“怎样解题表”应用一例

吕维

【摘  要】著名的“怎样解题表”能带领我们完美解决较难的数学试题。按照“怎样解题表”，笔者将解题过程划分为四个阶段：弄清题意；联想拟计；尝试实计；回顾反思。其中，联想拟计和尝试实计是可以反复实施的。尝试于2022南京高一期末联考试题之第12题。

【关键词】怎样解题表；解题四阶段；弄清题意；联想拟计；尝试实计；回顾反思

数学解题的过程，最难之处是如何想到。苏教版数学必修一第六章中第154页安排了一個“阅读”：怎样解题表，恰好弥补了我们理论上的不足。仔细回想自己解决稍有难度的数学题目，其求解过程确实分为四个阶段：弄清题意——审题阶段，弄清条件和待求；联想拟计——联想知识方法类题，编拟计划；尝试实计——运用知识类题的方法，作出尝试求解，可多次重复上述两个步骤；回顾反思——既是总结又是改进，既是提炼又是推广。

例题（2022南京高一期末联考，12）（多选）设a，b∈（0，1），且a=b，则以下结论正确的是（   ）。

A.a=b    B.a=b      C.a＞b        D.a＜b

弄清题意

例题条件有两个：①a，b∈（0，1）——a，b是介于0，1之间的两个实数；②a=b——幂的等式。

例题的待求：有四个选择支供选择，且是多选题。多选题意味着正确答案至少两个。

分析四个选择支，A？圯B，C、D与B的逻辑关系不太清楚。A、C、D提示我们：例题是让我们比较a，b的大小。

如何根据条件比较a，b的大小？

注：弄清题意的过程中已经有联想知识：对条件的简单解读，对选择支的简单感受。

联想拟计

见过类似的题目吗？

想：例题涉及的知识有两类类似的题目。

类题组1（对数计算）：①解关于x的不等式x＞100x；②设a，b，c都是不等于1的正数，且ab≠1，求证：a=b。

类题组2（连等式）：①设a，b，c都是不等于1的正数，x，y，z都不为0，且a=b=c，++=0，求

a，b，c的值。

②已知3= 4= 12，求+的值。

类题组1是以对数为工具，将幂积商转化为对数的积和差运算。

例题与类题组1 类似之处是：它们都是幂的形式。尝试取以e为底的对数。

拟定计划：（1）等式两边取以e为底的对数；

尝试执行：∵a=b，∴等式两边同时取以e为底的对数得lna=lnb，blna=alnb。

想：如何对“blna=alnb”作变形？就形式看，最自然的想法是分离两个字母a，b。

拟定计划：（2）分离a，b

尝试执行：由blna=alnb及a，b∈（0，1）有=。

想：如何处理等式=？形式统一，自然引入函数f（x）=，条件化为方程f（a）=f（b）。先研究函数f（x）性质（单调性），再研究a，b大小关系。

拟定计划：（3）引入函数，研究性质

尝试执行：设函数f（x）=，0<x<1

想：如何研究f（x）的性质？作为高一学生的我们，只有两种方法判断函数的单调性：①函数图像——观察图像的上升下降情况；②函数单调性定义。复合函数的单调性判断，本例不用。

拟定计划：（4）应用定义研究函数单调性

尝试执行：设0<x1<x2<1，则f（x1）-f（x2）=-。

想：如何判断f（x1）-f（x2）=的符号？又回到了比较x与x的大小上，基本同于例题原题。陷入思维和解题的回路，放弃。

只有由图像观察一途。而图像法中的数据又不好处理——都是一些无理数。借助计算器。

拟定计划：（5）应用图像研究函数单调性

尝试执行：列表（借助计算器）：

描点，连线，得到f（x）的图像，如图1，由图知，f（x）在（0，1）上单调递增，故由f（a）=f（b）得a=b。从而选择A、B。

至此，例题得到解决。

将“想”“尝试”的过程整理，得到“解”的过程。

例题之解法一：∵a=b，∴等式两边同时取以e为底的对数得lna=lnb，即blna=alnb，又a，b∈（0，1），∴=。

设函数f（x）=，0<x<1，列表：

描点，连线，得到的图像，如图1，

由图知，f（x）在（0，1）上单调递增，故由f（a）=f（b）得a=b。从而选择A、B。

我们看到：对于复杂或有难度问题的求解，拟定计划和执行计划实际上一个反复尝试的过程。

类题组2是解决连等式问题的常用方法。对例题的求解有帮助吗？

想：例题与类题组2的相似之处是：它们都是等式。连等式问题的求解方法是引入新参数，将题设中的字母都用新参数表示，达到将多元问题转化为一元问题的目的——实质是化归思想的运用。

