“拉伸”与“剪拼”的困惑

黄海林

摘  要：平行四边形面积公式的推导是整个小学数学阶段图形面积计算中最为关键的一环，是转化思想在小学面积教学中的初次运用，同时也是三角形、梯形、圆的面积计算公式推导的基础，所以学好这节内容就显得尤为重要。教学中如何让学生理解并掌握中的转化数学思想方法，对学生和教师都是一个挑战。

关键词：小学数学教学；转化思想；计算公式

一、“拉伸”与“剪拼”的困惑

学生在进行平行四边形面积计算时，通过剪拼将不规则的图形变成规则的图形，根据计算公式直接求解图形面积。看似简单的图形变换，在教学平行四边形的面积一课时，如何让学生自然地想到剪拼的方法是让许多教师头疼的事情。为此，很多教师尝试着通过不同的方式让学生接受这一方法，但效果往往都不是很理想。

以下教学片段可以为教师的教学设计提供参考。

师：速度不变的情况下选哪条路更近些？为什么？

生１：两条路一样近。

师：你为什么认为两条路是一样的？

生１：我是将第2条路进行了平移，它就和第1条路一样长了。

师：（出示课件）图中展示的是什么？它们的面积一样吗？

生１：一样。

师：你是怎么知道它们的面积一样的？

生１：我是将第2幅图右边的三角形剪下后平移到左边，它就和第1幅图一样大了。

师：（课件展示平行四边形图片）这是什么图形？关于平行四形已经学习了它的哪些知识？

生２：平行四边形具有容易变形的特征。

生３：还学了平行四边形的底和高（学生结合图片回顾底、高等平行四边形的相关知识）。

师：平行四边形的面积怎么求，之前学过吗？

生４：没有。

师：你觉得平行四边形可以转化成什么图形？

生５：转化成长方形。

师：怎么转化？

生６：把平行四边形拉成长方形。

这样的教学引导想通过两个例子引出转化的数学方法，以此为基点让学生运用剪拼的方法来探究平行四边形的面积，看似没有什么太大的问题，但从实际上来看学生并没有领会教师的意图，为什么会出现这样的情况呢？结合实际教学经验分析，导致这种情况的根源，是教师在教学中虽然通过教学设计引出转化思想的计算方式，但一些学生对教师的教学设计兴趣不高，导致教学质量与预期存在较大差异，其原因表現在以下几点。

（一）受平行四边形的特性影响

容易变形是平行四边形固有的特性。在平行四边形的认识（四年级上册）一课，容易变形的特性给学生留下了深刻的印象，将平行四边形拉成长方形便是学生最直接的选择。但他们并不能明白在这一过程中面积并未发生变化，更何况这一过程中平行四边形每一条边的长短和周长实际上是发生了变化的。在这种思想、认知影响下，很多学生在教师讲解平行四边形面积时，会思考这样变形以后面积是否会发生变化？这种变形面积与原来并不一样，变形还有什么意义？很多学生会在剪拼以后面积与原来是否一样上纠结很长时间，感觉剪拼以后面积就已经改变，按照这种方式计算出的面积与原来并不一样。这种认知下，即便是教师向学生介绍剪拼思想，让学生进行图形的转换，学生也会有疑问，甚至完全不理解，只是被动接受教师的这种面积求解方法。

（二）受长方形面积计算的影响

计算长方形的面积是小学生第一次接触图形的面积计算，长乘宽这一公式在学生的记忆里是深刻的，是学生有关图形的面积最基础、最原始的记忆，是目前为止他们唯一可依赖的计算方式。从解决问题的角度出发，当遇到新的问题时，人们总会不自觉地去回忆已有的知识，从中去寻找解决新问题的方法。于是将平行四边形拉成长方形再次成了学生最直接的选择，而且拉成长方形后，长与宽也得到了落实（底边就成了长，斜边就成了宽）。从已有知识入手，学生认为将平行四边形拉伸以后就可以按照长方形面积的计算方式进行计算，感觉这种方法更简单，但是没有考虑到拉伸后的面积是否与原来图形面积一致。

