点目标假设下的二维精度体系研究

2023-06-05白文露

宇航总体技术 2023年3期

王智，王鹏，何磊，白文露，夏川

(北京宇航系统工程研究所，北京 100076)

0 引言

飞行器落点散布由一系列彼此独立的随机干扰因素引起。虽无法事先确定每种干扰因素的具体数值，但其均符合一定的统计特性。按照概率论中心极限定理[1-3]：对于大量随机变量之和，如果每个随机变量对总和的作用是微小的，且彼此不相关，则此和式近似于正态分布。因此，可以认为落点偏差的概率分布遵循正态分布规律。

在点目标假设下，表征飞行器二维精度的常用指标是均方根误差和圆概率偏差。在不同的应用场景，二维精度指标需用概率偏差表示。

本文在点目标的假设下，应用概率论正态分布理论，在二维圆概率偏差线性公式的基础上，给出了基于纵横向均方根误差分段的圆概率偏差精确公式，同时对二维精度指标体系及相互转换关系进行了研究。

1 落点散布坐标系

要描述飞行器落点C围绕目标点T的分布，须要明确落点偏差量的表示方法，规定落点散布平面为目标点T处的水平面，以T为原点Oc，用发射点O矢径ro与目标点T矢径rt所组成的平面与散布平面的截线顺飞行方向为ΔL轴，即纵向，从O点指向T点的方向为正；在散布平面内与T点相垂直的方向为ΔH轴，即横向，指向ΔL轴右方为正。飞行器落点C在落点散布坐标系Oc-ΔLΔH中的ΔL，ΔH即为纵向落点偏差和横向落点偏差，如图1所示。

图1 落点散布坐标系示意图Fig.1 Schematic diagram of falling point dispersion coordinate system

2 二维精度指标体系及相互关系

2.1 均方根误差

若瞄准点为目标中心，则其纵向ΔL、横向ΔH分布规律的二维正态分布为

(1)

式中，μΔL，μΔH为系统性偏差；σΔL，σΔH为随机误差和均方根误差；ρ为纵横向相关系数，0≤ρ<1。

考虑没有系统性误差，即μΔL=μΔH=0，并且纵横向独立，则(ΔL，ΔH)的密度函数分别为

(2)

(3)

假定σΔL=σΔH=σ，即落点为圆散布，此时有

(4)

ΔL和ΔH的联合概率密度函数分布如图2所示。

图2 联合概率密度图Fig.2 Joint probability density

2.2 概率偏差

随机变量ΔL，ΔH的概率偏差BΔL，BΔH也称为公算偏差。公算偏差BΔL，BΔH对称于散布中心，落点出现于其中的概率等于0.5区间长度的一半，即

P{|ΔL|

(5)

P{|ΔH|

(6)

根据拉普拉斯函数

(7)

则有

(8)

(9)

由拉普拉斯表可知[4]

(10)

(11)

2.3 圆概率偏差

圆概率偏差(Circular Error Probable，CEP)是以散布中心为圆心，以R为半径画圆，飞行器落在该圆内的概率为50%，此R亦称为半数必中圆半径。

满足下式的R即为CEP

=0.5

(12)

在点目标假设的条件下，以瞄准点为圆心，假设落点偏差服从正态分布且纵横向独立，即ρ=0，则CEP可表示为[5-8]

=0.5

(13)

2.4 指标体系相互关系

当落点散布具有圆散布特性，即

(14)

则有[9]

(15)

进而有

CEP=1.177 4σ=1.745 6B

(16)

式(16)为圆散布情况下圆概率偏差CEP、均方根误差σ和概率偏差B之间的相互转化关系。

在满足一定计算精度的情况下，为快速计算CEP，可建立CEP的拟合公式[10-11]。通过数值计算确定CEP与σΔL，σΔH的拟合关系如下

CEP=

(17)

式中

σmin=min(σΔL,σΔH)
σmax=max(σΔL,σΔH)

(18)

CEP与σmin/σmax的关系如图3所示。图中红色实线为σmin/σmax∈(0，1)时CEP/σmax与σmin/σmax的关系曲线，蓝色虚线为σmin/σmax∈(0，0.3)时采用线性拟合公式CEP=0.562σmax+0.615σmin所得的CEP/σmax与σmin/σmax的关系曲线。

图3 CEP与σmin/σmax关系曲线图Fig.3 The relationship between CEP and σmin/σmax

从图3可见，在0<σmin/σmax≤0.3时，采用线性拟合公式较采用二次曲线拟合公式会产生较大的误差，且随着σmin/σmax减小，计算误差增大，最大时误差可达17%。因此为准确表征CEP，应采用分段拟合公式，即在0<σmin/σmax≤0.3时采用二次曲线拟合公式，在0.3<σmin/σmax<1时采用线性拟合公式。

CEP与概率偏差的拟合关系如下

CEP=

(19)

式中

Bmin=min(BΔL,BΔH)
Bmax=max(BΔL,BΔH)

(20)

CEP与Bmin/Bmax的关系如图4所示。图中红色实线为Bmin/Bmax∈(0，1)时CEP/Bmax与Bmin/Bmax的关系曲线，蓝色虚线为Bmin/Bmax∈(0，0.3)时采用线性拟合公式CEP=0.833 2Bmax+0.911 8Bmin所得的CEP/Bmax与Bmin/Bmax的关系曲线。