穆尔：得州拓扑学派奠基人

胡卓群

1973年，美国得克萨斯大学奥斯汀分校将新落成的数学、物理和天文学大楼命名为“穆尔楼”，这是为了纪念20世纪早期点集拓扑学的奠基人之一——罗伯特·李·穆尔（Robert Lee Moore）。

在当时，有6位知名数学家为这栋大楼的落成做了报告。他们分别是：坎农（J. Cannon）、麦克米伦（D. McMillan）、查普曼（T. Chapman）、凯利（J. Kelley）、雷蒙德（F. Raymond）和柯比（R. Kirby）。这6位数学家无一例外地都是穆尔的再传弟子。穆尔对点集拓扑学做出了杰出贡献，人们把他和追随者称为得州拓扑学派。此外，他也是一位有影响的数学教育家。

极具影响力的美国数学家

穆尔的家世可以追溯到17世纪的新英格兰地区。他的先祖于1642年从英国移民到了位于美国东北部的马萨诸塞州，祖父曾先后在康涅狄格州和佛蒙特州行醫，主攻内科，数年后当他们全家搬回康涅狄格州时，他的长子留了下来，并且很快搬到了肯塔基州。穆尔的父亲查尔斯在1858年前往肯塔基州投奔了他的这位哥哥。美国内战爆发后，兄弟俩参加了南方的军队。后来南方军队虽然战败，但兄弟俩奇迹般地幸存下来。战后，他们同弗吉尼亚州的一户同姓穆尔的人家取得了联系，并且双双娶了这家的姑娘。后来，查尔斯在得克萨斯州达拉斯开了一家五金店，和妻子育有6个子女。穆尔生于1882年，是查尔斯6个孩子中的老五，他也是全家搬到达拉斯后出生的第一个孩子。所以，穆尔虽然祖籍在美国北方，但却是一个实实在在、土生土长的南方人[1]。虽然在他日后的演讲里听不出他有南方口音，但是他的所谓“得克萨斯思想”已经无法改变[2]。

由于当时达拉斯这座城市的建设刚刚起步，它的公立教育制度尚不完善，穆尔8岁那年进入当地的一所私立学校读书。在上学期间，他表现出与众不同的数学天分，于是在校长的建议下他决定报考得克萨斯大学。为此，穆尔自学了微积分。在1898年，不满16岁的穆尔成功被得州大学录取。由于之前已有了深厚的微积分功底，他很快就开始学习更深的课程。在当时得州大学数学系主任霍尔斯特德（G. B. Halsted）的影响下，他开始学习非欧几何。仅用了3年，也就是在1901年时，穆尔便获得了学士学位和硕士学位，此后便在得州大学担任助教。霍尔斯特德是一个有真才实学的学者，有些激进、固执己见，他的这种性格甚至导致他在1902年被得州大学开除。霍尔斯特德的言行也许影响了穆尔，后来穆尔也成为了一个始终捍卫自己想法、却尊重对手的人。他的这种自信同样被他带到了学术研究之中。

穆尔留校后不久，由于某种不知名的原因，他离开了得州大学。尽管霍尔斯特德强烈抗议，力求留下穆尔，但是得州大学校方还是没有续签穆尔的合同。因此，在1902年到1903年期间，穆尔开始在马歇尔的一所高中里教数学。1902年，穆尔证明了希尔伯特刚出版的新书《几何基础》中提到的一条公理是多余的，这一成果吸引了芝加哥大学数学系主任穆尔（E. H. Moore）的注意。E. H. 穆尔此前也曾证明过这条公理是多余的，但是穆尔的方法在他看来更加简单，用他本人的话说，就是“delightfully simple”[1]。随后E.H.穆尔在1903年邀请年仅21岁的穆尔前往芝加哥大学继续深造。1905年，穆尔获得了博士学位，时年23岁。他的博士论文题目是《几何学的测量假设集》（Sets of metrical hypotheses for geometry），指导教师除了E. H. 穆尔外，还有E. H. 穆尔的高足、当时在芝加哥大学担任助教的著名数学家维布伦（O. Veblen）[3]。

