2020—2022年新高考卷函数试题分析与教学启示

赖婷婷　杨燕　毋晓迪

【摘要】本文从核心知识、关键能力、数学思想、数学学科核心素养等四个维度统计和分析2020—2022年的新高考数学卷Ⅰ和卷Ⅱ共6套试卷中考查必修部分函数知识的试题，发现它们具有坚持立足基础、巧设问题情境、聚焦数学学科核心素养等特点，提出：突出必备知识，引导教学回归基础；创新试题情境，引导学生学以致用；注重本质探究，体会转化与化归思想；优化函数教学，提升逻辑推理与数学运算素养等教学建议。

【关键词】新高考 试题分析 核心素养 高中数学 函数

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）08-0100-05

函数作为高中数学的四条主线之一，其思想方法贯穿高中数学课程的始终。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）提出将研究函数的对应关系作为数学研究的重要内容，强调函数相关内容之间的衔接，其学习过程涵盖观察、分析、抽象、概括等方法。随着新课程、新教材、新高考的推进，课程与教学评价方式变革的实现面临着高考改革有待深化的问题。函数命题设计围绕着读懂题目、作出图象并观察、用数学语言分析与表达、通过逻辑推理进行求解论证等四个环节进行，通过阅读题目，理解题意，抽象概括，建立刻画函数的数学模型，借助图形和空间进行分析、推理与论证，加强了对数学学科核心素养的考查。

如表1所示，本文结合《课程标准》，从核心知识、关键能力（逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力）、数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想）、数学学科核心素养等四个维度统计和分析2020—2022年的新高考数学卷Ⅰ和卷Ⅱ共6套试卷中考查必修部分函数知识的试题，探索命题的多样性。

一、数学新高考卷命题特点

笔者以条件、问题和一般解法涉及的知识点、关键能力、数学思想以及核心素养为统计对象，统计与分析2020—2022年数学新高考卷考查函数知识的试题，具体内容如表2所示。

可见，试题设计的基础为核心知识，载体为问题情境，特征为关键能力，它们依托思想方法落实数学学科核心素养的培养。

（一）突出核心知识，体现创新性与综合性

根据表2，试题考查的函数知识点相对稳定，核心知识覆盖较全，主要涉及函数的概念、函数的基本性质（如奇偶性、单调性）、指数运算、对数运算、指数函数及其性质、对数函数及其性质、同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的图象与性质等内容。函数的基本性质中的奇偶性和单调性、函数图象考查频率居高，几乎每年每套试题都有涉及，而且这6套新高考卷函数部分考题的创新性与综合性在不断提高，与高中数学其他模块内容融合，对学生基础知识的掌握情况要求更高，如2020年新高考卷Ⅱ第17题、2022年新高考卷Ⅰ第18题融合了正弦定理、余弦定理，2021年新高考卷Ⅰ第10题融合了平面向量，2021年新高考卷Ⅱ第14题融合了导数。

（二）巧用问题情境，综合考查关键能力

根据表2的统计与分析结果可以发现，每道题平均考查1—2个数学关键能力，并且这些关键能力的考查并不是独立展开的，而是紧密联系的。试题的设计以函数知识为基础，考查学生提取、组织题目条件的能力，以及对函数知识的抽象、记忆、理解、应用、分析与创造的能力。以函数思想方法为引领，通过运用函数思想与函数模型，考查数学建模能力；通过运用数形结合思想，考查空间想象能力；通过应用转化与化归、特殊与一般思想，考查逻辑推理能力。例如，2020年新高考卷Ⅰ第6题，以新冠疫情为背景，考查的知识点集中于指数模型、指数函数的性质、幂指运算，在关键能力上体现综合性。学生首先需要运用数学建模能力，将试题中的生活情境转化为数学问题，然后运用逻辑思维能力，对新冠疫情初期病例感染数变化规律进行预测分析，最终运用运算求解能力，求解出累计感染病例数加倍所需的时间；2021年新高考卷Ⅱ第14题给出三个条件，求同时满足这三个条件的一个函数解析式，考查知识点集中于函数的奇偶性、可导性，学生需要首先运用逻辑思维能力，分析、列举、推导出分别符合题干三个条件的函数解析式，然后运用创新能力，整合所列出的函数解析式，最终得出同时满足三个条件的函数解析式。学生只有同时掌握上述关键能力，才能够解决复杂情境下的问题。

