一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性

吴亚斌, 周文学, 宋学瑶

(兰州交通大学数理学院, 兰州 730070)

分数阶微积分是一个古老又新颖的话题, 其最初起源于Leibniz G W和Euler L的猜想并发展至今. 20世纪中期, 许多国内外数学家对微积分的发展做出了巨大的贡献. 近30年内, 分数阶微积分迅速发展并广泛应用于分数物理学、粘弹性力学、随机过程、反应扩散方程等领域. 此外, 分数阶微分方程边值问题在近些年也成为了一个热点话题, 并取得了一系列成果[1-4]．

1983年, 在研究多孔介质中的湍流时, Leibenson引入了p-Laplacian算子.此后, 含p-Laplacian算子的分数阶微分方程得到了广大学者的关注, 但相关的研究成果大都是在标准的Caputo与Riemann-Liouville分数阶导数定义下的[5-7].

王丽在文献[8]中运用混合单调算子理论及不动点理论研究了带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题

许佰雁在文献[9]中运用Green函数相关性质及锥上不动点定理讨论了边值问题

其中,3<α≤4,αi>0, 0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1.f:(0,1)×→是给定的连续函数.为标准的Riemann-Liouville导数．

2014年, Khalil 等[10]提出了一种全新的一致分数阶导数的定义, 这个新定义下的分数阶导数满足整数阶导数的基本性质(满足整数阶导数的和、差、积、商的求导法则).但是, 对新定义下含p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的研究目前相对较少．

受到以上工作启发, 本文运用Leray-Schauder 非线性择抉和Krasnosel’skiis不动点定理讨论了一类在一致分数阶导数定义下含p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题

(1)

解的存在性.其中,1<α≤2,μ≥0,0<η≤1,φp(s)=|s|p-2s,(φp)-1=φq,p>1,p-1+q-1=1,Tα是一致分数阶导数,f:[0,1]×→是给定的连续函数．

本文首先给出一致分数阶导数的相关定义,以及结果证明所需的引理, 并将边值问题转化为与其等价的积分方程.然后利用p-Laplacian算子的性质及不动点定理得到了边值问题(1)解的存在性结论.最后给出两个例子来验证所得结果的适用性．

1 预备知识

定义1[10]设α∈(n,n+1], 函数f:[0, ∞)→, 则f的α阶一致分数阶导数定义为

t>0,

特别地, 在本文中α∈(1, 2], 则

定义2[11]设α∈(n,n+1], 函数f:[0, ∞)→, 则f的α阶一致分数阶积分定义为

特别地, 本文中α∈(1, 2], 得

引理1[11]设α∈(n,n+1], 若Tαf(t)在[0, ∞)上连续, 则

IαTαf(t)=f(t)+c0+c1t+…+cntn,

其中,ci∈(i=1,…,n).

引理2[12]如果p>2, 且|x|, |y|

|φp(x)-φp(y)|≤(p-1)Mp-2|x-y|．

或

2)存在一个x∈∂U和λ∈(0,1),使得x=λFx．

引理4[14](Krasnosel’skiis不动点定理) 设Ω是Banach空间X上的有界闭凸非空子集, 算子Φ,Ψ满足:

1)Φu+Ψv∈Ω, 其中u,v∈Ω;

2) 算子Ψ是紧的且连续;

3) 算子Φ是压缩映像,

则存在z∈Ω, 使得z=Ψz+Φz.

引理5若1<α≤2, 函数h∈C([0,1],), 则分数阶微分方程边值问题

(2)

存在解满足

证明对方程(φp(Tαx(t)))′=h(t)两端从0到t积分得

由条件Tαx(0)=0,可得

又(φp)-1=(φq),即

对上式两端α阶积分, 可得

因为1<α≤2, 利用定义2及引理1得

因此,

(3)

2 主要结果

设X=C([0, 1],)表示从[0, 1]→的所有连续函数构成的空间, 其范数定义为易知X为Banach空间．

定义算子F:X→X为

(4)

由此, 求边值问题(1)的解转化为求算子F不动点的问题．

为了方便计算, 做以下记号:

定理1假设1

1)f:[0, 1]×→是给定的连续函数;

2) 存在常数L>0,使得对任意t∈[0,1], 任取x1,x2∈有

|f(t,x1)-f(t,x2)|≤L|x1-x2|;

4) 存在常数N>0, 使得

(q-1)Mq-2L|x1-x2|,

(5)

|(Fx)t|=

μηR+2Λ1(Λ2R+φq(K)),

即

(6)

由此可知F把X中有界集映为有界集．

其次,说明F是等度连续的.对任意x∈BR,0≤t1

|(Fx)(t2)-(Fx)(t1)|=

μηR(t2-t1)+Λ1(φq(K)+Λ2R)(t1-t2)+

Λ4(φq(K)+Λ2R)(t2-t1)+Λ4(φq(K)+

(7)

即当t2→t1时有|(Fx)(t2)-(Fx)(t1)|→0．

由Arzela-Ascoli定理知,F是相对紧的.即F:X→X是一个全连续算子．

若x是边值问题(1)的一个解, 对于∀t∈[0, 1], 类似于前面的证明方法, 则有

即

由条件4), 存在常数N使得

假设

定理2假设条件1)成立, 且以下条件也成立:

5)μη<1;

6) 存在常数m>0, 使得对任意的t∈[0, 1],x∈, 有

则边值问题(1)至少存在一个解．

则Br为Banach空间X上的有界闭凸非空子集．

定义Br上的两个算子Φ,Ψ为

首先, 验证(Φx1)t+(Ψx2)t∈Br.当t∈[0, 1]时, 对任意x1,x2∈Br有

μηr+2mΛ1,

(8)

因此有|(Φx1)t+(Ψx2)t|≤Br, 即(Φx1)t+(Ψx2)t∈Br.

其次, 证明算子Φ在Br内为压缩映射.当t∈[0, 1]时, 对任意x1,x2∈Br有

|(Φx1)(t)-(Φx2)(t)|≤

即

(9)

由条件5)可知算子Φ在Br内为压缩映射．

最后, 验证算子Ψ为全连续算子, 由算子Ψ的定义和函数f的连续性可知算子Ψ连续.下面只需说明算子是紧的.过程分两步进行．

第一步: 说明算子一致有界.即当t∈[0,1]时, 对于任意的x∈Br, 存在常数ω使得|(Ψx)t|≤ω.由条件6), 对任意t∈[0, 1],x∈Br有

|(Ψx)t|≤

2mΛ1∶=ω,

(10)

由此可知算子Ψ一致有界．

第二步: 验证算子等度连续.对任意x∈Br,0≤t1

|(Ψx)(t2)-(Ψx)(t1)|≤

(11)

由上式可知当t2→t1时, 就有

|(Ψx)(t2)-(Ψx)(t1)|→0．

即算子Ψ在Br内等度连续.因此, 由Arzela-Ascoli定理可得, 算子Ψ在Br内为紧算子.满足引理4所需条件.综上可知边值问题(1)至少存在一个解.证毕．

3 例子

本节通过两个例子验证主要结果．

例1考虑下面一类含p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题解的存在性,

(12)

综上, 满足定理1所有假设条件.因此问题(12)至少有一个解．

例2考虑下面一类含p-Laplacian算子分数阶微分方程边值问题解的存在性

(13)

综上, 满足定理2所有假设条件. 因此问题(13)至少有一个解．