加减法运算意义理解中的情境原型研究

余水琴

［摘 要］探究加减法运算的基本意义，特别是在生活化情境原型中的意义，是帮助学生有效建构四则运算思维模型的重要措施。基于此，教师要摒弃纯计算方法的机械式教学，把教学的侧重点落在引导学生感知不同事例中加减法情境的存在上，使他们建立起对应的情境模型，为学生真正理解运算意义打下坚实的基础，以提高学生的运算能力，促进学生数学学科素养的稳步发展。

［关键词］小学数学；加减法运算；情境原型；比较关系；数学素养

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）03-0037-03

傳统的应用题教学的弊端显而易见，部分教师在教学中要求学生记住题型、记住方法，解答应用题时直接套用，这样教学不符合学生的认知规律，与新课程理念相违背。因此，教师要摒弃传统的应用题教学模式，把学生引向有逻辑关联的问题情境和运算意义的探究上，帮助学生较好地理解情境原型，激活他们记忆中情境原型的经验，为他们的终身数学学习积蓄潜能。

一、加减法情境原型的研究背景

“对正整数加减法现实意义而言，其情境原型主要有四种：聚合、比较、增加性变化、减少性变化。”这是郑毓信教授提出的有关情境原型的观念，它对于本课题研究有着积极的指导意义。

（一）研究对象

考虑到测试的代表性，主要抽选了全区一至三年级的部分学生。

（二）研究方法

首先，利用样本测试等方式，结合大数据分析等手段，真实地把握本地小学生情境原型建立的情况，分析其中可能存在的有利因素和不利因素。其次，采取后期跟踪、回访等措施，弄清学生在建立情境原型中的实际困难，排查清楚缘由，为后续开展课题研究提供信息支持。

1.前期样本测试与数据分析

（1）开展全区一至三年级学生的样本测试，初步了解学生对加减法情境原型的建立情况。

（2）采取问卷调查等方式，采集学生较为喜爱的问题情境信息，为后续的深入研究提供信息支持。

（3）比较不同版本教材和不同学段的学生，了解他们对情境原型建立的差异，为课题研究提供信息保障。

（4）采集学生在练习或测试中的错误案例，解析其原因，分析情境原型建立的不足之处。

2.后期样本测评跟踪和回访目的

（1）彻底摸清学生对加减法运算意义在理解上的不足之处，特别是数学知识提取中出现的困难或偏差。

（2）初步分析学生在情境原型提取、应用中的思维差异，探寻突破难点的新路径。

（三）测试和访谈

本次样本测试的题目有两类：一是看算式创设情境；二是一步计算解决问题。

1.看算式创设情境的测试情况

学生对这类题都比较喜爱，各年级的水平差距不明显。考虑到低年级学生的识字量少、抽象思维水平低、理解数量关系能力弱等情况，设计的测试题中，前两题只需要学生画图明义就可以了，后两题则需要学生尝试用数学语言表述出来。测试题如下：

（1）用喜欢的图画，表示算式3+5。

（2）画图表示算式5-3。

（3）结合自己的平时学习，创设两个问题情境，需要反映出算式9+3的解答过程。

（4）创设两个不一样的问题情境，用到9-3这一算式。

2.一步计算解决问题的测试情况

这主要考查察对不同的问题情境时，学生所显示出来的综合应用知识、经验与数学思维研究问题的能力。按照合理配比、有序测试的原则，一二年级均设计了10道题，即一年级测试的是聚合原型题，二年级测试的是比较原型情境题。其中，面对同一情境原型，既创设了加法情境，又创设了减法情境，让学生数学思维的灵敏性、严谨性得到一定的锻炼。同时，设计题目时不仅关注学生的思维创新，还注重学生知识基础的夯实，将传统的11种基本应用题型全部融入其中，使测试更具整体性，更有利于课题研究的深入。如设计“已知两数的和与其中一个数，计算另一个数”的常规题型，目的是了解学生对加法情境、减法情境原型的建立度有多高，及对应的思维模型水平怎样。

