在培养核心素养的过程中实现立德树人

“立德树人，为国育人，提高教育质量，提升学生素养”专题文章之五

【摘要】党的二十大报告中指出育人的根本在于立德，《义务教育数学课程标准（2022年版）》也强调“立德树人”的问题.数学教育承载着落实立德树人、实施素质教育的重任.数学教学应把培养学生具有良好的思想品质放在首位，在培养学生核心素养的过程中，逐步提升学生的思想道德水平.“函数”是“数与代数”领域的重要内容，在函数概念的建立、函数性质的探究以及建立函数模型解决问题的过程中，既可以培养学生的核心素养，又能形成学生良好的数学品质.

【关键词】立德树人;数学品质;核心素养;函数主题

党的二十大报告中指出，教育是国之大计、党之大计.培养什么人、怎样培养人、为谁培养人是教育的根本问题.育人的根本在于立德.全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.初中数学课程一直把“德育”作为课程教学的首要目标（以前的教学大纲现在的课程标准都是这样要求的）.本文以“数与代数”领域的“函数主题”为例，谈谈如何在培养学生“核心素养”的同时，对学生进行德育教育的问题.

1初中数学教学要把德育教育放在首位

我们国家历来就十分重视德育教育，数学大纲或课程标准关于数学课程目标的要求中，都含有对学生进行德育教育的要求，例如：

1951年3月教育部召开了第一次全国中学教育工作会议，会议讨论通过了《中学数学科课程的标准草案》.此草案把教学目标分为“形数知识”“科学习惯”“辩证思维”和“应用技能”四个部分，并指出“数学是学习科学的基本工具，锻炼思维的体操”.

1952年12月教育部颁布了新中国第一个《中学数学大纲（草案）》，草案中除了强调知识外，还要求“在数学课中贯彻新民主主义教育”.新民主主义教育是伴随着新民主主义革命形势的发展而发展起来的，在“新民主主义教育”中就含有“德育”教育的成分.

2000年3月出版的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（使用修订版）》在“教学目的”中要求“培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义观点”.这里的“个性品质”“辩证唯物主义观点”就属于德育的范畴.

2001年7月出版的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在“总体目标”中提出了“知识与技能”“数学思考”“问题解决”“情感与态度”的目标要求，并且针对“情感与态度”的目标，给出了4条具体的阐述.

2012年3月出版的《义务教育数学课程标准（2011年版）》对于课程“总目标”提出了三条要求，其中第（3）条是“了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度”[1].针对“总目标”，该标准又从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面进行了具体阐述，对于培养学生的“情感态度”目标提出了5条具体要求，这里的“情感态度”目标就是德育在数学中的具体体现.

当时，在数学教学中有一个口号，即“数学教学必须整体实现课程目标”[2].把知识目标作为“显性目标”，把德育目标作为“隐性目标”，在数学教学中既要落实“显性目标”，也要落实好“隐性目标”，从而整体实现“课程目标”.

2022年5月出版的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）的“课程目标”是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）.学生能：

（1）获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.

（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题.

（3）对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神[3].

这里的第（3）条就是“德育”目标，在要求上比前版本的第（3）条更加具体明确.教育的主体是“学生”，各科教师分别用不同的“学科”作为载体，共同作用于“学生”.德育教育是“群体”教育，不是某一学科能单独完成的.

例如，张三是数学教师，我们不能说张三是“教”数学的，应该说他是用“数学”教育學生的.同理，物理老师是用“物理”教育学生的，语文老师是用“语文”教育学生的，……这样各科老师都把各自的学科教学“聚焦”于学生，如此培养出来的学生就是有“德”之才.

进一步分析《课标（2022年版）》的目标（3）可以发现德育的“成分”很广，在四个领域的课程内容中，都可以对学生进行德育教育.例如，在学习“函数”主题的课程内容中，能让学生意识到事物是相互联系的，如给汽车加油时，油费随加油数量的增加而增加（单价不变）；一天中，气温随时间的变化而变化等等，又能通过这些实例的理解进一步体会两个变量之间的变化关系和依赖关系，感受数学与生活的密切联系，激发学生的好奇心和求知欲；学生在根据函数表达式经历“画出图象—观察图象—归纳性质”的同时能进一步感悟到“数形结合”的思想方法，理解数学的本质，体会到数学美；在应用函数知识解决问题时，通过对一些典型实际问题背景（如国家跳水队、铅球比赛、羽毛球比赛等为背景的题目以及解决赵州桥、港珠澳大桥、火箭发射等传统文化或现代科技为背景的题目）的介绍和问题解决过程中可自然地培养学生的爱国情感，对学生进行人格教育，帮助学生进一步体验“数学即生活”的深刻含义；在探究知识以及利用知识解决问题的过程中，可培养学生独立思考、勇于探索及合作交流的精神与能力，这些都是重要的德育因素，对于学生的健康发展至关重要.

