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循序渐进重探究 巧用变式促提升

2023-05-30张诗逸

教育·教学科研 2023年3期
关键词:字型辅助线平行线

张诗逸

一、教学内容分析

比例线段作为沪教版九年级第一册“相似三角形”章节中的重要知识点,不仅是探究相似三角形基本理论及应用的出发点,更是中考综合题的高频考点。本课为初三专题复习课,比例线段特别是平行线分线段成比例定理在知识内容上困难不大。通过习题练习,学生对解决含有平行线的图形中比例线段问题具有一定的熟练度。然而,比例线段并不作为单一考点出现,常常与函数或几何图形相结合,许多学生感到很难找到思路,无法做到融会贯通。本文的专题教学针对以上情况,由简单图形入手,与学生共同探索图形的本质结构,合理引入添加辅助线转化问题的思想。同时结合2020中考压轴题,并巧妙运用变式练习让学生在类比中得到启发,加深学生对比例线段的理解。

二、学情分析

本堂课在两个班进行授课,两个班的数学基础一般,解题时简单题目可以解决,但对大题有畏惧心理。《相似三角形》整章节内容已授课完毕,进入本章的复习阶段,“A”字型与“8”字型等基本图形在平时授课已提及,学生对此有一定认识和运用,然而当本章知识点与其他题目相融合,学生不易识别出基本图形,解题较无头绪。

三、教学目标

知识与技能:复习巩固平行线分线段成比例定理,并能熟练构造“A”字型和“8”字型基本图形处理比例线段问题,解决综合题中线段长度以及线段之比等计算。

过程与方法:学生经历解决几何或函数综合题中含有比例线段,总结辅助线常见添法的过程,培养与发展学生分析和解决问题能力,对比和概括的逻辑思维能力,体会类比、转化、方程、分类讨论等数学思想。

情感态度价值观:学生经历操作、观察、讨论等数学活动,进一步体会数学的价值以及解题过程中的思维方法,树立解决综合题的信心。

教学重难点:对几何图形或函数中给定的条件进行分析,添加辅助线求出比例线段相关问题。在知识的生成过程中达到培养学生观察、类比的能力,确定比例线段综合题的解决思路。

四、课程实录

本节课在两个班进行了教学,完成第一个班级试讲后,针对课堂实际出现的问题对教学设计进行了修改,之后在第二个班级完成了教学。现将两次授课中的一些片段重现,并对此进行反思和评析。

教法一:

(一)复习旧知,引入课题

1.平行线分线段成比例定理复习

师:课前练习1的图中DE∥BC,请列出图中所有的比例线段。

大部分学生都能回答全面。

师:大家观察一下这两个平行相似模型,根据图形特征我们可以称作什么型?

生:这两个常见的平行相似模型,我们可以根据图形特征称为“A”字型与“8”字型。

2.课前练习2

师:请大家看课前练习2,△ABC中,AB=AC=12,AD⊥BC于点D,点E在AD上且DE=2AE,连接BE并延长交AC于点F,则线段AF长为_____。

师:线段AF为线段AC上的一段,线段AC长度已知,若能求出线段AC上各线段之比,线段AF长度可求。运用什么方法可以将边AC各段之比表示出来?

生:利用平行相似模型求线段比值。(只有少数几个同学作答)

师:找一找图中有基本图形吗?

生:没有,需要自己构造。

师:我们如何添加辅助线构造基本图形呢?

生沉默了较长一段时间,考虑到时间关系,师只能先提出并演示图4这种方法。

师:除了老师的这种方法,你还有其他构造方法吗?