3.测试结果计分和解释

测试中的每一道题都包含不同的情境原型。为了更精准地了解学生对不同情境原型的掌握情况，不采取总分统计的方式，而是采取分题统计的方式，以便进行必要的数据甄别，从正确率、失分率中探寻问题的症结所在，为后续进一步研究提供必要的数据。如果学生对某一类情境原型理解的正确率达到85%及以上，则可以认为学生对该原型的建立是合格的。

4.访谈

访谈是课题研究中最为常用的方法之一，也是最有针对性和实效性的方式之一。为深入了解学生对比较情境原型的理解和掌握情况，特别是学生对该类型问题的思考与探究困难，教师有必要展开访谈、调查等活动。提纲访谈拟订如下：

（1）仔细阅读问题，简要分析题目大意，明晰其中的数学信息。

（2）尝试用数学语言来陈述思考过程，或展示研究问题的思路。

（3）要求学生说出自己选择运用加减法的缘由。

（4）给予必要的指导或启发，如指导画示意图、线段图或联系常见的学习例子等。

低年级学生由于逻辑思维和抽象思维还未发展成熟，所以即使理解一般的加减法运算，也需要借助形象直观的素材，甚至是借助直观操作来完成知识同化。但是，可供揭示加减法运算意义的直观情境非常繁杂，表象也非常多，容易使学生迷失在情境中，难以归纳出情境的共性，无法提炼出其本质特征，更无法将这些情境分门别类。通过访谈调查、问卷调查，可以迅速摸清学生对加减法应用模型的掌握情况，进而制订一系列的应对和补救措施，深化学生对加减法运算意义的理解。特别是后期让学生根据同一道加法算式创设两个不同情境、根据同一道减法算式创设两个不同情境的教学实践，能够较好地激发学生探究问题的兴趣。同时，这样能够给予学生更大的自由度，让他们充分发挥想象，自主决策。经过这样逆向思维的情境创设后，学生会对加减法的基本意义和运算原理有一个全面的把握。

二、解析情境原型的研究现实

（一）测试结果分析

随着研究的开展，学生对各种情境原型理解的正确率均已超过85%，他们能够较好地建立起加减法情境的原型，并能够运用该模型解决问题。我们课题组在研究中还发现一个现象：学生对比较情境原型的解读与领悟较为困难，正确率只有78.91%，远没有预期的效果。特别是分析“水果超市有45千克苹果，比鸭梨少10千克，鸭梨有多少千克？”这种情境原型的问题时尤为严峻，学生解题的正确率仅有63.54%。另外，一年级学生在解题时，约有24%的学生会采取类似方程的策略表示出题中的数量关系，但是这种思维在二年级的解决问题的练习中却很少使用，甚至是销声匿迹了。

（二）看算式创设情境的测试结果及分析

从分析的统计信息中，能够看出最受学生青睐的加法情境原型是聚合与增加性变化两类，最喜爱的减法情境原型是减少性变化。

研究发现，学生对教材版本的敏感度是较低的，这对测试结果几乎是没有影响的。同时，发现班级不同，测试结果的差异较大。这些都能够较清晰地显示出教师的教学方式、教学行为对学生数学思维发展的影响是巨大的，可谓是至关重要的。

另外，部分学生学会一式多型，即由一道算式创设出多种不同的情境。

（三）学生的主要错误

学生的主要错误集中在一些逆向思维描述的比较关系模型上。如“苹果有8个，比桃子个数少3个，桃子有多少个？”，有些学生会列式解答为8-3，显然这是错误的。

（四）访谈记录

测试后，对不同的学生进行访谈，从中了解到情境原型掌握不够灵活或是不甚透彻的原因。梳理分析后发现，学生思維程式化的现象较为明显，思考问题的方式较为单一。如见到题目中有“比……多……”就一律用加法，看到题目中有“比……少……”则用减法。从这种现象能够看出，教师在教学中对加减法情境原型变化的灵活性欠缺，导致学生在情境原型中提取信息时出现思维混乱的情况。结合学生的测试结果分析，我们课题组将比较情境原型列为重点来研究。

