基于梯度傅里叶级数的四量子比特计算机验证

刘嘉辉 董强

摘  要：提出一种基于梯度傅里叶级数的四量子比特纠缠计算机验证方法.通过数字量化的量子编码，拟合梯度划分策略，在傅里叶级数求解编码中θ和φ的最大似然估计，解决了四量子比特纠缠在计算机条件下的状态鉴别过程；依据梯度策略实现量子解除纠缠、弱纠缠、弱强纠缠、强纠缠不同状态的划分条件.分析结果证明，基于梯度傅里叶级数的四量子比特纠缠计算机验证方法，能够有效地识别量子信息是否处于纠缠状态.

关键词：量子比特；量子纠缠；量子编码；傅里叶级数

[   中图分类号    ]TP309，O413 [    文献标志码   ]  A

Computer Verification of Four Qubits Based on Gradient

Fourier Series

LIU Jiahui，DONG Qiang

（ School of Computer Science and Technology，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China ）

Abstract：A computer verification method for four-qubit entanglement based on a gradient Fourier series is proposed. Through quantum coding of digital quantization，fitting gradient partition strategy，and maximum likelihood estimations of θ and φ in coding solution with Fourier series are applied to solve the state identification process of four qubits entanglement under computer conditions. According to the gradient strategy，the division conditions of disentanglement status，weak entanglement status，weak-strong entanglement status and strong entanglement status are realized. The analysis results show that the computer verification method of four-qubit entanglement based on gradient Fourier series can effectively identify whether quantum information is entangled.

Key words：qubit；  quantum entanglement；  quantum code；  Fourier series

量子計算在实验和理论上已经获得突破性成果.梯度是一种量子信息传输中量子纠缠态区别的有效策略.基于梯度策略的傅里叶级数四量子比特纠缠的数字量化方法，可以有效验证量子信息是否处于量子纠缠.笔者提出一种基于梯度傅里叶级数的四量子比特纠缠计算机验证方法，在计算机系统中可以实现有效的量子状态鉴别，使用四量子比特的布洛赫球面表示形式，将四粒子16种形态按基数4进行分组，按梯度划分为4种状态，给出每种状态的特征.引入欧拉公式，将四量子比特的布洛赫球面表示形式按照傅里叶级数展开.通过φ表达式计算偏导，以其最大似然估计的数值和eiφ的结果进行梯度求解.数字化得到的信息编码能够初步对量子叠加态进行鉴别，再与量子叠加态的标准特征进行拟合计算，根据获得的拟合值完成计算机条件下状态的鉴别.通过计算平方和或者对四量子比特的布洛赫球面被数字量化的θ，求解最大似然估计值，进一步区别不同类别状态下的叠加态条件.通过数字量化的量子编码，拟合梯度划分策略，在傅里叶级数求解编码中θ和φ的最大似然估计，解决了四量子比特纠缠在计算机条件下的状态鉴别过程；依据梯度策略实现量子解除纠缠（DS）、弱纠缠（WES）、弱强纠缠（WSES）、强纠缠（SES）不同状态的划分条件.

1 方法研究

信息在数字量化编码后，通过量子信息信道进行传输.按照基于梯度策略，计算机实现四量子比特纠缠验证分为五步：

（1）把四量子比特的形式化改写为四量子比特的布洛赫球面数学形式；

（2）引入欧拉函数，并将（1）中的表示形式按照傅里叶级数展开；

（3）对（2）中展开公式中的φ计算偏导数，求解最大似然估计，并按照计算结果舍去e iφ；

（4）计算后的数字化规则可以拟合所给公式的量子叠加态，当满足所给公式时，鉴别其所属状态；

（5）通过计算平方和或对（1）中的公式对θ计算偏导数，求解其最大似然估计，鉴别其满足哪种状态的叠加态特点，结束形式化验证过程.