2德育教育伴随在核心素养的形成过程之中

《课标（2022年版）》中的课程目标和课程内容是通过数学教学实现的，《课标（2022年版）》在课标“总目标”中提出了以“三会”为统领的义务教育阶段的核心素养体系.对应的解读认为，实现课程目标体系是一个以“三会”为中心的多层次目标体系，这个目标体系的不同层次之间以递进的方式联结.基于核心素养的初中数学课程目标体系的层次、结构以及相互关系如图1所示.

“三会”处于目标体系的核心位置，即核心素养是所有具体目标的总目标.初中核心素养的9种主要表现是为达成“三会”而设置的中间目标.“四基”“四能”是达成核心素养目标主要表现的支撑目标.以“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”为支撑的教学实施路径，通过指向核心素养的主要表现，达成培育核心素养的目的[4].

知识与技能蕴含在情境中，学生在真实的情境中挖掘、提炼和发现知识，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，在获取知识、形成技能的过程中，积累思考和体验[4]276.随着学习的深入，一旦这些思考和体验再一次出现时，就会逐渐上升到思想和经验.数学的基本思想和基本活动经验与目标体系中的核心素养的主要表现融为一体，便指向了达成“三会”的教学目标.

《课标（2022年版）》指出，“四基”“四能”是发展学生核心素养的有效载体，核心素养对“四基”“四能”教学目标提出了更高要求.“核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的.”[3]2这里的学习主要指对“课程内容”的学习.下面结合“函数主题”的教学，谈谈如何在“函数”知识的学习过程中培育和提升学生的核心素养.

对于函数，初中阶段主要学习一次函数（正比例函数）、二次函数和反比例函数，学习这几种函数都是按照下面的过程进行的[5]：

（1）从实际问题情境中抽象得到函数的模型；

（2）给出函数的描述性定义；

（3）利用列表、描点、连线这些步骤画出函数的图象；

（4）借助于图象研究函数的性质；

（5）应用函数的有关知识解决问题.

我们可以用下面的图2表示这个学习“程序”：

《课标（2022年版）》关于“课程性质”的第一句话是“数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系”[3]1.从图2所示的“程序”可以看出，（1）函数学习起始于“实际问题”，最后又落脚于解决“实际问题”，这不仅验证了第一句话的“真实可靠性”，而且说明“数学的应用已渗透到现代社会的各个方面”；（2）学习函数的过程有“概念—性质—应用”三个核心环节.

基于函数主题培养学生核心素养的主要途徑有三：

2.1重视函数概念的教学

数学概念是构成数学教材的基本结构单位，正是因为这些数学概念的存在，才形成了数学教材的知识结构.“函数主题”是“数与代数”领域的三个主题之一，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，是中学数学的核心内容.主要概念有函数、一次函数（正比例函数）、二次函数和反比例函数.

案例1一次函数概念的建立过程.

数学概念的建立是一个过程，为了让学生经历一次函数的建立过程，我们根据《课标（2022年版）》提出的“素材的选取应尽可能地贴近学生的现实，以利于学生经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程，发展抽象能力、推理能力等”[3]94要求，设计了下面的实验情境.

【实验探究】

为了测定一根弹簧的长度与所挂重物间的函数关系，小泽林设计了图3所示的一个装置：

（1）把弹簧的上端固定在铁架的横臂上，把一个刻度尺垂直树立在铁架台上面，并且量出弹簧下面不挂任何重物时的长度S0.

（2）在弹簧的下端挂上一个钩码，在钩码静止不动后，量出弹簧的长度S1.之后，依次在弹簧下端挂2个、3个、…、10个钩码，同时测量出弹簧的长度S2，S3，…，S10，把所得到的数据填写在下面的表格中：

【思考解答】

（1）如果设悬挂的钩码数量为n，弹簧长度用S表示，在弹簧的弹性限度内，随着n的逐渐增加，S将会怎么变化？

（2）钩码n每增加1个时，弹簧的长度S伸长了多少？

（3）你能直接写出弹簧长度S与钩码个数n之间的函数关系式吗？

【抽象概括】

你得到的函数与前面学习的函数y=x+1，y=-12x，y=3x有哪些共同特征？

设计意图数学在本质上是玩概念的，不是玩技巧的[6]，“玩”是在“过程”中进行的，没有“过程”就不能建立数学概念，引导学生经历一次函数的建立“过程”，教师必须给学生提供相应的素材.为此，本案例设计了上面的问题情境，情境分为“实验探究”“思考解答”“抽象概括”三个环节.

