“五字法”评准初中数学专题复习课

许梅容

［摘  要］ 文章结合新课标，以图形的旋转变换专题复习课为例，阐述如何用“五字法”分析专题复习教学的基本流程，并获得教学启示，以期为专题复习的教研工作提供有价值的参考与建议.

［关键词］ 图形与旋转；专题复习；五字法

近期，笔者所在的城市开展了学习展播课活动，笔者认真学习了陈丽珊教师的《以旋转为载体的几何探究题》. 这是一节以图形旋转变换为载体的专题复习课. 旋转变换在初中数学“图形与几何”内容中占有非常重要的地位，它贯穿在相交线、三角形、四边形、圆等重要的几何内容之中，是福建省中考的高频考点. 课堂中，陈老师自信从容的教学风格让笔者在听课过程中如沐春风，笔者充分感受到了她对教学内容的理解与把握，对教学目标的合理制定与有效达成. 下面，笔者从教学基本流程、启示与借鉴、思考与建议三个方面进行探讨、交流.

教学基本流程

这节课，首先由师生共同梳理旋转变换的定义和性质：

教师用几何画板演示旋转变换的动态过程，学生直观感受旋转变换过程中变与不变的量，接着教师呈现例1.

例1  如圖1所示，△AEF是△ABC绕点A逆时针旋转后得到的，点B的对应点E恰好落在边BC上，EF交AC于点G. 若∠B=50°，∠C=45°，求∠FGC的度数.

学生先自主思考，教师边巡视边指点学生如何思考. 学生完成自主思考后，生1上台演示自己的思路：利用旋转得到等腰三角形，再结合三角形外角与内角的关系求∠FGC的度数.

师：生1在表达自己的分析思路过程中，应加上度数符号. 我巡视时发现你们基本上是通过旋转得到等腰三角形后进行计算的，那还有别的做法吗？

生2上台演示自己的思路：利用旋转角相等与三角形的内角和求∠FGC的度数.

师：很好. 但我还有一步到位的做法——抓住旋转角相等，直接得到结果.（全班恍然大悟）

接着，教师呈现例2.

例2  如图2所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在边AB上的点C′处，求C′C的长.

学生先自主思考，教师边巡视边指点学生如何思考. 学生完成自主思考后，生3上台表达自己的思路：首先标明图形中各条线段的长.

师：为什么要标出这些线段的长？这是为解决这道题做什么铺垫？

生3：求线段的长主要有两种方法，一种是利用相似，另一种是利用勾股定理. 可通过作△ABC中AB边上的高CH，然后利用相似与勾股定理求出C′C的长.

师：讲得太好了！生3把整个解题思路都展示出来了. 没错，求线段的长，方法一是用相似，方法二是用勾股定理. 那有没有直接用相似求解的做法呢？

生4：连接BB′，得到△ACC′与△ABB′相似，于是可求出C′C的长.

师：很好，生4运用了我们今天所学的变当中的不变. 变，是图形旋转产生的变化；不变，是角与边的量不变. 大家对比一下，解这道题时，是运用勾股定理简单呢，还是运用旋转简单？

生（齐）：运用旋转简单.

紧接着，教师呈现例3.

例3  如图3所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=k·AC，△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度后得到的，BC与DE交于点F，直线BD与直线EC交于点G，求∠CGD的度数.

学生先自主思考，教师边巡视边指点学生如何思考. 学生完成自主思考后，生5表达了自己的求解方法：利用旋转和四点共圆可求.

师：刚才我巡视了一圈，发现很多人都用的这种方法. 有同学运用其他方法吗？请上台讲解一下.

生6：所求的角在△EDG中，要求∠CGD的度数，只需要求出另外两个角的度数即可. 可以通过设角，利用旋转和三角形的内角和列等式求解.

师：很好. 旋转带来了等式，下面听听我的做法——利用旋转角相等和四边形的内角和等于360°来求解.

师：对比上面几种方法，哪一种更简单？考试时我们要尽量采用更简单的方法，以节省时间.

讲解完例3之后，教师又给出了例4.