1.1 量子信息编码

本文采用4量子团簇态：定义|1111>，|0011>，|0000>和|1100>为4量子比特的基本状态.量子纠缠的数学描述形式为四粒子团簇态，表达式为

|ψ> = a|0000> + b|0011> + c|1100> - d|1111>.                                      （1）

在量子传输之前，把计算机的二进制信息量化为基于量子纠缠的计算机编码形式.基于量子纠缠的计算机编码形式为：

Sgn（符号位M N（a2，b2，c2，d2））（mp2，mq2），（np2，nq2） .                                （2）

式（1）中，符号函数Sgn（myvalue）定义为当数值myvalue小于0时，符号函数Sgn（myvalue）的返回值为0.当数值myvalue大于0时，符号函数Sgn（value）的返回值为1.使用纠缠量子对产生一个四量子纠缠态，位距离N是纠缠量子对两个量子之间的距离；实现多组信息传输，按照每四个信息划分成一组，即每四位形式化为一个四量子纠缠态的特征，假定M组距离是各组与邻近组的位移.

在二进制编码（p1，p2，…，pi，…，pn）2中，由于信息较长，规定将信息每四位分为一组，（p1，p2，p3，p4）为第一组，（p5，p6，p7，p8）为第二组，依次类推，定义第一组的组距离M的标准值为1单位；第二组M组距离的标准值为2单位；同理，设置i单位是第i组的M组距离数值，n单位设置为最后一组的M组距离数值.

形式化（p1，p2…pi…pn）2的计算机编码，设置处于第1位的二进制位记为p1，由低位到高位依次记为pi（i=1，2，…），最后一位记pn.由初始值1开始赋值p1的位距离N的数值，位距离N的p2的数值初始化为2；依次类推，数值i赋值给pi的位距离N，pn最后一位的位距离N设定为n.

基于梯度策略计算机编码的各组与其邻近组均会存在量子纠缠，假设邻近的信息组出现纠缠态：

|φ> = mp|0> + mq|1> .                                                         （3）

假设观测量子比特1的概率为|mq|2，量子比特0观测的概率定义为|mp|2，满足理想条件：

|mp|2 + |mq|2 = 1.                                                                    （4）

基于梯度策略計算机编码的各位与其邻近位均满足量子纠缠条件，邻近的信息位满足纠缠态条件：

|φ> = np|0> + nq|1>.                                                         （5）

假设，观测量子比特1的概率为|nq|2，观测量子比特0的概率为|np|2，且满足理想条件：

|np|2 + |nq|2 = 1.                                                                 （6）

1.2 最大似然估计验证

为了方便求出最大似然估计，引入布洛赫球.在布洛赫球中，量子纠缠的数学描述形式为

|φ> = cos（θ/2）|0> + eiφsin（θ/2）|1>.                                           （7）

完成信息编码后，发送方需要计算使量子纠缠的可能性达到最大的最大似然估计.可以改写为：

|φ> = （cos（θ1/2））4|0000> + （cos（θ1/2））2（sin（θ1/2））2 e2iφ1|0011> +

（cos（θ1/2））2（sin（θ1/2））2e2iφ1|1100> -（sin（θ1/2））4 e4iφ1|1111>.                           （8）

根据傅里叶级数：a0/2 + ∑k=1∞（akcoskx + bksinkx）.                                                                                    （9）

展开傅里叶级数，对φ1求最大似然估计.形式化L（φ1）似然函数，并计算似然函数中的φ1的偏导数.当φ1属于区间[0，2π]时，利用f（φ1）的参数估计出：实际上φ1在编码中的量子纠缠影响很小，计算过程中，eiφ1部分在最大似然估计里可以忽略.

邻近组和相邻位的量子纠缠形式化按照（θ2，φ2）值选取，相邻位参照（θ3，φ3），随后展开傅里叶级数形式，并进行最大似然估计φ2和φ3，对φ2和φ3进行鉴别.由展开式可得，φ2和φ3的计算并没有受量子纠缠影响；同理，eiφ2和eiφ3部分在最大似然估计中的计算过程可以忽略.

