带固定效应半变系数面板数据EV模型的约束估计

赵瑞，何帮强

（安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000）

面板数据是在不同时期跟踪由给定个体组成的样本而获取的数据集.在面板数据中存在两种信息：反映在对象之间的差异中的横截面信息以及反映在对象内随时间变化的时间序列或对象内信息.面板数据模型是大量学者研究的重点.在面板数据中，可以用横截面虚拟变量来控制横截面的异质性，此虚拟变量就是个体固定效应.研究带固定效应的半参数模型面板数据模型是面板数据分析的重要内容.SU［1］利用Profile最小二乘法，对具有固定效应的部分线性面板数据模型进行论证.HU［2］基于多元局部线性拟合以及剖面似然方法，建立半变系数固定效应估计量及其渐近性质.XU等［3］基于对变量的最近邻差分，提出一种估计半变系数固定效应面板数据模型的简单方法.

带固定效应的半变系数面板数据模型一般形式如下：

其中，Yit代表响应变量，Xit、Zit和Git为协变量，β＝（β1，β2，…，βp）τ代表p维的未知参数，α（·）＝（（α1（·），α2（·），…，αq（·））τ为q维未知光滑系数函数，Υi为不可观测的固定效应，εit为相互独立的随机误差项.基于（Xit，Zit，Git）给定的前提，E（εit｜Xit，Zit，Git）＝0，Var（εit）＝σ2.出于容易识别的目的，对Υi附加＝0的限定，假设E（Υi）＝0，Var（Υi）＝＞0并同意Υi分别和Xit、Zit及Git有未知相关联系.

无论何种收集数据的方式总会带来误差.因此将变量误差考虑进模型中，减少分析结果的偏差.变量误差模型形式如下：

其中νit和uit分别是Xit和Zit的变量误差.假定（Xit，Zit，νit，uit，Git）相互独立，且Cov（νit）＝Σν，Cov（uit）＝Σu.其中Σν和Σu已知，若未知可通过反复测量Mit和Wit得到.

不仅变量误差会导致分析结果出现偏差，而且实际应用时的各种约束也会影响最终结果.魏传华等［4］将以下参数部分的约束条件考虑进了半变系数模型中，

其中，φ与d分别为k×p已知矩阵和k×1的已知向量，并且rank（φ）＝k.ZHANG等［5］研究了约束条件下参数部分存在变量误差的半变系数模型.FENG［6］不仅给出了约束条件下半变系数模型参数与非参数两部分偏差校正的Profile最小二乘估计，而且研究了它们的渐近性质.

在以上学者的研究基础上，在参数部分有约束的前提下，采用Profile最小二乘方法研究参数与非参数部分都有变量误差的带固定效应半变系数面板数据模型.

1 Profile最小二乘约束估计

在J→!而T保持不变的情况.首先假设（Υ，β）已知，那么式（1）改写为以下形式：

式（4）可通过局部线性回归法估计未知光滑系数函数（αj（·），j＝1，…，q）.令（·）代表α（·）的一阶导，G为G0邻域内一点，对αj（G）泰勒展开可得

其中，a＝（a1，…，aq）τ，b＝（b1，…，bq）τ.

对式（6）进行最小化处理，即得到α（G）的估计：

其中，K为核函数，Kh（·）＝Kh（·／h）／h，h是带宽.

出于计算便利的目的，令｛n＝i×t，n＝1，2，…，N｝，下文皆用矩阵形式表示.由式（4）可得

因此未知函数首次估计如下：

其中，Γ＝（IJiT）dJ，dJ＝（－iJ－1IJ－1）τ.IJ代表J×J单位矩阵，iJ代表每个元素都为1的J×1向量，

易得Λ 的首次估计如下式

将式（7）与式（9）结合可得

因此β和Υ 的无约束估计量为

为了解决变量误差（EV）的问题，结合文献［7－8］的思路，

其中，WG为ZG中Zit被Wit替换所得

所以，消除变量误差影响后的β的无约束估计量如下：

由此，可得α（G）无约束估计量

对于实际应用时存在的约束也需要考虑进模型，因此将式（3）中的约束条件加入式（7），可构造出下面的辅助函数：

其中，η为拉格朗日乘数，令式（16）分别对β、η求偏导后等于0，可得

定理1 若第2节中条件（C1）－（C5）成立，则符合渐近正态，如

定理2 若第2节中条件（C1）－（C5）成立，则符合渐近正态，如

2 主要定理证明

为了方便计算，令

为了证明以下定理，需要先假设一些条件，（C1）－（C5）都是容易得到的条件.

（C1）｛αj（·），j＝1，2，…，q｝，满足二阶连续可导.

（C2）存在＞2，使得E‖Z‖＜，E‖X‖＜；对l＜2－－1，使n2l－1h→.

（C3）K（·）代表对称的核密度函数，同时具有紧支撑，带宽h满足nh8→0，nh2／（logn）2→0.

（C4）随机变量G有有界支撑R，它的密度函数f（·）不仅在支撑上不等于0 同时满足Lipschitz连续.

（C5）任一G∈R，Σ1与Ψ（G）为非奇异矩阵，E（ZXτ｜G），E（XXτ｜G）－1以及E（XZτ｜G）都满足Lipschitz连续.

首先给出引理1～3，用于证明定理.

引理1 若条件（C1）－（C5）成立，则

证明只需一些简单计算，即可证明引理1，此处省略细节.

引理2 若条件（C1）－（C5）成立，则

其中j，j1，j2＝1，2，…，q；为Ψ 的（j1，j2）分量.

证明该引理的证明类似于XIA等［9］中的引理A2，此处省略细节.

引理3 若条件（C1）－（C5）成立，则

引理3证明完毕.

定理1的证明

通过式（14），有

结合Slutsky定理与引理3，即可得到

定理1证明完毕.

由式（2）与式（18）可知

定理2证明完毕.