（三）借助三角函数，运用转化与化归思想

根据表2，转化与化归思想是近三年新高考卷集中考查的数学思想，其次是数形结合思想、分类与整合思想，最后是函数与方程思想、特殊与一般思想。作为高中函数必修部分的重要内容，三角函数知识几乎每年每套题中都有涉及，充分体现了转化与化归思想的应用。例如，2020年新高考卷Ⅰ第17题、新高考卷Ⅱ第17题，2021年新高考卷Ⅰ第6题和第10題，2022年新高考卷Ⅰ第18题、新高考卷Ⅱ第6题，以基本公式sin²x+cos²x=1，sinx/cosx=tanx以及三角恒等变换为考查要点，要求学生充分理解它们的内在联系，体会转化与化归思想的应用；2020年新高考卷Ⅰ第10题、新高考卷Ⅱ第11题以函数y=Asin（ωx+φ）的图象为考查要点，2022年新高考卷Ⅰ第6题、新高考卷Ⅱ第9题以正弦函数的周期性、对称性、单调性为考查知识点，要求学生能够理解参数变化对函数图象的影响，根据三角函数的图象与性质建立知识之间的联系，渗透转化与化归思想，领会数形结合思想。

（四）突出数学运算与逻辑推理素养的渗透

新高考卷试题中每道题平均考查2—3方面的数学学科核心素养，尤其重视对数学运算与逻辑推理这两大核心素养的考查，特别是作为解决数学问题基本手段的数学运算素养，几乎每道题都有涉及，其次是考查直观想象、数学抽象以及数学建模素养，而较少考查数据分析素养。例如，2020年新高考卷Ⅰ第11题、新高考卷Ⅱ第12题，2021年新高考卷Ⅱ第7题以及2022年新高考卷Ⅰ第7题，虽然试题考查的是指数运算、对数运算、基本不等式等基础知识，但学生需要理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路与论证过程，才能求得运算结果，从而促使数学运算、逻辑推理等素养的培养落到实处；2022年新高考卷Ⅰ第12题，要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性与对称性、导数等概念以及它们之间的联系，要求学生具有数学抽象、逻辑推理等核心素养。

二、教学建议

（一）突出必备知识，引导教学回归基础

新高考卷以《课程标准》提出的学业质量标准和课程内容为命题依据，将函数的概念、性质作为解决数学问题的起点，强调对函数概念、性质、运算法则的理解和应用，突出基础性。试卷中基础题占比稳定，让大多数学生都能正确解答，增强学生的解题信心，着重考查学生对数学基础知识和基本技能的掌握情况。根据对近三年新高考卷试题和《课程标准》的分析，一线高中数学教师应处理好基础知识、基本技能与核心素养之间的关系，建立三者之间的衔接路径，引导教学回归基础。在教学过程中，教师要通过开展认知活动，引导学生掌握数学必备知识和基本技能，体会其中蕴含的数学思想方法。新高考卷加强对基本函数概念和性质、基本方法与法则、基本技能、基本函数模型的考查，增強考试内容的基础性，引导教学夯实学生基础。

例1（2021年高考数学新高考卷Ⅱ）14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：_________________。

①f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）；②当x∈（0，+∞）时，f（x）>0；③f（x）是奇函数。

本题属于结论开放性问题，试题设计是“结构不良问题”，答案开放，但考查的并不是很偏、很难的知识点，而是函数和导数的基础知识。因此，在教学过程中，教师可以通过创设问题情境引导学生构建数学知识之间的联系，注重引导学生感悟数学通性通法，夯实数学必备知识，使得教学回归基础。

（二）创新试题情境，引导学生学以致用

近年来，情境化试题成为新高考试题的主要呈现方式，体现出数学学科考试由“知识立意、能力立意”向“素养立意”的转变。情境教学让学生在情境中感受、在情境中思考讨论。创设情境为培养学生数学探究与数学思维提供了支持，能够有效地激发学生的学习热情，使学生能够在教师引导下运用所学知识和已有的生活经验解决现实中的问题，从而加强数学与现实的联系。因此，教师在教学中要注意通过实际例子抽象相应的函数概念，将现实情境转化为数学情境，以数学问题来支持函数概念的学习。

例2（2020年高考数学新高考卷I）6.基本再生数[R0]与世代间隔[T]是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：[I（t）=ert]描述累计感染病例数[I（t）]随时间[t]（单位：天）的变化规律，指数增长率[r]与[R0]，[T]近似满足[R0=1+rT]，有学者基于已有数据估计出[R0=3.28]，[T=6]。据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需的时间约为（ ）。