1.3 状态验证

以弱强纠缠状态为例.当处于弱强量子纠缠状态时，按相似度将弱强量子纠缠状态分为两组，第一组为：

|ψ> = a|0000> + b|0001> + c|1110> - d|1111> .                                 （10）

|ψ> = a|0000> + b|0100> + c|1011> - d|1111>.                                  （11）

第二组为：

|ψ> = a|1100> + b|1101> + c|0010> - d|0011>.                                   （12）

|ψ> = a|0011> + b|0111> + c|1000> - d|1100> .                                  （13）

（1）獲得value_1=a2+b2+c2+d2.推得第1组value_1属于区间[0.25，1]，第2组value_1∈[0，0.25）.

（2）假设最大似然估计a2，b2，c2，d2中θ1为value_2.推得第1组θ1的最大似然估计value_2=1/2π，第2组value_2=1/2π.

对比可见，最大似然估计二组的值相同，因此，难以通过最大似然估计鉴别二组叠加态.所以，通过value_1来鉴别二组叠加态，当value_1∈[0.25，1]，量子叠加态判定为（10）式和（12）式，当value_1∈[0，0.25），量子叠加态判定为（11）式和（13）式.推证第1和2组中的2种量子叠加态没有明显区别.同理，SES，WES和DS的叠加态存在一致的方法鉴别.

发送方在发送信息之前，四量子比特纠缠表达式按照（7）式进行改写，改写后的布洛赫球面形式由（θ1，φ1）确定，按照（4）式进行傅里叶级数展开，计算最大似然估计φ1.（θ3，φ3）确定相邻位，由公式（9）展开傅里叶级数，分别计算φ2和φ3的最大似然估计；分析推得量子纠缠条件下φ2和φ3受影响很小，因此，eiφ2，eiφ3部分在最大似然估计中可以忽略.

2 应用实例

2.1 接收端判断发送端发送量子信息的纠缠性

计算机发送端向计算机接收端传送的信息设置为（01101001）2，信息编码采用8位，4位划分为1组，发送方设置位距离、组距离，划分为2组的二进制编码分别是1（p1，p2，p3，p4）2，2（p1，p2，p3，p4）2，组距离M分别为1和2.在两组中，位于第1位的二进制位为p1，由低位到高位分别记为p2和p3，最后一位是p4，即n=4.设定p1位距离的初始值为1，p2位置距离为2，以此类推.

在传输信息前发送方需要将信息编码中的各位利用公式（2）形式化，各位二进制形式化表示量子纠缠态公式（1）的形式.根据（1）式展开傅里叶级数，并按照最大似然法对φ1求偏导.量子纠缠条件在φ1的作用下影响非常小，因此，eiφ1部分在最大似然估计中可以忽略.

邻近组和相邻位的量子纠缠表达式按照（7）式进行重写，重写后的布洛赫球面形式中由（θ2，φ2）确定邻近组，（θ3，φ3）确定相邻位，按照公式（4）展开傅里叶级数，并分别计算φ2和φ3的最大似然估计，可以推得，受φ2和φ3的量子纠缠的条件影响很小，eiφ2和eiφ3部分在最大似然估计中可以忽略.

计算机发送端把各位信息编码按公式（2）形式化，sqrt代表计算平方根，假设四量子纠缠中的概率特点sinθ1/2=sqrt（3）/2=sv，cosθ1/2=1/2，假设mq2=0.8，mp2=0.2，nq2=0.9，np2=0.1.描述展示为：

第1组信息1（0110）2：

p1=（-1 1（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9）.

p2=（-1 2（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p3=（-1 3（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p4=（-1 4（（（1/2）4）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

接收端测量到的信息为：

第1组信息：

p1=（-1.2 1（（（1/2）4）2，（（1/2）3（sv））2，（（1/2）3（sv））2，（1/2）2（sv）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p2=（1 2.1（（（1/2） （sv）3）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）（sv）3）2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p3=（1.5 3.2（（（1/2）4）2，（（1/2）3（sv））2，（（1/2）3（sv））2，（（sv）4）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

p4=（-1 4（（（1/2）（sv）3）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）2（sv）2）2，（（1/2）（sv）3）2））（0.2，0.8），（0.1，0.9） .

