基于“三个理解”的教学活动实践与思考

侯卫东

摘要：本文以“完全平方公式”教学为例，从理解数学、理解学生、理解教学的角度，分别对教学内容、学情、教学活动设计进行分析，立足于数学思想与方法，落实数学核心素养培养，创建师生互动、双向反馈调控、充满生机的教学课堂。

关键词：“三个理解”教学实践教学思考完全平方公式

章建跃教授提出“三个理解”理论，即理解数学、理解教学、理解学生。对“三个理解”的把握与落实在一定程度上体现了教师的专业素质和教学能力。下面笔者以沪科版教材七年级下册第八章第三节第二课时“完全平方公式”的教学活动与反馈为例，谈谈个人基于“三个理解”的实践与思考。

一、基于理解数学的教学内容分析

理解数学就是深入研究“教什么”和“学什么”，理解数学教学内容在整个数学知识体系中的地位与作用，研究教学内容所涉及的数学知识背景，所蕴含的数学思想及方法，以及数学核心素养的落实，实现“启发学者，示以思维之道”的教学。

针对“完全平方公式”的教学，教材设置了从多项式的乘法（数）和图形面积割补（形）两个角度得到完全平方公式，再通过例、习题教学让学生理解和掌握公式，从而实现教学目标。

基于教学内容的地位和作用，本课时内容是在学生学习了有理数、整式的相关知识的基础上进行的，既是前面所学知识的应用和发展，又是对它们的巩固和提高。同时，本课时内容是后续学习因式分解、分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，在现实生活中也有广泛的应用。

基于数学知识发生的背景，教材内容是在上一节整式的乘法的基础上进行的进一步提炼，通过观察与归纳，从而得出完全平方公式并加以证明。因此，本节课的教学重点是完全平方公式的推导和应用。

基于理解教学内容所蕴含的数学思想和方法，本节课从多项式的乘法和图形面积割补两个角度得到完全平方公式，让学生体会数形结合思想。同时，类比完全平方公式的两种形式，渗透转化与化归思想。

基于理解教学内容需要落实的数学核心素养，完全平方公式的教学通过面积的割补验证公式，落实直观想象素养的培养；通过探究活动，使学生经历知识的发生、发展和理解的过程，落实数学抽象素养、逻辑推理素养的培养；通过运用公式解决例题和习题，落实数学运算素养的培养。

二、基于理解学生的学情分析

学生发展是教学活动的出发点和归宿。理解学生的重点就是理解学生的认知基础和学习方法，通过学情分析预设学生可能存在的学习困难，由此思考并设计能够调动学生原有知识基础和学习经验的问题，设置能够降低学习难度的活动，思考学生获得和理解新知识的合理方式，从而为设计教学提供理论支持。

本节课之前，学生经历了数与式的承接，初步实现了代数的转变，完成了有理数的概念和运算、代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法、平方差公式等知识学习，能够运用整式相关法则进行计算，并能通过合并同类项进行化简。同时在学习多项式乘法和平方差公式的过程中体验了如何用图形的面积关系来说明多项式乘法的法则，有了初步的数形结合意识，具备了学习的知识性基础。就学生而言，前面的学习内容需要进一步强化和巩固，发挥这些知识的作用，激发继续学习的兴趣，同时思维的发展需要建立新的认知结构，具备学习的心理性基础。在前面的学习活动中，学生已经具备了一定的分析问题和解决问题的能力，正在由形象思维向抽象思维过渡，具备了学习的思维性基础。

当然，也存在一些不利因素，如学生的逻辑思维较差，对数学的认识还不够深刻。由于公式中的字母a，b本身具有广泛性，尤其是字母a，b是带有数字系数的单项式时，学生容易忘记将数字系数平方，或者做计算时中间项漏乘2倍。因此，本节课的教学难点是完全平方公式的推导和把握结构特征。

鉴于以上分析，确定本节课的教学目标：知道完全平方公式与多项式乘法之间的关系，理解、掌握完全平方公式，会用完全平方公式解决简单问题；经历完全平方公式的探究过程，体验科学思维过程与方法，体会数形结合、转化及化归数学思想；通过数学实验活动，学会合作，养成正确的学习态度和自信严谨的个性品质。

三、基于理解教学的活动分析

理解教学就是对教学活动中教与学的主导与主體地位有准确定位，根据教学内容分析和学情分析设置有效活动，引导学生经历知识的发生、发展和应用过程。因此，理解教学的落脚点需从“学什么”转变为“怎么学”，即需要教师设计有效活动、提出有效问题，启发学生积极思考。