从上面两个角度出发，将平行四边形拉成长方形是教学中不可回避的问题，这是学生的已有知识经验和思维特点决定的。作为教师，如何合理疏导此类问题成了教学中不可回避的问题。

二、运用可视化学具，帮助学生在优化中建立“剪拼”思想

正是因为受平行四边形的特性及长方形面积计算的影响，“拉伸”法成了多数学生计算平行四边形面积的首选方法。只有通过直观可视、可操作的学具，让学生在操作中直观感受和体验“剪拼”法的科学性与合理性，才能真正让学生理解和接受“剪拼”法。

例如以下教学片段所示：

师：你们能计算出图中平行四边形的面积吗？请试着数一数、画一画、算一算。

生１：我是先数满格的共有１６个，再数半格的共有８个合起来是４个满格，这样一共有２４个满格，所以平行四边形的面积是２４平方厘米。

生２：老师他这样数太麻烦了。我是把平行四边形右边的小三角形移到左边，这样就变成了一个长方形，再来数就简单了。

师：那一共有几格呢？

生２：每排有６格，共有４排，６×４＝２４，所以一共有２４个格子，面积是２４平方厘米。

师：你能结合转化后的图说一说６×４＝２４中的６、４、２４与平行四边形有什么关系吗？

在人教版小学数学五年级数学上册平行四边形的面积教材中有一张图，然而长期以来对这幅图的运用并未引起教师的重视。他们往往会像上述教学片段中那样运用几个简单例子进行引导，强行将学生的思维拉到剪拼中来，剥夺了学生思考、碰撞、优化的思维发展过程，使学生对知识的理解停留在机械识记层面。

在人教版小学数学三年级下册第５单元，关于长方形的面积是这样展开教学的，让学生通过拼摆得出长方形面积与长方形的长与宽之间的关系，以此归纳概括出长方形的面积＝长×宽。

此处教材的安排依然是想让学生运用直观可视的学习材料，在数面积中不断地去体验和经历反思、优化、重组的思维过程。由最初的先数满格个数再数半格个数（２个半格合成一个满格）最后将总个数相加不方便、不简洁，到将平行四边形进行剪拼转化成长方形或正方形时的简洁高效，再由关注长方形面积与长与宽的关系到关注平行四边形的底与高同转化后的长方形的长与宽之间的关系，进而关注平行四边形的面积与其自身的底与高之间的关系，最终形成平行四边形的面积＝底×高的计算公式。

这一系列的思维发展过程都始终依托教材中的图，为学生提供可视化的学习材料来完成，将学生看不见、摸不着的思维过程借助可视学具直观地呈现在师生眼前，更有利于教师对学生的引导。这种可视化教学方法更直观，也有助于让学生进行思维转换。如果教师直接采取将图形剪拼、转移的方式进行教学，学生会产生疑问，为什么要这样移动？而采取这种直观图案的方式，具体怎样移动，以及移动后的面积是否一样。学生通过观察图片有所了解后，在这个基础上再引导学生思考平行四边形面积的计算公式，有助于让学生掌握平行四边形面积的计算方法。

三、运用可视化教具，帮助学生在对比中辨析“拉伸”思想

教学中，教师应该正视学生出现的问题，因势利导，不可一味地堵截。只有正视学生的思维方式，才能弄清他们的思考过程，发现思考过程中出现的问题，从而进行合理的疏导，帮助学生突破思维上的障碍，做到真正理解知识。考虑到学生对平行四边形面积与长方形面积认识上的差异，在教学中教师应引导学生对“拉伸”的错误认识，学生意识到自身的错误，这样学生在以后计算平行四边形面积时可以避免出错。