拟定计划：（1）等式值设参——引入新参数m

尝试执行：设a=b=m，则由a，b∈（0，1）有m∈（0，1），由指对互化得b=logam，a=logbm。

想：logam与logbm真数相同，换底统一底数。

拟定计划：（2）换底公式化同底

尝试执行：b=logam=，a=logbm=。

想：与形式统一，引入函数g（x）=，研究函数单调性。

拟定计划：（3）引入函数g（x）

尝试执行：设g（x）=，0<x<1，0<m<1，

想：如何研究函数g（x）的单调性？应用复合函数的单调性原则——同增异减。将g（x）拆为y=，u=logmx，两个简单函数的单调性都是易知的。

拟定计划：（4）复合函数研究函数单调性

尝试执行：设u=logmx，y=，則g（x）是由y=（u>0）与u=logmx（0<x<1，0<m<1）复合而成的。易知，当0<m<1时，u=logmx在0<x<1上单调递减，当0<x<1时，u>0，y=在u>0上单调递减，∴g（x）在（0，1）上单调

递增。

想：有了函数g（x）的单调性，根据b=，a=就能解决a，b的大小关系了。如何用g（x）的单调性呢？先由a，b的大小得g（a）与g（b）的大小，进而得a，b的大小。

拟定计划：（5）应用g（x）的单调性研究a，b的大小

尝试执行：当a>b时，g（a）>g（b），即>，而b=，a=，∴b>a，矛盾；同理，当a<b时，g（a）<g（b），即<，而b=，a=，∴b<a，矛盾；故只有a=b。选择A、B。

将上述“想”的过程整理，得“解”的过程。

例题之解法二：设a=b=m，则由a，b∈（0，1）有m∈（0，1），由指对互化得b=logam=，a=logbm=。

设g（x）=，0<x<1，0<m<1，

设u=logmx，y=，则当0<m<1时，u=logmx在0<x<1上单调递减，当0<x<1时，u>0，y=在u>0上单调递减，∴g（x）在（0，1）上单调递增。

当a>b时，g（a）>g（b），即>，而b=，a=，∴b>a矛盾；当a<b时，g（a）< g（b），即<，而b=，a=，∴b<a，矛盾；故只有a=b。选择A、B。

从联想类题方法到拟定计划、尝试执行，到最后的完美求解，正是“如何想到”的心路历程。

解题反思

解法一中的函数f（x）=（0<x<1）图像难画 ——无理数太多，能改进吗？可以考虑取以2为底的对数，从而函数f（x）=（0<x<1），取x=0.125， 0.25，0.5，1，还是能作图的——只是作图的间隔不舒服。解法二中，通过自身矛盾来排除是不常用的方法。

突然发现解法一中也有等式=，应用解法二中的连等式引参，会发生什么呢？

拟定计划：（仿解法一得=），（3）引参

尝试执行：设==k，则lna=ka，lnb=kb，a，b∈（0，1），k<0，

想：两个式子何其相似！从方程角度看，a，b是方程lnx=kx，x∈（0，1），k<0的两个根（可能重根）；从函数角度看，y=lnx，x∈（0，1）与直线y=kx的交点的横坐标为a，b。作图，易；观察（0，1）上的交点，易。

拟定计划：（4）方程的解转化为两个函数交点的横坐标

尝试执行：设y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx，x∈（0，1），k<0，作出y1与y2的图像，如图2，由图知y1与y2有且只有一个交点，故a=b。选A、B。

将上述“想”的过程整理，得到“解”的过程。

题之解法三：仿解法一得=，设==k，则lna=ka，lnb=kb，a，b∈（0，1），k<0，

设y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx，x∈（0，1），k<0，在同一坐标系内作出y1与y2的图像。

如图2，由图知y1与y2在（0，1）内有且只有一个交点，∴关于x的方程lnx=kx在（0，1）内有且只有一个实根，故a=b。选A、B。

三种解法对比，高一的学生会更喜欢解法三——既没有作图的烦恼，又没有理解的障碍。解法一中f（x）=（0<x<1）的图像难以处理，解法二中归谬法并不常用，解法三中的两个函数y1=lnx，x∈（0，1），y2=kx都是常见的函数，作图和理解都不存在问题。

解题表，作用大，掌握它，打天下。