少數学生提出可以过点D往另一边作平行线,但基本没有学生想到过其他节点作平行线。老师粗略地提示了其他辅助线作法后,进入例题讲解。

(二)师生互动,讲解例题

1.例题1:在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,BO的延长线交边AC于点D。

(1)求证:∠BAC=2∠ABD;

(2)当△BCD是等腰三角形时,求∠BCD的大小;

(3)当AD=2,CD=3时,求边BC的长。

老师分析:第(1)问考查圆与等腰三角形的基本性质,第(2)问需对等腰三角形情况进行分类讨论,前两问由学生独立完成,老师给出了解析并评价。前两问上学生所花时间比预期更长,格式也没有详细地书写与强调。

师:请大家先独立思考完成第(3)问,给大家5分钟的小组讨论时间,同组之间交流一下不同的解法。

学生进行讨论,巡视过程中发现大部分小组探讨并不激烈,没有思路的情况较多,需要老师点拨才能动起来。

师根据课堂情况再次提示:大家观察一下这一问的图形与课前练习2的图形有什么关联吗?

部分学生:这一问就是把课前练习的三角形放到了圆当中,图形是类似的。

师:讨论时间到,现在小组代表为我们解说一下辅助线及做法。

两个小组较为积极,汇报了多种情况。然而其余小组反应不积极,只是听同学汇报。

师:无论是哪种方法,根本出发点是什么?

生:添加平行线促成分线段成比例。

师:通常我们能构造什么基本图形?

生:通常是构造“A”与“8”字型。

2.例题2:矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M,N,求MN的长.

师:要求MN的长度,我们可以首先通过求什么得到?

生:线段AF的长度容易求,只需要知道线段AF各段之比就可以了。

师:那么我们就把问题转化成比例线段问题了。图中的矩形有什么特征?

生:矩形的对边是互相平行的,可以构造平行相似模型求比例线段。

师:请同学们在学案上完成,一名同学展示结果。

师在巡视过程中发现大部分同学在辅助线添法上就被困住了,独立完成较为困难。大部分同学基本完成后,师挑选一名同学的结果进行多媒体展示。

师:例题2将例题1中的图形与矩形相结合了,你能说一说这种类型题的解题思路吗?

生:求线段比值或长度等比例线段问题,可以通过添加平行线构造基本图形。

巩固练习与课堂小结等环节略。

教法二:

(一)复习旧知,引入课题

1.平行线分线段成比例定理复习

此部分与教法一相同。

2.课前练习2:已知:点E在平行四边形ABCD的边BC的延长线上,AE交BD于点F,交DC于点G;求证:AF2=FE·FG。

3.课前练习3:已知:E是正方形ABCD的边AB延长线上的一点,DE交BC于F,FG∥DC交EC于G;求证:FG= FB。

通过两道含有平行线的简单习题,大部分学生都能运用基本图形解决。

师:这两道习题中包含了什么基本图形?

生:课前练习2中包含了“8”字型,课前练习3中包含了“A”字型。

(二)例题精讲

1.例题1:△ABC中,AB=AC=12,AD⊥BC于点D,点E在AD上且DE=2AE,连接BE并延长交AC于点F。

(1)求AF:FC的比值;(2)求AF的长度。

师:线段AD与BD上各段之比已知,如何将这些比例转化到线段AC上?

生:可以利用相似模型求出线段比值。

师:寻找一下图中有我们常见的相似基本图形吗?

生:没有,需要自己构造。

师:如何构造基本图形呢?想一想我们课前练习是如何完成的?

生:课前练习的图中都包含平行线,可以添加平行线构成相似基本图形。

师:我们过什么点作平行线比较合适?观察图中哪个点比较特殊?

生:点D是线段BC的中点,过这个点作平行线不会破坏比例关系。

师:根据同学们的想法,老师过点D作BF的平行线,接下去怎么完成?

绝大多数学生都有思路,请一名学生进行作答,并板书详细过程。

师:除了这种方法,还有其他辅助线作法吗?试一试过其他点作平行线可行吗?

学生根据提示发掘出多种辅助线作法,学生交流展示思考结果,鼓励一题多解。

2.例题2:(中考链接—2020中考卷25题):在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,BO的延长线交边AC于点D,当AD=2,CD=3时,求边BC的长。

师:观察例题2与例题1的图形和条件,可以通过什么方法求出线段长度?

