让量感在推理和体验中自然生长

李祥军

“体积和体积单位”是人教版小学数学五年级下册的内容，是图形与几何领域的关键课时，是小学阶段度量几何学的最后一个内容，也是由一维、二维过渡到三维的转折点，本节课承载着培养量感、发展空间观念的重任。因此，在教学设计时，教师要正视学生的已有认知基础，运用推理实现知识的有效迁移，通过多维体验帮助学生深入理解知识，从而有效建构起认知结构，让量感自然生长。

【教学目标】

1.运用完全归纳推理，理解体积的内涵，发展学生的理性思维。

2.能类比推理出体积单位，在多维活动中加深体验，初步建立1立方厘米、1立方分米、1立方米大小的表象。

3.沟通长度单位、面积单位、体积单位之间的联系和区别，突出数学本质。

4.在探究过程中培养学生的观察、想象、推理等数学能力，发展学生的空间观念，培养量感。

【教学重难点】

教学重点：理解体积的内涵，帮助学生建立1立方厘米、1立方分米、1立方米的空间观念。

教学难点：打通知识间的联系，突出计量本质。

【教学过程】

一、归纳推理，概括出“体积”

1.通过数学实验说明固体、液体有体积

师：同学们都听过“乌鸦喝水”的故事，我们都感叹乌鸦的聪明，从数学的角度思考，乌鸦为什么能喝到水呢？

生：我认为是石子占据了水原来的空间、水被挤了上去，水面也就升高了。

师：听得懂的同学请举手。

（绝大多数同学不明白，表示不理解“占据空间”）

师：你讲了一个很深奥的道理。俗话说“眼见为实”，这里有半杯水和一些石子，谁能通过一个实验来说明？

（两个学生用大小不同的石子分别演示，然后解释道理）

师：通过刚才的实验，让我们知道，大小不同的石子占据的空间也不一样，像石子这样的固体，水这样的液体都占据空间，都有体积。

（教师板书：固体、液体占据空间的大小叫作它们的体积。）

【思考】通過学生熟悉的乌鸦喝水情境引发思考，紧扣“占据空间”这个难点，让学生结合数学实验来理解，让抽象的“占据空间”可视化。学生在动手实验中直观、清楚地理解了石子、水都占据空间，占据的空间还有大小之分，所以固体、液体都有体积。经典故事和数学实验互相印证，感性思维和理性思维有机融合，深化了对量感的体验。

2.验证气体也有体积

师：通过故事和数学实验我们知道，固体和液体都有体积，那能不能说，所有的物体都有体积呢？

生：不可以，我们知道物体有固体、液体、气体三种形态，还不知道气体有没有体积，所以不能说所有物体都有体积。

师：老师很好奇，你是怎么知道物体有三种形态的？

生：在科学课上学过。

师：你的思维很严谨，掌声送给他，可是空气看不见、摸不着，那它到底有没有体积呢？小组内设计一个方案，来验证你们的猜想。

（小组研讨后，两组代表上台演示吹气球的过程，说明道理）

师：开始时气球是瘪的，为什么会变大呢？

生：吹进空气后，空气占据了气球内部的空间，气球就变大了，这说明气体也有体积。

师：那为什么两个同学吹出的气球大小不一样呢？

生：刚才那个男同学肺活量大，吹出的气体多，占据的空间大，气球就大。

3.概括体积的概念

师：看来，气体也有体积，现在你们能用一句话说一说什么是体积吗？

生：不管是固体、液体还是气体都占有空间，物体占据空间的大小就是物体的体积。

师：你的表述已经非常接近数学上的说法了！物体所占空间的大小叫作物体的体积。

（教师板书）

【思考】仅仅通过固体、液体有体积就得出所有的物体都有体积的结论是不严谨的，教师故意设疑，引发了学生对气体有没有体积的争论，然后提出问题让学生思考，小组内设计实验方案来验证自己的猜想。这样就从物体的三种形态入手，运用完全归纳法概括出了体积的概念，由于完全归纳法得出的结论是必然的，所以结论才有了说服力，才被全班学生认可。这个过程不仅引领学生经历了猜想、验证、得出结论的研究过程，丰富了概念内涵，还发展了学生严谨的理性思维。

二、类比推理，认识“体积单位”

师（出示学习探究单）：我们认识了体积，体积单位有哪些呢？请你们借助之前的学习经验，完成下面的探究单。

【思考】学生在长度单位、面积单位的学习中积累了丰富的学习经验，形成了良好的量感。体积单位的学习不用另起炉灶，而是要引导学生在原有的基础上进一步深化对量感的感悟。通过学习探究单，让学生从长度单位、面积单位中类比推理出体积单位，实现了认知的有效迁移。

三、多维体验，深度理解“体积单位”

1.做一做，认识立方厘米

师：谁来说说你的推测。

生：长度单位是一条线，面积单位是一个正方形的面，我们推测体积单位应该是一个正方体。

师：同意他的推测吗？

师（课件出示教材中的内容）：课本中就是这样说的，你很善于推理，棱长是1厘米的正方体，体积就是1立方厘米，立方厘米可以写成cm3，想不想利用手中的太空泥自己制作一个1立方厘米的正方体呢？

