少教师冠以“探究”之名，却无“探究”之实，导致探究活动流于形式. 文章以“勾股定理”的教学为例，从一个教学实录的分析与改进出发，具体谈谈探究性学习法在教学中的应用.

［关键词］ 教学活动；勾股定理；教学改进；自主探究

数学是人类进步的成果，经历了探究和认知的过程，数学教学是一种具有创造性的教学活动. 新课标提出：数学教学要倡导学生积极、主动地参与探索过程，力求让学生在不同形式的自主学习与探究活动中，经历知识的发展与再创造，体验数学学习中的发现与再创造带来的快乐［1］. 可见数学教学追求的是具有高效性与创新性的教学.

教学中，有些教师误解了新课标的要求，将课堂完完全全地交给学生，美其名曰为自主探究，却毫无活动体验、感悟可言，压根儿就达不到探究应有的效果. 由此引发了笔者的思考：探究式学习的素材该如何选择？用怎样的方式既能凸显学生的主体地位，又能让学生的思维不偏离教学目标？教师这个“掌舵手”该怎样起到恰到好处的引导作用？基于以上思考，本文以“勾股定理”的教学为例，谈一些感悟，与同仁共勉.

教材分析

勾股定理是初中阶段，乃至整个数学学习生涯中较为重要的一个章节. 教材编者以古埃及人用绳子打结，制作直角的情境引出a2+b2=c2的猜想，并以此作为判断直角三角形的依据. 可见，勾股定理是根据三角形三条满足特殊数量关系的边来判定三角形是否为直角三角形的一个定理.

教学实录

师：如图1，这是一枚纪念邮票，其图案是以一个著名的数学定理为依据设计而来的. 现在请大家观察图中所呈现的方格数量，说说你们的发现.

教师引导学生将邮票中的图案，转化到方格纸中（如图2所示）.

师：观察图2，每个小方格都是面积为1的小正方形，其中分别以BC、AC为边长的正方形面积分别为9、16，若想知道以AB为边长的正方形面积，该怎么处理呢？

设计意图 引导学生从割补法去探寻问题的答案，培养学生的自主探究能力.

学生自主探究得出答案后，教师鼓励学生观察这三个正方形面积之间的关系，尝试发现新的规律.

师：现在请大家在方格纸上任意画一个三个顶点均在格点上的直角三角形，以此三角形的三条边往外分别作正方形，并计算三个正方形的面积. 再结合探究结论，说说你们的发现.

……

在学生推导出勾股定理后，教师对与之相关的知识做出补充与说明，尤其介绍了勾股定理的来历，以增强学生的数学文化素养.

教学思考

新课标对本章节提出的教学要求是：探索勾股定理与逆定理，且能运用它们来解决简单的问题. 鉴于此，本节课的教学主要定位在探究式学习上. 观察这位教师的执教过程，笔者认为他并没有吃透探究式学习的理论，本节课的探究效益并未达到预期目的. 究其主要原因，主要体现在以下几方面：

1. 价值取向

教法决定了学法，学习方法大致分为“接受式学习”与“探究式学习”两大类. 布鲁纳提出：教学过程其实就是学生对知识的再发现过程，这种学习上的发现与科学家的发现具有相同的性质，都是积极思维活动的产物，因此，两者的价值与智力功能是相通的. 鉴于此，学生在恰当的教法指导下，应形成良好的学法，要像科学家一样成为数学的发现者. 但此教学片段，并未体现出明显的探究式学习的价值取向，未能体现知识的“再发现”过程.

2. 设计缺陷

（1）问题缺乏“生长性”

探究式学习的关键在于问题的设计，学生所探究的问题可以由教师提供，也可以是学生在探究中自主提出. 本教学片段所呈现的问题，由教师提供. 这种安排与教师长期的教学习惯有关，但此问题情境仅仅生成了一个让学生自主验证的结论，即以直角三角形的两条直角边为边长构造出的两个正方形的面积和，与以斜边构造出的正方形的面积是相等的. 但这个结论并不是来自学生的自主探究，也不是学生自主探究后提出的. 显然，此过程缺乏了培养学生发现问题、提出问题与解决问题的能力.