三、造成比较情境原型障碍的原因与教学思路

（一）学生的思维障碍

障碍1：比较关系理解欠缺

如“乌龟跑了30米，乌龟比兔子少跑10米”，学生常常断章取义，错误地理解为“乌龟跑了30米，兔子跑了10米”。这说明学生对“乌龟比兔子少跑10米”的理解尚未达到悟透的层次，对其中逻辑关系的解读是模糊的。

障碍2：能理解关系，但不能列出算式

题目：小明有20颗玻璃珠，小华有25颗玻璃珠，小华比小明多几颗玻璃珠？

生：（阅读题目后）这题用加法计算，即20+25=45（颗）。

师：问题是什么？它到底是什么含义？

生：比如说，我有3块橡皮，小红有6块橡皮，6块橡皮比3块橡皮多几块？

师：怎样列式？

生：6+3=9（块）。

师：可以用画图来解析这个问题吗？

（学生边画图边描述）

……

障碍3：受思维定式（如见“多”就用加法，见“少”就用减法）影响

题目：折纸比赛中，李晨折了30只纸鹤，李晨比刘强少折10只。刘强折了多少只纸鹤？

师：怎么列式？

生：有“比……少……”，毫无疑问，这题用减法计算，即30-10。

师：用减法来计算，你的想法是什么？

生：因为“李晨比刘强少折10只”，明确说到“少”，少就是减少，用减法计算。

……

（二）学生的学习思路

我们课题组既重视研究的顺利推进，又关注学生对情境原型的建立，引导学生通过画图等策略去明晰比较的关系，使学生有序思考的思维能力得到培养与发展。结合具体事例，学生能够较好地理解比较关系中的主体和客体、标准量和相对量，进而把它们与加减法运算顺利对接。标准量和相对量之间的互逆关系，可以对应到加减法的互逆转换上，实现加减法思维模型的初步建立。

例如：“肖战今年接拍商业代言15个，王俊博比肖战少接商业代言5个。王俊博接拍商业代言几个？”教师让学生拿出小棒，模拟题目中的对应关系摆出小捧，帮助学生较好地感悟其中的逻辑关系。

生：15根小棒是肖战接拍商业代言的数量，10根小棒是王俊博接拍商业代言的数量。

师：少的5根小棒是什么呢？

生：（指向“空白处”）是王俊博比肖战少接拍的商业代言数，即15-10=5（个）。

……

通过实践操作及分析数量之间的关系，学生明晰了减法的意义。可是，随着访谈的开展，发现了不少令人匪夷所思的现象，那就是学生“心口不一”“想做缺位”。具体表现为：学生的表层意识与外显表达严重脱节，外显表达具有严重的经验性和机械性，导致理解与列式南辕北辙，最终出现认知障碍和表达偏差的“综合征”。

加减法互为逆运算，逻辑上本就有许多的共通之处。随着情境原型的改变，学生就会随意转换视角，把数量之间的内在关系混为一谈，导致知识提取、经验应用出现错误。为此，教师要针对这一情况对学生进行必要的逻辑训练，以及相应的数学语言、数学表达的矫正训练，让学生彻底厘清各个数量之间的对应关系，找准基准量和比较量，从而列出正确的算式，真正明确算式各部分的含义。

四、比较情境原型的教学方向

首先，通过研究进一步了解学生对加减法情境原型的建立情况。随着年级的递增，情境原型的学习也变得丰富起来，但是学生对比较情境原型的学习还是显得非常吃力。

其次，通过研究初步了解学生学习加减法情境原型的困难所在：对比较关系理解、情境理解和运算意义理解断裂，使得学习中难以实现知识、经验和思维的全方位对接。

最后，通过研究了解学生理解比较关系的思维方式：先理解比较关系，再画图表示对应数量，将数量对比关系抽象成加减法算式，然后选择方法计算，解决问题。

从多次访谈中发现，学生的思维过程理解才是核心，表象是参照。唯有如此，学生才能在不同情境中灵活分析原型与解决问题，实现数学学习的不断深入。

综上所述，在小学数学教学中，教师要适时为学生提供多样化的情境原型，重视学生积累比较关系的经验，使学生真正理解与掌握所学的数学知识，助力他们数学思维的发展，提升学生的数学学科核心素养。

（责编 杜 华）