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

本题以新冠疫情为背景，将学生现实生活中遇到的热点问题嵌入试题中，有助于学生将学到的函数基础知识、思想方法与生活实际问题联系起来。因此，教师在教学过程中要从函数的基础知识出发，挖掘其在不同背景、不同学科中的应用内容和形式，创设多样化的问题情境，引导学生在掌握基础知识的基础上，拓展与迁移知识，最终实现联系实际、学以致用。

（三）转化与化归，注重本质探究

数学思想是数学知识的本质体现，数学知识又是数学思想的具体呈现。函数相关试题重点考查了转化与化归的思想。作为高中数学重要的函数模型，三角函数当中蕴含着转化与化归思想，因此，教师在教学时，不仅要充分利用单位圆帮助学生理解三角函数的定义、公式推导等知识，更要在教学诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）等知识的过程中，注重对其本质进行探究，将转化与化归思想贯穿始终。

例如，在诱导公式的教学中，教师借助单位圆，在任意角的三角函数定义的基础上，建立任意角的三角函数值与跟该角终边具有对称关系的角的三角函数值之间的关系，从而将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，体会转化与化归的思想；运用诱导公式求三角函数值时，先将负角三角函数转化为正角三角函数，再进行0—2π内的三角函数的转化，最后将其转化为锐角三角函数，体会转化与化归的思想。

（四）提升逻辑推理与数学运算素养

近年来，新高考命题以学科核心素养为导向，体现育人功能。从表2可以看出，函数相关试题不仅考查学生对基础知识的理解，还侧重对学生学科核心素养的考查，特别是对逻辑推理素养与数学运算素养的考查，强调知识的迁移与应用。因此，逻辑推理素养与数学运算素养应成为教师在函数教学中需要着重培养的内容。

一方面，教师要重视锻炼学生的数学思维，提升学生的逻辑推理素养。在教学函数的过程中，教师以问题为载体，通过问题串的形式，逐层递进，步步探索，不仅重视学生对知识的理解，还重视推导过程，从“如何激发学生思维”出发，引导学生主动探索，尝试解释原因、机理，理解知识的内涵。在发现和探讨的过程中，教师引导学生理解知识，明白数学的严谨性，形成严密的思维逻辑链条，突出以学生为主体的教学理念。通过探究一般性结论，引导学生把握事物的本质属性，形成条理清晰、论据明确的数学思维习惯，从而提升逻辑推理素养。

另一方面，教师要注重开展思维训练，提高学生的数学运算素养。如通过例题和适当练习，加深学生对所学函数知识的理解与应用，使其深刻体会函数知识的内涵。在练习的过程中，学生从函数知识的简单应用出发，不仅巩固了所学知识，而且拓展数学思维，从而发展数学运算素养。

函数不仅是现代数学基本概念，还是高中数学内容的主线之一，贯穿在整个中小学数学教学过程当中。高考数学新高考卷函数部分试题既立足于《课程标准》，考查函数基础知识，又具有一定的创新性，指向数学学科核心素养的考查。试题聚焦数学学科核心素养，有效突出数学学科特色，体现高考选拔功能。在广西实施新高考的背景下，一线教师非常有必要深入研究已有新高考试题，找准教学方向，从而更从容地迎接新高考带来的机遇与挑战。

参考文献

［1］刘志军，徐彬.新课标下课程与教学评价方式变革的挑战与应对［J］.课程·教材·教法，2022（8）.

［2］武丽莎，朱立明，王久成.数学学科核心素养高考测评与课程标准一致性研究：以2019—2021年高考数学Ⅰ试卷为例［J］.数学教育学报，2022（3）.

［3］任子朝，赵轩.基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］.中国考试，2019（12）.

［4］张定强，裴阳.新高考改革背景下数学试卷与课标一致性研究［J］.数学教育学报，2019（4）.

注：本文系广西教育科学“十四五”规划2021年度专项课题“基于高中生数学核心素养发展之研究性学习的开展策略与实践研究”（2021ZJY1814）的研究成果。

作者简介：赖婷婷（1997— ），广西南宁人，主要研究方向为数学教育；

杨燕（1990— ），广西南宁人，讲师，主要从事中小学数学课程与教学研究；

毋晓迪（1992— ），硕士，讲师，主要研究方向为数学教育。

（责编 刘小瑗）