（2）思维缺乏“着力点”

学生的数学思维能力，主要体现在是否能用类比、抽象、概括或归纳等方法，合情推理出相关结论. 教师应在教学中寻找学生思维的“着力点”，让学生的思维具备发展的营养基. 然而，本节课的教学设计，教师将学生直接引导至用方格纸与割补法验证相关结论. 显然，此过程错过了训练学生思维的好时机，只是让学生探究一个面积关系的验证过程，极大地弱化了探究式学习对学生思维能力培养的重要作用.

（3）探究缺乏“层次性”

从新课标对本节课的要求来看，除了要掌握基础知识与技能外，还有探索、体验勾股定理形成过程的目标. 初中阶段的学生思维水平存在较大的差异，教师在教学设计时，应考虑大多数学生对知识的接受能力，尽可能照顾到不同水平层次学生的认知情况. 本节课更适合应用目标层次较为适中的“质疑法”来探究. 但此教学片段，并未能体现教学的层次性.

教学改进

基于以上教学思考，笔者结合自身的执教经验与听课的相关课例，认为本节课在“探究式学习”的价值取向以及教学设计上，可进一步优化. 并在实际教学中，特意进行了课堂教学实验，且获得了较好的成效. 现将设计思想与教学过程整理如下.

1. 情境创设

师：三角形是大家所熟悉的一种图形，它的三条边必须满足怎样的关系？

生（眾）：三角形的任意两条边之和必须大于第三条边，且任意两边之差要小于第三条边.

师：不错！由此我们都知道任意三角形的三条边中，两边之和或差都与第三条边不相等. 现在请大家发挥自己的想象，进行一次大胆地猜想，提一个与三角形三条边具有明确数量关系的想法.

设计意图 以学生熟悉的三角形三条边的数量关系作为起点（低起点，符合各个层次学生的认知），鼓励学生以此理论作为思维的“着力点”，进行类比、归纳、逻辑推理等，并大胆提出三角形三条边数量关系的问题（学生自主提出探究问题）.

此过程即能培养学生的合情推理能力与问题意识，还能有效地挖掘学生的学习动机，为“探究式学习”的展开奠定基础. 另一方面，此问给学生提供了足够的思维空间，让每个学生都能从自己的认知结构出发，进行思考，使得每个学生都能有所收获.

2. 教学探究

学生在自主思考与合作交流后，提出了一些猜想，如：任意三角形中的两条边的平方和必定大于第三条边的平方；任意两条边的平方差必定比第三条边的平方小等.

师：非常好！看来大家都进行了积极的思考与猜想，现在我们一起来探究这些猜想是否正确.

生1：以上猜想并不正确，若三角形的三条边分别为3，4，5，那么就存在32+42=52的情况.

生2：若三角形的三边为5，5，9，那么52+52则小于92.

师：这两位同学的反例法用得太恰当了，轻而易举地就推翻了以上猜想，从中大家能看出了什么？

生3：说明以上猜想是错误的.

师：哦？是否可以这么下结论？

生4：我觉得这么下结论不准确，只能说以上猜想不一定对，有的三角形的两条边的平方和可能会比第三条边的平方大，也有的会比第三条边的平方小.

师：有点道理，对于这个想法，我们能否进一步探究？

生（众）：可以试试.

师：在探究之前，我们先拟定一份计划，看看该采取怎样的探究方式和步骤.

生5：可以考虑画几个不同类型的三角形，分别量出它们三条边的长度，再分别计算它们的平方，并从中总结出规律.

师：这是一个不错的想法，值得推荐. 也就是说从个例（特殊）出发，先逐个探究，然后再通过它们的结论，获得普遍（一般）性的规律. 现在请各组合作学习，每人在方格纸上画出不同的格点三角形，并分别测量出各条边的长度，计算各条边边长的平方（可用计算器）.

设计意图 根据学生提出的假设，引导学生从特殊到一般进行探究. 探究过程中，鼓励学生自主运用测量工具与计算工具，搜集并处理数据，应用标准、规范的语言来表述结论. 此过程符合探究式学习的思维发展过程，对培养学生从特殊到一般的数学思想奠定了基础，也为学生从事数学研究做出了良好的示范.