针对教学目标与内容，笔者设置了以下教学活动。

活动1课前预热，提出问题

计算：

①102×98；②699×701；③203 2

教师：上述第①②两题运用平方差公式很快就可以解决，但是第③题有没有类似的公式来解决呢？

设计意图：前两个小题可以运用学过的平方差公式解决，第③题没有现成的公式可以运用，通过设置问题障碍，使学生产生困惑，引起内心冲突，激发学生产生求知需求，并有具体的思维指向。

课堂反馈：学生能很熟练地利用平方差公式解决第①②两题，但在解决第③题时遇到了困难，甚至直接化成203×203来计算。此时，教师应适当追问，引导学生积极思考，猜想存在的可能性，引出课题。

活动2创设情景，引出新知

问题1在中国古代有一位父亲攒了一笔钱，想把原来的土地扩大，已知原有的土地是边长为a的正方形，现在想把土地的边长扩大b，且扩大后的土地仍然为正方形，那么现在的土地面积是多少？这个问题他难以解决，请你试一试。

师生活动：教师收集学生的方法，现场展示评价。

方法1大正方形面积=（a+b） 2

方法2大正方形面积=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

设计意图：把教材内容进行改编，赋予其实际背景，学生容易理解，也能自然引出要学习的新知识。通过问题，让学生转变角色，主动学习，同时借助于面积计算，使学生直观理解公式，体会数形结合的思想。

课堂反馈：学生画图思考，寻找解决方案，理解从面积角度探索完全平方公式，为后续学习提供知识基础和活动经验。

活动3启发引导，探究新知

问题2同学们的结果基本有两种：①（a+b）2；②a2+2ab+b2。

因此，得到（a+b）2=a2+2ab+b2。

请从多项式的角度说明等式成立。

设计意图：两种方法表示同一个正方形的面积，从而得到等式，但是这仅仅是猜想验证，要使结论上升为公式还需要经过严谨的证明。从代数运算的角度用多项式的运算法则证明等式的正确性，使学生坚定信心，同时培养了学生的推理能力和证明意识。

课堂反馈：学生很容易得到等式，能理解大正方形的两种表示方法。但是，很多学生缺乏证明意识。因此，教师要适当追问，让学生认识到证明的必要性，养成良好的思维习惯。

问题3请同学们利用（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2的结果，并类比上一个问题，用求面积的方式验证等式成立。

师生活动：学生思考，口述答案，教师展示结果（如图2）。

方法1大正方形面积=a2

方法2大正方形面积=（a-b）2+b（a-b）+b（a-b）+b2=（a-b）2+2ab-b2

因此，a2=（a-b）2+2ab-b2

所以，（a-b）2=a2-2ab+b2

设计意图：通过应用（a+b）2=a2+2ab+b2计算（a-b）2，进一步加强代数变形能力，体会知识的内在联系，培养学生转化与化归的意识。用求面积的方法验证，继续渗透学生数形结合意识。

课堂反馈：部分学生不会把（a-b）2转化成［a+（-b）］2，教师应适当提示。同时（a-b）2的面积验证难度也大于（a+b）2的面积验证难度，教师可以设置问题梯度，引导学生合作与讨论。

问题4请同学们用语言叙述这两个等式。

设计意图：鼓励学生用语言描述结论，善于博采众长，形成自己的看法，有助于学生从整体上把握公式。

课堂反馈：对学生而言，用文字语言表达代数式或公式存在一定的困难，不少学生不善于用和、差、积、商表示数量与运算关系，喜欢用加、减、乘、除表达，教师要强调规范表达方式，达成统一。

活动4明确结论，强化认识

完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2①

（a-b）2=a2-2ab+b2②

请用语言叙述公式。

两点注意：a，b的广泛性；结构特征。

设计意图：从提出问题到得出公式，学生经历科学的思维过程，感受正确的数学思维方法，从多角度理解和掌握公式，进一步熟悉了数学语言。

课堂反馈：教师给出公式，让学生观察、记忆、理解，注意系数特征，可以让学生默写公式，强化记忆，为下面的学习打好基础。

活动5例题学习，知识重构

例1计算：①（4m+n）2=；②（3a-2b）2=；③（4x-5y）2=

师生活动：

解：①（3m+n）2=（3m）2+2·（3m）·n+n2=9m2+6mn+n2

（a+b）2=a2+2·a·b+b2

学生回答，教师示范完成②③题。

设计意图：让学生及时应用新知识解决问题，体会学习新知识的必要性。学生在教师引导下及时交流，共同完成完全平方公式变式基础上的重构。

课堂反馈：学生基本上能运用公式解决问题，但对于系数不是1的单项式容易出现错误，容易忘记将数字系数平方，或者计算时中间项漏乘2倍。对此教师必须要关注过程，强调关键点，引导学生养成好的书写和运算习惯。