博士毕业后，穆尔先后在4所大学任教：从1905年开始，他在田纳西大学任教，一年后转入普林斯顿大学，又过了两年转入西北大学，三年后进入了宾夕法尼亚大学，最后终于在1920年他“拥有了一份稳定的工作”，回到了他的母校——得州大学奥斯汀分校担任助教。短短5年内，他就取得了正教授职称。一直到1969年退休，他都没有离开得州大学。

1910年，穆尔同玛格丽特·麦克莱伦·基（Margaret MacLellan Key）女士结婚，玛格丽特是他的贤内助，她经常会邀请一些学生来家中聚会。这个传统被保留了很久，甚至穆尔的得意门生怀尔德（R. L. Wilder）在后来也会经常邀请学生来家中参加聚会。事实上，穆尔的很多习惯和作风都被得州拓扑学派的后辈传承下来[4]。

穆尔在1931年当选国家科学院院士，并于1936年担任美国数学会主席，为期两年。如果从1901年获得硕士学位并担任助教开始，他一直站在讲台上长达68年之久。

穆尔在1916年指导了第一位博士生的论文，一直到1969年退休，共培养了50位博士。他们之中有两位担任过美国数学会主席，4位担任过美国数学协会主席，3位国家科学院院士。至于穆尔的全部传人，则有惊人的4134人，可谓桃李满园、枝繁叶茂了。

按照得州大学惯例，教师到了70岁时就可申请退休，但是穆尔却不喜欢过退休的生活，而是继续坚守在教学和科研岗位上直到1969年，此时的穆尔已经87岁。5年后，也就是1974年，92岁的穆尔与世长辞。他的学生怀尔德评价他是“20世纪上半叶美国最有影响力的数学家之一”。

公理化教学法

穆尔在幼年时代就表现出对数学浓厚的兴趣和过人的天分，这从他为报考得州大学而自学微积分就可见一斑。彼时他尚不足16岁。而多年学习数学的经验告诉我们，就算在微积分理论已经建立数百年并且早已成为数学专业基础课的今天，想要吃透这门学科也不是一件容易的事。穆尔自学微积分的方法之一便是凭借自己的理解努力证明其中的理论。他用纸将书中的证明过程盖住，自己去思考如何证明。如果苦思冥想仍不得其解，他就悄悄露出证明过程的第一行，经过仔细研究，他会去思考后续的证明。这种方法对于学生在初次学习定理证明的时候非常有用。

正是因为在幼年时代打下了坚实的数学理论基础，穆尔才有可能在已有知识体系的基础上更上一层楼。我们今天的学生在学习数学时，往往因为考试压力大，需要通过题海战术一味注重提高自己的做题能力，却忽略了数学素养的提高。这样培养出来的学生往往解题能力突出但又不求甚解，且极容易对数学本身产生排斥。即使出于考试的需求，学生在学习过程中注重定理的证明，也不该轻易否定，这是在打牢基础。穆尔的学习经历给了我们一个非常好的例子，也能够为我们今天的学习提供启示；而一个老师自身的学习经历也同样会被他渗透给自己的学生们。穆尔在开设“位置分析”讨论班时，也会让学生们对定理的证明展开讨论，甚至会经常把一些尚未解决的问题拿到课堂上讨论。这种别出心裁的教学方式，和他曾经的学习经历是分不开的。穆尔在宾夕法尼亚大学任教期间，也就是1916年，指导了他的第一个博士克莱因（J. R. Kline）毕业，克莱因后来在1941年到1950年间担任美国数学会的秘书。在宾夕法尼亚大学，穆尔有3个博士生，其中一位还是女性。1920年，他回到得州大学奥斯汀分校任教后，在这里指导了第四个博士，就是后來曾担任美国数学会和美国数学协会主席的著名数学家、数学文化研究的先驱者怀尔德。怀尔德是穆尔的“位置分析”讨论班的直接受益者之一[5]。