在“实验探究”环节，学生将根据“钩码的个数”测量出相应“弹簧的长度”，得到下表中第二行的数据：

对于“思考解答”中的三个问题，学生根据表中的数据能得到下面的答案：

（1）在弹簧的弹性限度内，当n逐渐增加时，S逐渐变大.

（2）每增加1个钩码，弹簧的长度S都会增加5mm.

（3）弹簧的长度S与钩码的个数n之间函数的表达式是S=120+5n.

在“抽象概括”环节，学生在观察四个函数表达式（S=120+5n，y=x+1，y=-12x，y=3x）特点的基础上，通过比较、抽象、概括等一系列的思维活动，抽象出事物的本质属性“表达式都是自变量的一次式，都可以写成y=kx+b的形式”.有了这样的认识，给出一次函数的概念就水到渠成了.

本案例通过实验操作引出了一次函数概念，完成了建立一次函数概念的任务.从德育方面看，有助于引发学生对数学的好奇心和求知欲，测量过程有助于培养学生仔细操作、认真观察的良好学习习惯.从核心素养角度看，学生的数感、符号意识、概括表达能力、模型观念等核心素养都将得到培养和发展，也有助于学生逐步形成应用意识.

初中数学教材中大约有400个数学概念[7]，对于每一个概念，我们都要精心设计问题情境，引导学生经历“实际问题—感性认识—理性认识”的认识过程.在经历这一系列的过程后，学生不仅能掌握数学概念，还能感受、领悟到隐含于概念形成过程中的数学思想和方法，体会到数学的本质，更重要的是培养了学生的数学抽象能力，提高了学生的数学核心素养.

2.2引导学生探索函数的性质

在引出函数概念后，就要探究函数的性质，这是学生必须掌握的“课程内容”，探究性质的过程有利于培养学生的数学核心素养，也有助于对学生进行德育教育.

案例2探究反比例函数的性质.

画出反比例函数y=8x的图象.

【尝试画图】

（1）列表：在x≠0的范围内，选定x的下列值，计算出对应的y值，完成下面的表格.

（2）描点：如图4所示.

（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到反比例函数y=8x的图象（图5）.

【类比应用】

你能用上面的方法画出反比例函数y=-8x的图象吗？试一试（图6）．

【概括归纳】

（1）观察图5和图6，你发现反比例函数y=8x与y=-8x的图象形状、位置有哪些共同特征和不同点？

（2）你能说出反比例函数y=kx（k≠0）及其图象的性质.

设计意图在学生探究一次函数的性质时，已经积累了描点法画图的经验，本案例分为“尝试画图”“类比应用”“概括归纳”三个环节.对于“尝试画图”中的“列表—描点—连线”问题，所有学生都能自主完成.由于反比例函数的图象不是直线，而且在x=0处是间断的，所以在某种程度上，这里的描点法画图的步骤更具有一般性和代表性.“类比应用”的目的是让学生利用画反比例函数y=8x图象的方法，画出反比例函数y=-8x的图象.“概括归纳”的目的是让学生在观察比例函数y=8x和y=-8x的图象的基础上，归纳概括出反比例函数y=kx性质（如果认为仅仅让学生观察两个图象还不足以概括出性质的话，可以再让学生画出y=6x和y=-6x的图象）.

反比例函数的图象是关于坐标原点对称的，这一特性有助于学生感悟数学之美，提高学习数学的兴趣，形成勇于探索的科学精神.从核心素养角度看，本案例有助于学生进一步感悟到数形结合，提高了学生的运算能力、观察能力，培养了学生“发现问题—提出问题”的能力，也有助于几何直观和应用意识的形成与发展.

2.3注重函数知识的应用

《课标（2022年版）》指出“数学的应用渗透到现代社会的各个方面，直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展”[3]1.数学几乎渗透到了每一个科学领域及人们生活的方方面面，得到了空前的应用.数学教育應通过数学知识的传授，让学生形成在这个信息世界里生存的本领.

生产生活中的很多问题，都可以通过建立函数模型，利用函数的知识加以解决，在这个过程中，可以培养学生的模型思想，初步形成模型观念，提高学生分析问题和解决问题的能力，不断增强学生的应用意识.