活动6变式训练，知识强化

课堂练习：

（1）判断正误

①（a+b）2=a2+b2；②（a-b）2=a2-b2；③（a-b）2=a2-2ab-b2

（2）计算：①（3x-2y）2=；②2x+12y2=；③（-a-b）2=；④（n+1）2-n2=

（3）计算：2032=

设计意图：练习（1）（2）的设置既是公式应用的延伸，又试图让学生产生质疑，培养学生的批判性思维。练习（3）的设置是为了解决课前提出的问题③，进一步强化教学目标。

课堂反馈：练习（1）学生的做题准确率较高，学生对公式的记忆情况较好，练习（2）的第①②题反馈情况较好，但第③题很多学生遇到麻烦，教师可以提示学生将其转化为（a+b）2来计算，第④题学生运用了完全平方公式和平方差公式两种方法，都应该肯定。练习（3）可以比较直接计算与运用公式计算两种方法的优劣，让学生树立最简原则，提高运算品质素养。

活动7反馈小结，回授调整

师生活动：谈谈本节课的收获。

（1）知識小结（如图3）

（2）数学思想方法小结：数形结合、转化与化归

设计意图：小结不能仅仅停留在知识性内容，还应关注数学思想方法的小结，有助于在形成新的认知结构的基础上，更深刻地理解数学的本质，落实核心素养的培养。

课堂反馈：知识性小结学生能顺利完成，但数学思想方法小结对学生来说存在困难，教师可以适当点拨，师生共同完成。

活动8知识拓展，思维提升

问题5（1）（a+b+c）2=

（2）（a+b）3=

你能设计一个几何图形解释它们吗？

设计意图：让学生体会线段、面积、体积分别对应的代数式的意义，升华主题，培养学生的创造意识。

四、几点思考

（一）从教师和学生两个角度进行备课

数学教育的价值是促进学生思维向高水平、高层次、高质量方向发展。数学教学要基于对教学内容、学生学情、教学活动的理解，从教师角度思考“教什么”“怎么教”“为什么这么教”，从学生角度思考“学什么”“学过什么”“怎么学”，从而设计出适合学生发展的学习情境，实现教学目标，提高课堂教学效益。

（二）充分挖掘教材价值，实施单元整体教学

教师应该认真研读课程标准，深入研读教材，揣摩教材的编写意图，体会教材如何承载课程目标。不仅要关注数学知识本身，而且要思考知识背后蕴含的数学本质，包括数学知识的内在联系、数学规律的形成过程，知识背后的数学本质、数学逻辑和生成途径。教师要结合教材内容，从生活实例和学生已有的知识经验出发，就地取材，把抽象的学习内容和待解决的问题形象化、具体化、逻辑化，助力学生形成知识整体结构中的生长中心，设计“生长式”教学情境。同时，教师要准确把握知识之间的内在联系，实施单元整体教学。相对于碎片教学，单元整体教学最大的特点在于其整体性，教师在单元教学的过程中，关注的不能是某一个知识点或某一节的内容，设计教学要基于理解数学教学内容的要求，立足整个单元的角度对教材进行全方位的解读，从数学知识的生成角度思考学生获得数学知识的路径和方法，使学生完成对整个知识体系所涉及的数学概念的把握。

（三）关注学生在学习过程中的体验

建构主义认为，学生在学习数学的过程中必须通过自身的体验，才能掌握到发现和解决問题的方法。因此，教师在教学活动中设置学生熟悉的问题情境，有明确的思维指向，容易找到学生思维的“最近发现区”，通过问题设计，形成思维梯度，有利于分解教学难点，突破教学难点，完成教学目标。教学活动要引导学生善于归纳、大胆猜想和验证，让学生经历科学的思维活动过程，形成科学的思维品质，培养良好的思维素质。同时，教师要为学生提供一定的思维空间，引导学生善于从多角度思考，学会自己提出问题、分析问题、解决问题。

（四）在数学活动中核心素养的渗透落实

数学素养养成是数学教学的终极目标。教师一要精心规划教学环节，创设有效教学情境，使学生成为学习主体；二要突出数学思想与方法，鼓励创造性教学，渗透数学文化，使学生感受到数学的应用价值；三要改变学习方式，加强学生合作学习，培育学生数学意识，多维度渗透核心素养培养，提高学生思维水平。理解数学教学内容的实质就是深刻理解教学内容中所涉及的学科核心素养，教学时使数学活动和素养落实互相融合、互相促进。

参考文献：

[1]章建跃.章建跃数学教育随想录（上卷）[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

[2]张惠英.初中几何入门教学的建议与思考——以“三角形的内角和为180°”一课为例[J].中国数学教育（初中版），2020（7/8）：2324.

[3]夏文涛.数式同构类比生长——“从分数到分式”的教学与反思[J].中学数学教学参考（中旬），2021（17）：2023.

责任编辑：赵潇晗