循序渐进重探究 巧用变式促提升

张诗逸

一、教学内容分析

比例线段作为沪教版九年级第一册“相似三角形”章节中的重要知识点，不仅是探究相似三角形基本理论及应用的出发点，更是中考综合题的高频考点。本课为初三专题复习课，比例线段特别是平行线分线段成比例定理在知识内容上困难不大。通过习题练习，学生对解决含有平行线的图形中比例线段问题具有一定的熟练度。然而，比例线段并不作为单一考点出现，常常与函数或几何图形相结合，许多学生感到很难找到思路，无法做到融会贯通。本文的专题教学针对以上情况，由简单图形入手，与学生共同探索图形的本质结构，合理引入添加辅助线转化问题的思想。同时结合2020中考压轴题，并巧妙运用变式练习让学生在类比中得到启发，加深学生对比例线段的理解。

二、学情分析

本堂课在两个班进行授课，两个班的数学基础一般，解题时简单题目可以解决，但对大题有畏惧心理。《相似三角形》整章节内容已授课完毕，进入本章的复习阶段，“A”字型与“8”字型等基本图形在平时授课已提及，学生对此有一定认识和运用，然而当本章知识点与其他题目相融合，学生不易识别出基本图形，解题较无头绪。

三、教学目标

知识与技能：复习巩固平行线分线段成比例定理，并能熟练构造“A”字型和“8”字型基本图形处理比例线段问题，解决综合题中线段长度以及线段之比等计算。

过程与方法：学生经历解决几何或函数综合题中含有比例线段，总结辅助线常见添法的过程，培养与发展学生分析和解决问题能力，对比和概括的逻辑思维能力，体会类比、转化、方程、分类讨论等数学思想。

情感态度价值观：学生经历操作、观察、讨论等数学活动，进一步体会数学的价值以及解题过程中的思维方法，树立解决综合题的信心。

教学重难点：对几何图形或函数中给定的条件进行分析，添加辅助线求出比例线段相关问题。在知识的生成过程中达到培养学生观察、类比的能力，确定比例线段综合题的解决思路。

四、课程实录

本节课在两个班进行了教学，完成第一个班级试讲后，针对课堂实际出现的问题对教学设计进行了修改，之后在第二个班级完成了教学。现将两次授课中的一些片段重现，并对此进行反思和评析。

教法一：

（一）复习旧知，引入课题

1.平行线分线段成比例定理复习

师：课前练习1的图中DE∥BC，请列出图中所有的比例线段。

大部分学生都能回答全面。

师：大家观察一下这两个平行相似模型，根据图形特征我们可以称作什么型？

生：这两个常见的平行相似模型，我们可以根据图形特征称为“A”字型与“8”字型。

2.课前练习2

师：请大家看课前练习2，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为_____。

师：线段AF为线段AC上的一段，线段AC长度已知，若能求出线段AC上各线段之比，线段AF长度可求。运用什么方法可以将边AC各段之比表示出来？

生：利用平行相似模型求线段比值。（只有少数几个同学作答）

师：找一找图中有基本图形吗？

生：没有，需要自己构造。

师：我们如何添加辅助线构造基本图形呢？

生沉默了较长一段时间，考虑到时间关系，师只能先提出并演示图4这种方法。

师：除了老师的这种方法，你还有其他构造方法吗？

少數学生提出可以过点D往另一边作平行线，但基本没有学生想到过其他节点作平行线。老师粗略地提示了其他辅助线作法后，进入例题讲解。

（二）师生互动，讲解例题

1.例题1：在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D。

（1）求证：∠BAC=2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长。

老师分析：第（1）问考查圆与等腰三角形的基本性质，第（2）问需对等腰三角形情况进行分类讨论，前两问由学生独立完成，老师给出了解析并评价。前两问上学生所花时间比预期更长，格式也没有详细地书写与强调。

师：请大家先独立思考完成第（3）问，给大家5分钟的小组讨论时间，同组之间交流一下不同的解法。

学生进行讨论，巡视过程中发现大部分小组探讨并不激烈，没有思路的情况较多，需要老师点拨才能动起来。

师根据课堂情况再次提示：大家观察一下这一问的图形与课前练习2的图形有什么关联吗？

部分学生：这一问就是把课前练习的三角形放到了圆当中，图形是类似的。

师：讨论时间到，现在小组代表为我们解说一下辅助线及做法。

两个小组较为积极，汇报了多种情况。然而其余小组反应不积极，只是听同学汇报。

师：无论是哪种方法，根本出发点是什么？

生：添加平行线促成分线段成比例。

师：通常我们能构造什么基本图形？

生：通常是构造“A”与“8”字型。

2.例题2：矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，求MN的长.

师：要求MN的长度，我们可以首先通过求什么得到？

生：线段AF的长度容易求，只需要知道线段AF各段之比就可以了。

师：那么我们就把问题转化成比例线段问题了。图中的矩形有什么特征？

生：矩形的对边是互相平行的，可以构造平行相似模型求比例线段。

师：请同学们在学案上完成，一名同学展示结果。

师在巡视过程中发现大部分同学在辅助线添法上就被困住了，独立完成较为困难。大部分同学基本完成后，师挑选一名同学的结果进行多媒体展示。

师：例题2将例题1中的图形与矩形相结合了，你能说一说这种类型题的解题思路吗？

生：求线段比值或长度等比例线段问题，可以通过添加平行线构造基本图形。

巩固练习与课堂小结等环节略。

教法二：

（一）复习旧知，引入课题

1.平行线分线段成比例定理复习

此部分与教法一相同。

2.课前练习2：已知：点E在平行四边形ABCD的边BC的延长线上，AE交BD于点F，交DC于点G；求证：AF2=FE·FG。

3.课前练习3：已知：E是正方形ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于F，FG∥DC交EC于G；求证：FG= FB。