穆尔早在芝加哥大学上学的时候，脑海中就已经有了公理化教学的初步想法。由于他自己多次在课堂上和老师“比赛”看谁证明得快，所以他十分主张让学生自己去探索知识[6]。但当他把自己的想法说给维布伦听时，维布伦感到十分不可思议甚至荒唐，但是E.H.穆尔主任却对这种新奇的做法表示欣赏，认为这种方法也许有一定的优点和可取之处[6]。于是早在他尚就职于宾夕法尼亚大学时，穆尔就按这种方式办了“位置分析”讨论班（那时拓扑学还被称作“位置分析”），颇获成功。“位置分析”在当时的数学教学中还是一个相对较新的领域。

穆尔很大程度是通过自己的直接接触或了解来挑选讨论班中的学生，其余的一小部分学生则是通过平时选修课的接触选出来的。被他选中的学生会由他一直带到博士毕业。讨论班的规模很小，通常由4到8个人组成。而后，他会提供些有限的材料，使学生对问题有一个直观的认识，再对他所提出的问题进行证明[5]。穆尔鼓励学生之间进行良好的竞争，并且相对研究问题本身来说，他更加注重学生研究问题的方法。这种从简单的公理出发，以严谨的逻辑、巧妙的方法来证明数学问题的方法，在我们今天的数学研究和教学之中是极常用的。穆尔的这种独特的教学方法被后人称为“穆尔教学法”（the Moore method），是将公理化思想运用到教学中的一个重要体现。虽然穆尔本人并未推广他的教学方法，但是后人对这种“穆尔教学法”推崇备至，其影响深远，甚至被广泛应用到美国后来的中小学教育之中。

得州拓扑学派

穆尔一生致力于数学研究，共发表了67篇学术论文，出版一部专著，涉及点集拓扑、几何等诸多领域。穆尔在研究点集拓扑前曾执着于几何学的研究。他一共发表了6篇几何学的相关论文，包括1905年的博士论文《几何学的测量假设集》（发表于1908年）、1907年的《几何角度解释每个三角形的角之和为两直角》（Geometry in which the sum of the angles of every triangle is two right angles）、1912年的《对维布伦几何公理的注释》（A note concerning Veblens axioms for geometry）、1920年的《〈射影几何〉第二卷书评》[与维布伦、杨（J. W. Young）合著]等。在1916到1919年间，他发展了平面和二维球面的公理化刻画，并提出了上半连续分解定理。在后来的教学中，穆尔常常会把几何列为选讲课，足以可见他对这门学科的热爱。但是笔者注意到，在1905年到1915年间，也就是穆尔获得博士学位后的10年内，他几乎处于一个低学术产出的状态，这和他后来在得州大学任教时取得的成就显然不匹配。

穆尔在他全部的学术生涯中，取得的最引人注目的成绩应在点集拓扑范畴。众所周知，拓扑学的萌芽产生于古老的“七桥问题”“四色问题”等。而真正有意识地去研究拓扑学，是从德国大数学家黎曼开始；真正将现代意义的拓扑学作为一门独立的学科去研究，则是大师庞加莱的功劳。后来，在20世纪上半叶，经过世界各地数学家的不懈努力，拓扑学发展成了点集拓扑学、一般拓扑学、微分拓扑学等分支，并成为当代数学的核心和支柱。时至今日，每一位数学专业的学生都必须学习拓扑学，就像理发师必须会拿剪刀、厨师一定能颠勺一样。这已经成为全世界的共识。点集拓扑真正作为一门独立的学科诞生，是从德国数学家豪斯道夫（F. Hausdorff）在1914年出版的《集合论基础》开始[7]。他在这本书中第一次给出了较为完善的拓扑空间的定义，进而开创了点集拓扑学的研究。