生:例题2的图形,就是例题1的三角形放入了圆中。仍旧可以构造平行相似基本模型得到线段比值和长度。

师:请大家先独立思考,之后给大家3分钟时间小组讨论,交流不同的解法。

老师巡视完成情况,基本每名学生都能有2种及以上的方法,小组讨论过程中气氛比较热烈。讨论结束后,师代表汇报辅助线及做法,并给予肯定的评价。

师:大家的方法非常丰富,无论哪种方法,我们解决这类问题的根本出发点是什么?

生:添加平行线促成分线段成比例,且通常是构造“A”与“8”字型。

五、课程反思与评析

(一)教学反思

通过两堂课的对比,不难发现第一堂课是失败的,针对问题进行修改完善之后,第二堂课才达到了一定的效果。经过这两节课的教学,我对教学设计和课堂环节进行了如下反思。

首先,第一次试讲的课前引入环节,只是回顾了两个平行相似基本模型,就急于让学生直接进入添加辅助线的解题中,没有过渡习题,学生很难将基本图形与实际运用结合到一起,间接影响到后面的上课效果与进度。第二次授课我在课前引入中增加了两道相关习题,让学生逐渐进入状态,不再是突兀地引出輔助线作法。

第二,第一次试讲中的课前练习2这道习题放在引入环节中不合适,讲解得太过仓促并且不够细致,导致学生听得也稀里糊涂,无法感受这道题的意义所在。因此第二次授课时,我将此题放入到例题讲解中,引导学生充分剖析图形,为引出“2020上海中考压轴题”解法做铺垫。同时鼓励学生不拘泥于一种解法,从交流成果中体会“一题多解”的乐趣,激发学生学习的兴趣和欲望。相比第一次试讲,第二堂课在这道题上花了更多的时间,然而根据课堂效果来看,这道题的探索为后面的授课达到了事半功倍的效果。

第三,第二次授课时删除了中考链接题中的前两问,由于前两问与本堂课的重难点关联不大,因此主要将重心侧重于第三问的解答中。值得注意的是,通过例题1的分析,大部分学生能马上反应过来例题1与例题 2的关联性,教学过程比第一次试讲更加顺畅,课堂氛围更加热烈。

最后,第二堂课中增加了一道例题,且此题是中考链接题的变式练习,在进一步对比归纳,揭示解题思路的同时,还引导学生寻找做题过程中的问题,共同探索解题技巧,优化做题方法,提升数学核心素养。

(二)课程价值

1.思维引导

数学复习课是教学重要环节之一,如果只对单一习题进行讲解而不帮助学生建立知识之间的联系,达不到在复习中吃透知识点并举一反三的效果,学生在题海战术中的积极性无法被调动起来,甚至会对综合题产生畏怯心理。第二次授课的设计不急于直接引入中考压轴题,为了让学生更好地感知比例线段与其他知识点整合时的解题思路,由浅入深层层递进,从例题1的简单图形入手,注重思维引导而非直接给出辅助线添法。与此同时,鼓励学生自主探索和合作交流,在互动中体会一题多解的乐趣,真正做到“新课标”所要求的“让学生成为课堂的主人”。基于对基础图形的深层次分析,例题2的中考链接题就迎刃而解,学生进一步体会比例线段应用中添加平行线构造基本图形的规律,增强学生学习的自信。

2.巧用变式训练,提高核心素养

第二次课时旨在通过变式练习这一有效的教学方式,让学生掌握比例线段应用中的数学方法以及解决问题的策略。例题1与例题2在图形与条件上有不变也有变,利用类比可得出结论,让学生在“变”中总结解题方法;例题2变式以及巩固练习将图形与函数或几何相结合,是比例线段与等腰三角形、勾股定理的综合运用,逐步把问题引向深处。学生通过变式训练不仅掌握了比例线段问题中灵活解题的方法,在探究过程中还培养了学生类比归纳的逻辑推理能力,核心素养的提升将影响学生今后学习或生活的方方面面。

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