（学生动手制作，然后和1立方厘米学具对比，看看谁制作得最标准）

师：找一找，生活中哪些物体的体积大约是1立方厘米？

生：一个骰子，一个键盘帽。

师：每个小组里都有一块橡皮，先猜一猜体积是多少，再用1立方厘米的正方体量一量，看看谁猜得最准确。

2.量一量，认识立方分米

师：接着推测，还会有什么体积单位？

生：立方分米，棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米，立方分米可以写成dm3。

师：和你的推测一样吗？（全班同意）

师：你们不仅推测准确，表达也很完整！学具盒中有一个1立方分米的正方体，用它来量一量牛奶盒的体积大约是多少平方分米？

（学生小组内测量）

3.估一估，认识立方米

师：接着推测，还会有什么体积单位？

生：立方米，棱长是1米的正方体体积是1立方米，立方米可以写成m3。

师（指着正方体模型）：这个箱子的体积就是1立方米，估一估，能容纳多少个五年级的学生？

（学生估计出多种答案，教师找学生到台前验证）

师：如果这是1立方米的牛奶，估一估，大约能装多少盒这样的学生奶？

（学生估计出多种结果）

师：大约能装5000盒学生奶，是我们全校学生两天的用量了。

4.比一比，延伸出其他体积单位

师（把1立方厘米、1立方分米、1立方米的学具依次摆放在一起）：请你们比一比，有什么想说的？

生：1立方米很大，1立方厘米太小了，好像1万个1立方厘米才有1立方米那么大。

师：你很会想象，在后面的学习中我们会遇到，到时会让你大吃一惊的。

生：长度单位有毫米、千米，我想问问体积单位里有没有立方毫米和立方千米。

师：你很会联系，提出了这么有价值的问题，了不起！你们觉得1立方毫米、1立方千米有多大呢？

（学生说出定义或举例说明）

师：那到底有没有这两个单位呢？大家课后可以去查阅资料。

……

【思考】量感的形成需要学生在“做数学”的过程中丰富表象，教师要设计有效的数学活动，帮助学生在活动中丰富表象，建立概念。在教学中，教师先是让学生用太空泥制作出一个体积是1立方厘米的小正方体，形成对概念的动作表征；通过让学生用1立方分米进行测量，进一步丰富了1立方分米的表象；让学生估一估1立方米可以容纳多少个五年级的学生，1立方米的牛奶能装多少盒学生奶，1立方米的表象逐渐形象起来；最后通过比一比，学生推想出了另外的体积单位，一系列的活动让学生调用多种感官参与，对体积单位的理解变得活泼而灵动，量感在学生心中也逐渐丰满起来。

四、沟通联系，突出度量本质

师：这节课我们是怎样研究体积和体积单位的？

生：通过做实验，认识了体积，然后动手量一量，认识了三个体积单位。

生：结合之前长度单位、面积单位的知识，我们认识了体积单位。

师（播放课件）：大家都能联系起来学习，这是一种非常重要的学习能力，借助课件，让我们回头看一看。

（教师结合课件解读）

师：你看，不管是测量长度的单位、测量面积的单位、测量角的单位，还是今天学习的测量体积的单位，都是因为测量的需要而产生的，数一数被测量对象中有多少个测量单位，所以著名数学家华罗庚说过：“量，是量出来的。”

……

【思考】量感的形成需要学生在比较中丰富对量的认知，发展量感。在课的结尾，教师引导学生系统梳理了小学阶段度量几何学的知识，通过回顾，一方面梳理出了知识之间的内在联系，帮助学生形成结构化的认知体系；另一方面在比较辨析中凸显了不同知识间相同的数学本质，深化了学生对量的认知，让量感自然生长。

【教学反思】

1.归纳推理，提供量感发展的支撑

量感的发展是一个连续的过程，需要在原有的基础上延续和深化。在之前度量几何学的学习中，学生已经积累了丰富的活动经验，借助类比推理，能实现认知的有效迁移，为量感的发展提供了基础和支撑。在教学中，教师综合运用了归纳推理和类比推理两种推理方式。体积概念的教学，运用了完全归纳推理，在验证出液体、固体有体积后，教学并没有止步，而是鼓励学生思考问题：“气体有体积吗？”这样就从物体的固态、液态、气态三个方面探究，得出的結论才更为严谨，培养了学生的理性思维，发展了量感；在认识体积单位环节，运用了类比推理。学生经历了两个层面的类推过程：由长度单位、面积单位到体积单位的纵向类推过程；由1立方厘米、1立方分米、1立方米到1立方毫米、1立方千米的横向类推过程。两种推理的运用相得益彰，为量感的发展提供了有力支撑。

2.多维体验，丰富量感发展的路径

量感的发展需要在多样的学习活动中多角度体验，丰富表象。在认识体积环节，教师设计了两个数学实验，第一个实验是模拟乌鸦喝水的情境，实验和故事相互印证。第二个吹气球实验验证了气体有体积的猜想，数学思考和动手验证有机结合；在认识“体积单位”环节，教师设计了“做一做”“量一量”“估一估”“比一比”等多种活动，力求为学生提供富有层次的数学活动，丰富对概念的理解，积累数学活动经验，形成体积单位的表象。多样的学习活动为学生带来了多维体验，更是为量感的发展提供了多种路径，学生在“做数学”的过程中发展了量感。

3.系统梳理，建立量感发展的联系

量感的发展需要对比不同的学习内容，在梳理辨析过程中帮助学生系统地理解知识结构，打通不同知识间的联系，从而突出数学本质，深化对量感的认知。在教学中，教师引导学生系统梳理了小学阶段度量几何学知识，引发学生思考：这些知识之间有什么相同点和不同点？通过辨析，学生深刻认识到了“量，起源于量”的度量本质，不仅打通了不同知识之间的壁垒，还建立起了系统化的知识结构，而且形成了结构化的思维方式，有效发展了量感。

（作者单位：山东省临沂市第一实验小学）