穆尔首次接触拓扑学是在芝加哥大学。在研究拓扑学时，他遵循了康托尔（G. Cantor）和舍恩弗里斯（A. Schoenflies）的“点集拓扑”路线，同样是以公理化思想作为依托。这种极度理性的思想继承自他的恩师E. H. 穆尔主任，而E. H. 穆尔的公理化思想也影响到了做代数拓扑研究的维布伦。穆尔后来于1916年正式发表了自己在拓扑学方面的第一篇文章《平面位置分析的基础》（On the foundations of plane analysis situs），拉开了他在点集拓扑中付出毕生心血的序幕，这篇文章也成为得州拓扑学派成员和其他后来者研究点集拓扑的重要资料。在《平面位置分析的基础》一文中，穆尔首先给出了展开列的概念：假设{Ui}是拓扑空间X的开覆盖列，对任意的x∈X，记Ui=∪{U∈Ui | x∈U}，若族{Ui（x） | x∈U}都是x的局部基，则称{Ui}是X的展开列[8]。这是对点集拓扑学的研究具有推进意义的重要概念，它也经常出现在穆尔的其他论文中。后来，前苏联数学家亚历山德罗夫（P. S. Alexandroff）和乌雷松（P. S. Urysohn）等人在1923年通过穆尔定义的展开列，给出了拓扑空间的可度量化准则。而具有展开列的空间叫做可展空间，正则的可展空间叫做穆尔空间（Moore Space）。这一系列的概念和理论为后人的研究搭建了重要的基石，甚至现在仍然有人在研究穆尔空间的问题，穆尔空间是否可度量化的争议现在仍未完全得到解决。

穆尔1932年在美国数学会出版了《点集基础理论》（Foundations of point set theory），这本书是学术讨论会系列出版物的第13卷，在1962年得到修订，也是他公理化思想的一个重要体现。这本书以1929年他在科罗拉做的演讲为基础，构造了一个以点和区域为基本术语的基本公理系统。这部书和之前出版的《平面位置分析的基础》有着千丝万缕的联系，但是他并没有直接使用原来的公理，而是提出了新的公理。在这个公理的基础上，第一章就证明了183个定理，为他自己和他人后续的研究提供了一个重要的参考。

除拓扑学和几何学外，穆尔在其他学科也取得了不错的成绩，如分析、曲线理论等[9]。这里不过多叙述。

穆尔培养了许多学生，他和他的追随者被称为穆尔学派，由于他的绝大多数博士生是在得州大学培养的，所以也将穆尔学派叫作得州拓扑学派。得州拓扑学派群星璀璨，其骨干成员包括著名数学家怀尔德、克莱因、宾（R. H. Bing）等，和莱弗谢茨（S. Lefschetz）的普林斯顿拓扑学派、亚历山德罗夫的莫斯科拓扑学派等形成百家争鸣之势，是那时候研究拓扑学的中坚力量。

怀尔德是穆尔最得意的弟子。穆尔曾经说：“在得州大学我所有获得博士学位的学生中，怀尔德博士是最出色的一个。”[10]怀尔德的本科和硕士均就读于布朗大学，并且在1921年获得了保险精算的硕士学位。随后，他来到了以保险精算著称的得州大学奥斯汀分校准备继续深造，但是却被纯数学深深吸引。怀尔德报名参加了穆尔的“位置分析”讨论班，但却受到穆尔的无视。穆尔认为，怀尔德是一个保险精算硕士，这样的人是不可能在拓扑学上有所建树的——的确，怀尔德参加所谓“纯数学”的讨论班几乎不可能对自己的保险精算事业有意义。但是后来怀尔德解决了一个克莱因正在证明的问题，终于吸引了穆尔的注意。穆尔邀请怀尔德将这个定理写成博士论文，至此，怀尔德彻底放弃了保险精算事业，改行研究拓扑学。在他的100多篇论文中，拓扑学方面占据半数以上。