例4  如图4所示，△AOB和△MON都是等腰直角三角形，且∠AOB=∠MON=90°. 将Rt△MON绕点O旋转，MN交AO于点P，当点N恰好落在AB边上时，求证：PM 2+PN 2=2OP 2.

师生共同分析，将所求结论与勾股定理联系起来，考虑通过旋转构造直角三角形来证明.

生7：把△OPN绕点O逆时针旋转后得到△OP′M，可得到等腰直角三角形OPP′和直角三角形PP′M，于是可证得结论.

师：这种方法跟我们刚才所用的方法一致，不过是反方向旋转. 你们还有其他方法吗？

生8：过点P分别作OM，ON的垂线段得到矩形后求证.

师：这种方法是由结论结合勾股定理分析出来的，采用的是旋转前后的互逆思维. 同学们回去后，好好整理一下这节课所用到的思路.

教学的最后，教师请全班学生谈谈本节课的收获，并布置分层作业.

启示与借鉴

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提到，要让学生经历探索物体与图形的旋转变换过程，并掌握图形旋转变换的基本性质，强调从运动变化的观点来研究图形，理解图形在旋转时的变化规律和变化中的不变量. 学生基于前面几节课对平移与对称变换知识的积累，能够初步解决图形变换的基础问题，但仍然缺乏用运动的观点研究几何图形的能力. 下面笔者通过“引、思、比、导、评”五字法提出本节课对自己的启示与借鉴.

1. 有引入 ——引之有“根”

教师利用导学案以填空的形式与学生共同复习旋转变换的定义和性质，强调旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，得到对应点到旋转中心的距離相等、旋转前后的图形全等、对应点与旋转中心所连的线的夹角等于旋转角等性质. 接着利用几何画板对图形旋转的过程进行现场演示，要求学生仔细观察图形旋转过程中变与不变的量，让学生直观感受到旋转过程中虽然图形位置发生了变化，但图形的形状与大小不变，帮助学生更透彻地理解旋转变换的性质，为接下来旋转变换的应用做了充分的引入工作，夯实了旋转变换的基础.

2. 有思考——学之有“道”

美国数学家G·波利亚曾说过，老师讲什么不重要， 学生想什么比这重要一千倍. 教师要想提高数学解题教学的有效性，就应当让学生积极主动地参与学习过程，且教师必须了解学生的真实思考过程，也就是教师必须“让”出时间暴露学生的思维过程. 本节课，教师呈现了四道例题，均由学生自主思考后现场板演评析，这就让学生的思维过程充分暴露了出来，此时，教师不仅知道了学生的思维已经“到哪里了”，还可以确定学生的解题“能到哪里”. 据此，教师便准确地掌握了学生的困难点，接下来便对症下药地进行整理与归纳. 这种通过自主思考、演示说明的方法，让学生感悟解决旋转问题的门道，既有助于学生加深对旋转的理解，又有助于提高学生的思维能力与解题能力，体现了学生学习数学的主体地位.

3. 有对比——教之有“方”

教学本节课时，教师在让学生直观感受图形旋转变换中变与不变的量的基础上，开展学以致用的解题活动. 本节课所呈现的四道例题均由师生分别展示自己的解题思路后进行对比分析，这能让学生感受到旋转变换的不同应用. 如例1是共顶点逆时针旋转后求∠FGC的度数的问题，教学时教师先让两名学生板演自己的思维过程，教师再展示自己利用旋转角相等直接得到结论的解法，随后让学生对比几种不同解法的优劣，感受不同思维的解题过程，这种教学模式活化了学生的思维，拓宽了学生的解题思路，能让学生掌握高效的解题方法，能增强他们的解题自信.