使用平方差的方法判定接收方的组距离M和位距离N：

|（c_M）2 - （b_M）2| < 2（b_M+1）-1  .                                   （14）

|（c_N）2 - （b_N）2| < 2（b_N+1）-1   .                                   （15）

其中，c_M和c_N为实际条件下观测的位距离N值和组距离M，b_N和b_M为理想情况下观测的位距离N值和组距离M.第1组信息中，p1，p2，p3，p4存在差错.

组距离M在p1中产生了差错，同时，c_M的测量值是1.2，鉴别该组距离的值实例化：

|（c_M）2 - （b_M）2| =|1.22 - 12|=0.44 < 2（b_M+1）-1=2（1+1）-1=3 .

|（c_M）2 -（b_M）2| =|1.22 - 22|=2.56 < 2（b_M+1）-1=2（2+1）-1=5 .

比較二个平方差：0.44<2.56.因此，鉴别组距离M在p1中的值1是正确的. 观测可以取得p1的四粒子叠加态为：

|φ> = a|0000> + b|0001> + c|0001> -d|0011>  .                                    （16）

该叠加态可以直接写成张量积的形式：

|φ> =|00>（a|00> + b|01> + c|01> -d|11>）  .                                   （17）

说明该叠加态处于解除量子纠缠状态，即p1在出现误差的情况下与相邻位已经解除量子纠缠状态.通过DS判断p1，必须继续判断p1的量子叠加态的实际表达式值，首先获得value_1的值，value_1的值计算结果为0.062 5，然后计算a2，b2，c2，d2中θ1的最大似然估计，可得θ1的最大似然估计为0.33π.

DS的叠加态条件分为二种情况：二组叠加态value_1的取值范围相同，由此难以通过value_1的取值范围判断2组叠加态条件.在此，可以利用叠加条件中θ1的最大似然估计来判断2组叠加态，θ1的最大似然估计值是0.33π，可以判断其量子叠加态条件满足DS.

同理，参照同样的过程对第1组编码信息中的p2，p3，p4验证，容易推得第1组信息中的位距离p2的值是2，当出现差错的情况下与相邻位处于解除纠缠状态条件，其叠加态的具体表达式为DS.p3的组距离的值为1，位距离的值为3，且在出现误差的情况下与相邻位处于弱纠缠状态，其叠加态的具体表达式为WES.p4在出现误差的情况下与相邻位处于弱纠缠状态，其叠加态的具体表达式为WES.第二组信息的判定方式与第一组相同，以此类推.

通过上述步骤，实现基于梯度傅里叶级数的四量子比特纠缠验证方法，通过量子信息的编码和传输后观测，阐述了满足量子纠缠态条件的鉴别过程.

2.2 本文验证方法与其他方法的对比

2.2.1 基于量子纠缠和假设检验的计算机验证方法

每一位二进制信息被表示为两量子比特纠缠态形式.发送端在传输信息前需要定义符号函数Sgn（myvalue）.相邻的二进制信息位（pi，pj）2处在量子纠缠态，量子纠缠态形式为：|φ> = ip|0> + iq|1>，|ip|2和|iq|2为对应|0>和|1>量子比特的测量概率.发送的每一位信息具有统一的形式：

Sgn（符号位H （ε2，μ2） ），（ip2，iq2） .                                                       （18）

距离H的数值计算过程.规则同在梯度傅里叶级数中的4量子比特纠缠的规则验证方法中确定位距离N相同.接收端测量ε和μ的数值，在实际测量中，按照|ε|2+|μ|2-1<= lf 验证该二进制信息位是否满足纠缠态的条件（lf是给定的测量的误差），以判定该二进制信息位的测量值是否准确.当该二进制信息位不满足纠缠态条件时，使用假设检验验证ε.