穆尔沉迷于点集拓扑学的研究，却对代数拓扑学视而不见。和穆尔不同的是，怀尔德在1930年代发现了代数拓扑学的意义，并将自己的学生斯廷罗德（N. E. Steenrod）推荐给普林斯顿学派的莱弗谢茨学习代数拓扑。怀尔德同样也是一位杰出的教育工作者，他培养了26个博士，且共有传人368名，较为知名的有雷蒙德、斯廷罗德等人，而斯廷罗德的本科训练也是在怀尔德的指导下完成的。他开创了密歇根拓扑学派，在美国影响力极大。他始终坚持公理化思想，并主张中小学和本科的教学中要渗透公理化的思想。同时，他还是当代数学文化研究的先驱者之一，主张从人文的角度去解释数学这门学科。他先后出版了《数学基础简介》（1952年）、《数学概念的进化：一个初步的研究》（1968年）、《数学作为一种文化体系》（1981年）等书，坚信数学这门学科是人类文化的重要组成部分，应该将数学作为文化研究的一部分去做数学的研究工作。

在怀尔德前，穆尔在宾夕法尼亚大学还培养了三位博士生，分别是克莱因、哈利特（G. H. Hallett）和穆利金（A. Mulliin）。这三位之中，哈利特和穆利金二人目前可查的数学成果只有他们的学位论文。哈利特后来转行做政治学，穆利金一直在中学任教。而克莱因在博士毕业之后，便留在了宾夕法尼亚大学任教，从事研究工作。他在数学上取得了相当不俗的成绩，穆尔唯一的一篇与他人共同署名的论文就是同克莱因合作的。克莱因和老师穆尔保持着良好的友谊，他们会彼此推荐资质较好的学生，并且直到1955年克莱因去世，他们都有书信往来。

1965年，美国数学协会制作了一部名为《课堂上的挑战：穆尔方法》的纪录片。穆尔借影片的旁白之口表示，比起引导式的学习，他更愿意自己探索真理。他将这种观点始终贯彻在自己的科研和教学之中。他喜欢凭借自己的努力攻克难题，也希望学生这样做。正是因为有这样纯粹的探索精神，他在自己的领域取得了令人称奇的成绩。可以说穆尔是硕果累累的研究型科学家之一，在纯数学上的成就尤为耀眼，他是20世纪初拓扑学承前启后的人物，也是点集拓扑学发展过程中的一个关键的节点式人物。

[本文获国家自然科学基金数学天元基金项目（1212 6411）资助。]

[1]Armentrout S， Moore R L.[EB/OL]， https：//celebratio.org/Moore_ RL/article/104/， December 2011.

[2]Wilder R L. Robert Lee Moore， 1882–1974. Bull Am Math Soc， 1976， 82（3）： 417–427.

[3]Moore R L. Sets of metrical hypotheses for geometry. Am Math Soc， 1908， 9（4）.

[4]Raymond F. Raymond Louis Wilder 1896—1982. In： National Academy of Sciences Biographical Memoirs， Volume 82. Washington D C： The National Academy Press， 2002.

[5]刘鹏飞， 徐乃楠， 王涛. 怀尔德的数学文化研究.北京： 清华大学出版社， 2021.

[6]Burton Jones F. The Moore method. Amer Math Monthly 1977， 84（4）： 273–278.

[7]王昌. 點集拓扑学的创立. 西北大学博士论文， 2012.

[8]Moore R L. On the foundations of plane analysis situs. Transactions of the American Mathematical Society， 1916.17（2）： 131-164.

[9]Wilder R L. The mathematical work of R.L.Moore： Its background， nature and influence. Arch Hist Exact Sci， 1982， 1（26）： 73–97.

[10]Whyburn L. R. L. Moores First Doctoral Student At Texax. In： Millett K C. Algebraic and Geometric Topology： Proceedings of a Symposium held at Santa Barbara in honor of Raymond L. Wilder， July 25-29， 1977. Berlin， Heidelberg： Springer-Verlag， 1978： 33.

关键词：得州拓扑学派 穆尔教学法 ■