师：现在请各组组长统计一下，本组有多少人画了锐角、钝角与直角三角形，将数据汇总一下. 请各位学生将自己的所画的三角形的三个角分别标上字母A、B、C，对应的边为a、b、c，直角、钝角以∠C来表示.

汇总学生所画三角形种类的同时，教师借助计算机投影，按照三角形的种类列表、分组、填写数据，且分别计算出相应的a2+b2与c2的值，填入表1中. 要求学生根据表格中所呈现的数据，分析结论.

生6：根据表格所呈现的数据来看，当三角形为锐角三角形时，a2+b2＞c2；而钝角三角形中a2+b2＜c2.

师：哪位学生用规范的数学语言表达这个发现？

生7：锐角三角形任意两边平方和比第三条边的平方大；钝角三角形任意两条边的平方和比第三条边的平方小；直角三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方相等.

师：通过以上探究，我们发现了三类三角形三条边的平方之间存在一定的数量关系，这个结论是我们根据自己所画的几个三角形所获得的，其中涉及人工测量，就必定有误差的存在，如果不用测量工具，有没有办法探究出三边平方之间的关系？（学生沉默）

师：以上探究过程，我们都是通过手动测量而得到边长度，进而计算出3条边的平方及平方和，除此之外，有什么几何内容与平方有所关联？（学生恍然大悟）

生8：正方形的面积就是边长的平方，我们可以将三角形的三条边长度作为正方形的边长，所画出的正方形面积即边长的平方，只要弄清楚三个正方形面积的关系，也就明晰了三角形三条边的平方关系.

师：太棒了！借助正方形的面积来探究三角形三条边平方的关系，的确是一个非常有意义的建议. 通过以上探究，我们所获得的结论尚属于猜想，既然是猜想，就需要论证，现在我们就来一起证明以上猜想是否合理. 接下来咱们就探讨：直角三角形的两直角边的平方和是否与斜边的平方相等.

设计意图 教师成功地将学生诱导到勾股定理的证明探究中，学生的思维逐层深入，对勾股定理的形成与发展有了更为深刻的认识，充分体现了知识的“再创造”过程.

3. 拓展延伸

在学生通过自主探究，证明了勾股定理后，笔者又引入了勾股定理的发展历史与文化价值，让学生从思想上对勾股定理产生敬意，同时也有效地渗透了数学文化素养. 而后，教师带领学生应用勾股定理进行了应用方面的拓展，强化了学生对勾股定理的应用能力.

评注 教师引领学生通过自主探究与合作学习的模式，对勾股定理进行探索. 首先通过测量工具对三类三角形的三边平方的关系进行对比、分析，让学生自主获得结论. 这种合情推理过程自然、本真又充满科学味，学生在画图、计算、填表与数据分析过程中，忙得不亦乐乎，大部分学生都展现出高涨的探究热情，这也充分凸显了学生在课堂中的主体地位.

在学生获得一定的结论后，教师引导学生从几何（正方形面积）的角度探索三角形三边平方之间的关系，不仅有效地渗透了数学中最重要的数形结合思想，还让学生的思维从感性层面直接上升到理解的层面，从真正意义上实现了探究式学习模式对学生思维能力的促进作用.

教学思考

探究式学习从问题的选择上来看，需与教学重点、教学难点相挂钩，且要有实践性与开放性，并具备探究价值；从探究过程来看，要有明确的教育价值，要让学生在探究过程中体会创造研究的曲折、艰辛，以及获得成功的喜悦；从认知水平上来看，探究式学习的课程设计，需与学生的生活密切相关，需构建符合学生认知特点的探究活动，这样才能给学生带来真正意义上的思维启发［2］.

总之，学生思维的培养，探究能力的形成需要一个长期的过程. 作为教师，应把握好课堂中的每一个让学生探究的机会，以培养学生的数学核心素养为目的，不断激发学生的潜能，让学生爱上探究，让探究成为学习的常态，课堂必然会焕发出勃勃生机.

參考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］ 张和平，裴昌根，宋乃庆. 小学生几何直观能力测评模型的构建探究［J］. 数学教育学报，2017，26 （05）：49-53.