通过两道含有平行线的简单习题，大部分学生都能运用基本图形解决。

师：这两道习题中包含了什么基本图形？

生：课前练习2中包含了“8”字型，课前练习3中包含了“A”字型。

（二）例题精讲

1.例题1：△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F。

（1）求AF：FC的比值；（2）求AF的长度。

师：线段AD与BD上各段之比已知，如何将这些比例转化到线段AC上？

生：可以利用相似模型求出线段比值。

师：寻找一下图中有我们常见的相似基本图形吗？

生：没有，需要自己构造。

师：如何构造基本图形呢？想一想我们课前练习是如何完成的？

生：课前练习的图中都包含平行线，可以添加平行线构成相似基本图形。

师：我们过什么点作平行线比较合适？观察图中哪个点比较特殊？

生：点D是线段BC的中点，过这个点作平行线不会破坏比例关系。

师：根据同学们的想法，老师过点D作BF的平行线，接下去怎么完成？

绝大多数学生都有思路，请一名学生进行作答，并板书详细过程。

师：除了这种方法，还有其他辅助线作法吗？试一试过其他点作平行线可行吗？

学生根据提示发掘出多种辅助线作法，学生交流展示思考结果，鼓励一题多解。

2.例题2：（中考链接—2020中考卷25题）：在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D，当AD=2，CD=3时，求边BC的长。

师：观察例题2与例题1的图形和条件，可以通过什么方法求出线段长度？

生：例题2的图形，就是例题1的三角形放入了圆中。仍旧可以构造平行相似基本模型得到线段比值和长度。

师：请大家先独立思考，之后给大家3分钟时间小组讨论，交流不同的解法。

老师巡视完成情况，基本每名学生都能有2种及以上的方法，小组讨论过程中气氛比较热烈。讨论结束后，师代表汇报辅助线及做法，并给予肯定的评价。

师：大家的方法非常丰富，无论哪种方法，我们解决这类问题的根本出发点是什么？

生：添加平行线促成分线段成比例，且通常是构造“A”与“8”字型。

五、课程反思与评析

（一）教学反思

通过两堂课的对比，不难发现第一堂课是失败的，针对问题进行修改完善之后，第二堂课才达到了一定的效果。经过这两节课的教学，我对教学设计和课堂环节进行了如下反思。

首先，第一次试讲的课前引入环节，只是回顾了两个平行相似基本模型，就急于让学生直接进入添加辅助线的解题中，没有过渡习题，学生很难将基本图形与实际运用结合到一起，间接影响到后面的上课效果与进度。第二次授课我在课前引入中增加了两道相关习题，让学生逐渐进入状态，不再是突兀地引出輔助线作法。

第二，第一次试讲中的课前练习2这道习题放在引入环节中不合适，讲解得太过仓促并且不够细致，导致学生听得也稀里糊涂，无法感受这道题的意义所在。因此第二次授课时，我将此题放入到例题讲解中，引导学生充分剖析图形，为引出“2020上海中考压轴题”解法做铺垫。同时鼓励学生不拘泥于一种解法，从交流成果中体会“一题多解”的乐趣，激发学生学习的兴趣和欲望。相比第一次试讲，第二堂课在这道题上花了更多的时间，然而根据课堂效果来看，这道题的探索为后面的授课达到了事半功倍的效果。

第三，第二次授课时删除了中考链接题中的前两问，由于前两问与本堂课的重难点关联不大，因此主要将重心侧重于第三问的解答中。值得注意的是，通过例题1的分析，大部分学生能马上反应过来例题1与例题 2的关联性，教学过程比第一次试讲更加顺畅，课堂氛围更加热烈。

最后，第二堂课中增加了一道例题，且此题是中考链接题的变式练习，在进一步对比归纳，揭示解题思路的同时，还引导学生寻找做题过程中的问题，共同探索解题技巧，优化做题方法，提升数学核心素养。

（二）课程价值

1.思维引导

数学复习课是教学重要环节之一，如果只对单一习题进行讲解而不帮助学生建立知识之间的联系，达不到在复习中吃透知识点并举一反三的效果，学生在题海战术中的积极性无法被调动起来，甚至会对综合题产生畏怯心理。第二次授课的设计不急于直接引入中考压轴题，为了让学生更好地感知比例线段与其他知识点整合时的解题思路，由浅入深层层递进，从例题1的简单图形入手，注重思维引导而非直接给出辅助线添法。与此同时，鼓励学生自主探索和合作交流，在互动中体会一题多解的乐趣，真正做到“新课标”所要求的“让学生成为课堂的主人”。基于对基础图形的深层次分析，例题2的中考链接题就迎刃而解，学生进一步体会比例线段应用中添加平行线构造基本图形的规律，增强学生学习的自信。

2.巧用变式训练，提高核心素养

第二次课时旨在通过变式练习这一有效的教学方式，让学生掌握比例线段应用中的数学方法以及解决问题的策略。例题1与例题2在图形与条件上有不变也有变，利用类比可得出结论，让学生在“变”中总结解题方法；例题2变式以及巩固练习将图形与函数或几何相结合，是比例线段与等腰三角形、勾股定理的综合运用，逐步把问题引向深处。学生通过变式训练不仅掌握了比例线段问题中灵活解题的方法，在探究过程中还培养了学生类比归纳的逻辑推理能力，核心素养的提升将影响学生今后学习或生活的方方面面。