2.2.2 具体说明

基于量子纠缠和假设检验的计算机验证方法在验证量子编码传输后情况：（1）传输后，参数μ，ε出现差错，ip和iq正常传输.（2）在信息传输后，ip和iq出现差错，ε和μ传输正确.（3）信息传输过程中iq和ip出现差错，μ和ε出现错误.既在信息传输后，ε和μ出现误差，ip和iq正常传输.

进行二进制信息位满足纠缠态的条件鉴别.当差错介于（-lf，lf）条件下，鉴别量子纠缠的条件，推得在传输后量子信息满足量子纠缠状态的条件；当差错介于（-∞，-lf]或[lf，+∞）条件下，难以鉴别量子纠缠条件，利用假设检验对μ和ε分别进行计算，以鉴别在传输后量子信息满足WES或DS.

当二进制编码位难以判断纠缠态条件时，利用假设检验对μ和ε分别进行计算.可以推得，当差错局部值的概率处在（-P_ε，P_ε）范围时，可以接受A0，如果偏差在（-∞，-P_ε]，[P_ε，+∞）变化时，拒绝A0.而且，当误差临界值的概率位于（-P_μ，P_μ）时，应接受A0，当差错位于[P_μ，+∞）或（-∞，-P_μ]时，拒绝A0.当ε和μ有一个满足接受A0条件时，推得在传输后量子信息可以鉴别为弱量子纠缠状态条件，当μ和ε均满足拒绝A0条件时，推得在传输后量子信息满足解除量子纠缠状态条件.

2.2.3 两种方法的对比

基于梯度傅里叶级数的四量子比特纠缠的计算机验证方法称为方法A，基于量子纠缠和假设检验的计算机验证方法称为方法B.将两种方法进行对比，得出以下结论：

（1）方法B中量子纠缠形式为二粒子纠缠，方法A中的量子纠缠形式为四粒子纠缠，与一般二粒子纠缠态相比，四粒子在纠缠度、稳定性方面更胜一筹，是可靠和安全的.

（2）方法B中对量子信息纠缠态的判断方法为假设检验，方法A中为梯度傅里叶级数和最大似然法.方法B验证量子纠缠更快，计算量小，但误差较大，精度较低；方法A在验证量子纠缠时虽然较慢而且计算量大，但误差小，精度高，判断量子信息在传输后是否处于量子纠缠上更准确.

3 结 论

提出一种基于梯度傅里叶级数的四量子比特纠缠的计算机验证方法.在计算机中采用量子数字化编码方案，利用梯度策略展开傅里叶级数，在难以满足条件下通过鉴别量子纠缠态条件实现计算机编码中的最大似然估计，通过概率参数的编码鉴别量子叠加态，给出满足DS，WES，SES和WSES等条件，完成量子在计算机编码中的传输过程.

与已有的计算机量子验证方法相比，此方法虽然计算量稍大，但是具有高精度、更稳定、误差小，可以有效地实现目前计算机环境下传输后判断量子信息满足四种纠缠状态的条件，达到模拟和测试的目的.

致谢 特别感谢俄罗斯莫斯科大学计算数学与控制系超级计算机与量子信息教研室的Ожигов Юрий Игоревич教授.在莫斯科大学访学期间，本论文中关于计算机的数学验证方法获得了Ожигов教授指导，在此，对Ожигов教授所给予的无私帮助表示衷心的感谢！

参考文献

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[3] 彭承志，潘建伟. 量子科学实验卫星——“墨子号”[J]. 中国科学院院刊，2016，31（9）：1096-1104.

编辑：琳莉