案例3工人师傅的头顶是否会触碰到桥拱？

某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=12m，桥拱顶点B到水面的距离是5m．

（1）建立如图7所示的平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）当宽为1.2m的打捞船驶到桥拱下方且船的左边沿距O点0.6m时，有一名身高1.78m的工人站立在打捞船的正中间，清理河中的垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱？为什么？（假设船底与水面齐平）

析解（1）由题意得点O（0，0），A（12，0），顶点B（6，5）．观察发现抛物线以x=6为对称轴，所以可设二次函数的表达式为y=a（x-6）2+5，将点O（0，0）代入函数表达式，解得a=-536，所以二次函数的表达式为y=-536（x﹣6）2+5，即y=-536x2+53x，其中0≤x≤12．

（2）因为小船距O点0.6m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，所以工人距O点距离为0.6+12×1.2=1.2（m）.将x=1.2代入y=-536x2+53x，解得y=1.8（m）．

因为1.8m＞1.78m，所以此时工人不会碰到头．

设计意图本题是在学生学习了二次函数的性质后，为了考察学生利用二次函数性质解决问题的能力而设计的.题目以工人在“桥拱截面的河中清理垃圾”为背景，设计了两个小题.对于第（1）个问题，学生通过观察图7可以得到O，A，B三点的坐标，并且发现对称轴为x=6，由此设二次函数的表达式为y=a（x-6）2+5，并将O点坐标代入即可求出a的值.解决第（2）的关键是确定出x=1.2.

本题主要考查了学生对二次函数性质的理解和运用情况，解题的前提是观察图形，获取有关的信息，熟练运用待定系数法，灵活利用二次函数的性质.在解答本题的过程中，学生对图8所示的数学建模过程有了更深刻的理解，进一步促进了模型观念的养成.

除此之外，还可以培养学生运算能力、空间观念、应用意识等核心素养，不断提高学生解决问题的能力.从德育教育来看，解答本题使学生加深了对“数学服务于生活”的认识，进一步了解数学的价值并感受到数学美的真谛，激发学生对数学的好奇心和求知欲，这些数学品质对于进一步学习数学以及学生的健康成长都具有积极的意义.

3教学启示

“立德树人”是一项系统工程，这项工程体现在教学、科研、管理、服务和实践等诸多活动中.学校应建立思想道德教育、科学知识教育、创新创业教育、实践能力教育、综合素质教育相结合的立德树人体系.

在数学教学中，德育教育与核心素养教育是紧密联系在一起的，二者是“相互相成”的.教师一定不能将其分开，更不会有这样的数学课出现：这节课是专门培养德育的课，这节课是纯粹进行核心素养教育的课.

德育教育与核心素养教育都是在“过程”中进行的，在引导学生掌握“四基”形成“四能”的过程中，自然形成了良好的数学品质，这些数学品質就是“立德”的具体表现；反之，学生在数学学习过程中，一旦能感知数学美，知道了数学的价值，就会对数学产生浓厚的学习兴趣，能大胆探索数学中存在的规律，提高学习数学的效率.

观察图1可以看出，培养学生“三会”是数学教育的终极目标，为了陪养学生的9条具体核心素养，应大力加强“四基”“四能”的教学.图1还告诉我们“四基”“四能”的形成离不开“情境”，数学教学应结合具体的课程内容，精心设计与之“相配”的问题情境.

注重数学应用教学，数学应用有两个阶段：一是由实际问题建立数学模型，形成数学问题（即实际问题数学化）.二是应用数学知识、数学方法和数学思想解决数学问题（即解数学应用题）.前一个阶段是学习新知识的过程，后一个阶段是利用数学知识解决问题的过程.

根据《课标（2022年版）》的要求，对于新知识的学习（如案例1，2），我们要向学生展现“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程；运用数学知识解决问题的过程（如案例3），应体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程.数学核心素养主要是在学生参与这两个活动的过程中形成与发展而来的，在这些过程中同时会实现培养学生良好数学品质的德育目标.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.3：8.

[2]李树臣.数学教学必须整体实现课程目标[J].当代教育科学，2013（22）：57-59.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.5：11.

[4]史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程课标（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022.8：276.

[5]李树臣，高耿海.整体把握函数内容，宏观设计教学策略——以青岛版《义务教育教科书·数学》对“函数”的设计为例[J].中学数学，2014（08）：29-33.

[6]李邦河.数的概念的发展[J].数学通报，2009（08）：1-3，9.

[7]薛茂芳.数学概念及其教学（修订版）[M].北京：光明日报出版社，2013.11：21.

作者简介李树臣（1962—），男，山东沂南人，中学正高级教师;全国义务教育初中数学教材（青岛版）核心作者，中国人民大学《复印报刊资料·初中数学教与学》编委，湖北大学《中学数学》特约编委，《山东教育》特约记者.