例如以下教学片段所示：

师：通过上面的动手操作，已经学会了运用剪拼的方法将平行四边形转化成了什么？

生１：长方形。

师：除了用剪拼的方法将平行四边形转化成长方形，还有其他的方法吗？

生２：可以将平行四边形拉伸成长方形。

师：来看一看拉伸出的长方形是什么样子的。（用课件进行动态演示）

师：同样是转化成长方形，两种方法有什么不同？

生３：它们底一样长，宽（也就是高）不一样。

师：它们的宽分别是原来平行四边形的什么？

生４：分别是原来平行四边形的高和斜边。

师：什么情况下宽是高？什么情况下是斜边？

生４：剪拼时是高，拉伸时是斜边。

師：这两种方式下的长方形面积一样吗？为什么？哪一种情况下的面积和原来平行四边形的面积一样？

基于学生原有的知识经验结合平行四边形的特性，讨论将平行四边形拉成长方形是教学中的重要环节。顺应学生的思维，运用这种直观可视对比的方式，借助方格纸这一媒介，凸显“拉伸”与“剪拼”之间的本质区别，使学生真正理解为什么应该选择“剪拼”去求平行四边形的面积。只有这样，学生对知识的理解才是深刻的，才能从内心深处、从思维的最原始起点接受这样的观点。

教学中教师不应刻意规避学生的“拉伸”思想，而是要在教学设计中介绍“剪拼”思想的同时，让学生观察、了解拉伸与剪拼之间的差异。这种教学模式要比直接强制学生接受“剪拼”思想，要求学生摒弃“拉伸”思想的教学模式更有效。让学生直观了解到拉伸与剪拼以后的面积差异，以及变化情况，这样学生很自然地就能理解二者具体存在什么不同。以后学生遇到类似问题时，也不会想当然地去拉伸，而是会利用已有知识，思考怎样确保变形以后的图形的面积不变。

在“拉伸”与“剪拼”教学对比后，教师还应进行延伸教学：

师：大家看到了经过不同变换以后，图形的面积是否一样？

生１：不一样，有很大差异。

师：那大家知道应当如何进行平行四边形面积计算了吗？

生２：知道了。

师：大家思考一下，为什么变换以后图形的面积会不一样？这说明了什么？

生３：变换以后图形的长宽和原来都不一样了，面积自然不一样了。

师：在进行图形面积计算时，遇到不会计算面积的图形时，大家清楚应当怎样做了吗？可以将图形变换成熟悉的图形，然后根据计算公式计算面积。

虽然这种变换的方式可以帮助计算图形面积，但是大家在进行变换时一定要认真思考，不要盲目进行，像上面这个图形，一旦大家变换不当，计算出的面积就并非原图形面积，也就失去了实际意义。

在遇到类似问题时，大家应该了解了进行思维转换时应当怎样做了吧？不单单数学问题如此，生活中的其他问题也是如此，一定要明确自身要解决的问题，要保障思维转换以后的解决方法依然是针对该问题的，而不是转换思维以后，解决的是其他问题。

四、结语

延伸教学的目的是让学生形成正确的数学思维模式，掌握利用已有知识解决实际问题的方法。通过“拉伸”与“剪拼”的对比教学，可以让学生认识到二者的区别，也让学生学会如何利用已有知识解决实践问题；使学生在解决问题时能够坚持一定的原则，去思考转变以后的图形是否与所要求解的图形面积一样；使学生能够学会转换思维，这种转换应该建立在对事物正确理解与认识的基础上，而并非“想当然”。这种教学方法不仅让学生对平行四边形面积求解有一定的了解，还让学生形成了数学思维转换的习惯，以后解决类似数学问题时都能够深思熟虑后再进行。

参考文献：

［１］翟运胜． 数学实验要有明确的目的与要求——以《平行四边形的面积》教学为例［Ｊ］． 小学教学设计，２０２１（２６）：５２－５４．

［２］潘小明，马云鹏． “平行四边形面积”教学实录及评析［Ｊ］． 小学教学（数学版），２０２１（Ｚ１）：１０６－１１２．

［３］蒋徐巍． 让教学扎实而丰厚——“平行四边形面积公式”教学建议［Ｊ］． 教学月刊小学版（数学），２０２１（０９）：３７－４０．

（责任编辑：罗  欣）