4. 有指导——导之有“术”

美国心理学家布鲁纳曾说，学习最大的刺激是对所学知识产生兴趣. 学生学习主动性、积极性的调动关键在于教师的“导”. 本节课，教师呈现的四道例题从旋转角相等、旋转边相等、旋转带来四点共圆、旋转前后的互逆思维出发，让学生通过观察图形，分析旋转前后的边角关系，自主思考条件与结论之间的联系. 学生自主思考时，教师不断巡视，帮助有需要的学生；学生展示思维时，教师在关键点处进行指点、引导，比如讲解例2时，学生标出各条线段的长之后，教师马上问“为什么要标出这些线段的长？这是为解决这道题做什么铺垫”；当学生的分析思路不够规范、严谨时，教师及时进行指导并得出最后的结论，此时学生异口同声的“哦”，以及他们恍然大悟的表情都说明教师的指导恰到好处. 教师艺术性地指导，能把学生的思维导到问题关键处，能充分调动学生的学习兴趣.

5. 有评价——评之有“据”

现代教学论认为，有两条对应主线存在于教学之中，一条是知识，一条是情感，二者互相作用，互相制约. 本节课，学生完美呈现自己的思维过程后，教师自然流露出的赞许笑容是对学生积极的情感动员；教师情不自禁的评语“讲得太好了，他把整个解题思路都展现出来了”“好，很好，你们讲得都很好，比老师讲得还到位”，给予了学生极好的思维评价，且能让学生感受到当小老师的成就感. 整个教学过程，教师捕捉到了学生智慧的火花，并适时给予有实据的表扬和鼓励，能激发学生的学习兴趣，让他们真正地积极参与课堂，做学习的主人.

思考与建议

下面，笔者结合自己对图形与几何专题复习的理解和听课感悟，对本节课提两点建议.

1. 要加强标准解题示范

我国著名数学教育家傅种孙先生曾指出：“教学的技艺，一方面要指示正规，另一方面要矫正错误，必须兼施并用，才会有较好的效果. ”陈老师在本节专题复习课中只用析题的形式展示师生的解题思维过程，没有发挥标准解答的板书示范作用，笔者建议板书一道例题的标准解答过程. 教学时可以先由学生板书自己的思维过程，再由教师用其他颜色的笔指出学生解答过程中的关键步骤和错误点，或者由其他学生根据该生的板书情况进行订正和优化，还可以由师生共同完成一道例题标准解答过程的规范板书，让学生在解答类似问题时可以呈现规范的书写格式、解题步骤和图形作法等，提高学生用规范的数学语言进行表达的能力.

2. 进一步优化例题设计

本节课4道例题的解决都以三角形为基本图形，借助旋转的性质来完成，设问方式上则以求角、求边、求边与边的关系进行呈现，虽然在解题难度上有所递进，但每道例题之间没有形成系列变式，每道题都需要学生花时间理解题意，若能在一道基础题的基础上适度变式、高效聚合，更能达到专题复习做一题、会一类、通一片的效果.

比如，引例可以为：如图5所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转后得到△AEF，使得点B的对应点E恰好落在边BC上，EF交AC于点G，求∠FGC的度数.

可以将上述引例作为基础题，设计如下系列变式问题.

变式1  把引例中的已知条件“∠B=60°”改为“∠B=θ”，其他条件和结论都不变.

（变式1能让学生感悟从特殊到一般的思想，解题时抓住旋转角不变这一本质即可）

变式2  把引例中的“∠B=60°”改为“AB=1，AC=”，其他条件不变，结论变为“求FC的长”.

变式3  将变式2中的条件“AB=1，AC=”变为“AB=kAC”，其他条件不变，结论变为“能否求出FC的长”.

等学生完成求解后，教师可继续追问“若旋转中心不是直角顶点，还有以上结果吗”“若△ABC不是直角三角形，上述结论还成立吗”.

这样的设计，能让学生在解决系列变式中用最少的时间建立起已有经验同新求问题之间有意义的关联. 通过旋转变换构造全等三角形或相似三角形或直角三角形，展现知识的发生、发展过程，有助于学生认清问题的本质，掌握一般化的求解方法，从而提升学生的数学学科核心素养.

提高教学质量的关键在课堂，提高课堂教学质量的前提是教师进行精心的备课. 针对复习课，教师需要不断地思考如何夯实知识、精选典型例题、做好变式设计，从而深化学生的思维，让学生做到举一反三、融会贯通，从而提升学生的数学核心素养，达到高效课堂的目标.