课堂实践中探索核心素养落地

江潞潞

[摘  要] 《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出，发展学生的数学核心素养是数学课程教学的长远目标. 那么，在实际教学中，该如何将核心素养的培养与发展落实到课堂实践中呢？文章以“平面向量基本定理”的教學为例，在做好分析的基础上，从“情境创设，探究发现，形成定理”“深度理解，回归本质，解读定理”“解决问题，应用定理，实现创新”三方面展开阐述.

[关键词] 课堂实践;平面向量;核心素养;落地

核心素养的形成与发展须经历一个漫长的过程，是日积月累的结果. 鉴于此，基于核心素养发展的教学设计，应有一个长远的规划，应在整体设计、分步实施中实现核心素养的落地、生根[1]. 课堂是教学的主要场所，每节课是实施课堂教学的基本单位，因此教师应精心设计教学活动，让课堂为学生核心素养的提升提供养分.

向量与数量最大的区别在于数量只有大小而无方向，而向量既有大小又有方向，具有代数与几何的双重特征，也是一套良好的运算通性的体系. 若从数、量与运算三者发展的角度来分析，向量的重点不在于数的简单扩大，而在于量与运算的扩充. 实践证明，向量定义的学习不仅能帮助学生建立良好的几何与代数的关系结构，还能让学生在学习过程中发展数学核心素养.

基本分析

从知识逻辑与教材结构层面来分析，平面向量基本定理是平面向量的核心知识，是几何问题向量化的依据，亦是向量线性运算的融会贯通. 若选定一组不共线的基底向量e1，e2，则平面内的任意向量都能以e1，e2的线性组合表示，同时还可与有序实数对（λ1，λ2）形成对应的关系，这种一一对应的关系为向量运算做好了铺垫.

平面向量基本定理是建立在向量线性运算基础上抽象而成的基本理论，它的结构形式由共线向量（向量一维形式）经类比获得，再逐渐延伸到三维或更高维度的形式，空间平面数形的反映是它形成的主要机理. 同时，它还具有典型的几何意义和丰富的内涵，存在显著的教学与应用价值，学生在探索中可形成良好的抽象、推理、建模、直观想象等能力，而这些能力又是核心素养的有机组成部分[2].

因此，这部分内容的学习对培养与发展学生的核心素养，具有显著的促进作用. 本章节的知识与技能目标的实现比较简单，而核心素养的培养，则须教育实施者精心思考与设计，力争抓住一切机会进行知识本质原理与数学思想的渗透. 实践发现，引导学生体验与感知定理生成的过程，能让学生从深层次理解其内涵，实现核心素养的提升.

教学简录

1. 情境创设，探究发现，形成定理

教学时，教师可结合学生原有的认知基础，创设合理的问题情境，引导学生发现平面向量基本定理形成的过程，探究相关问题，为建构系统的知识体系做好铺垫. 探究活动的开展一般遵循“初步印象—探究发现—实际操作”三个步骤.

第一步：初步印象.

展示1：从物理学角度出发，将一个力朝两个方向分解成两个力，如将一个物体置于不同斜面上，它的重力被分解成与斜面垂直和平行的两个力，而随着倾斜角度的变化，被分解成的力也会随之发生改变.

展示2：以一条固定线段作为对角线作平行四边形.

第二步：引导探究.

师：大家对向量共线已经有一定了解，若a，b均和e共线（e为非零向量），可得什么结论？

生1：可得a=λe，b=μe的结论.

师：由此可确定a，b有怎样的联系？

生2：均可应用向量e的数乘来表达.

师：那么e有何用？

生3：e的数乘能表示与它共线的一切向量.

师：能表达与它不共线的向量吗？请大家先独立思考、作图分析，而后合作交流.

经分析后，学生获得的结论为“不可以”. 随之，教师又让学生阐述理由. 学生再次思考、作图，并合作探究，获得的结论为“根据向量数乘的意义可知，一个向量仅可表示与它共线的向量”. 由此总结出“将e称为与其共线的所有向量的基底”.

设计意图 情境演示、自主探究与合作交流等教学手段的应用，契合学生的认知发展水平与最近发展区的需求. 以向量共线作为起点，通过“小步子”探究方式，让学生体验知识的自然生长过程，由此自然而然地总结出“基底向量”.

为了强化学生对“基底向量”的认识，教师展示了两道例题，与学生一起分析.

例题1：如图1所示，若p=a+b，a，e1共线，b，e2共线，p可表示为e1，e2（都是非零向量且不共线，下同）的什么形式？

学生给出的结论为“p=λe+λe”.

例题2：如图2所示，在倾斜角为30°的光滑平面上放一个重4 kg的长方形铁块，铁块的重力G被分解成与斜面平行和垂直的力F，N，结合物理学内容怎样表示G与F，N的向量关系式？若将力F，N表示为e，e的形成，则该怎样将G表示为e，e的形式？

学生自主探究出的结论为“G=F+N”“G=2e+2e”.

为了引发学生更深层次地思考，教师提出：“若斜面的倾斜角分别为45°、60°，结论会怎样？”以此引发学生思考后归纳与总结.

设计意图 以上两个例题的应用让学生形成用两个向量表示平面向量的意识，同时对基本向量才能表达平面向量的知识形成一定认识.

接下来，引导学生对比p，G的结论特点，引出λe+λe为e，e的线性组合的知识，并鼓励学生探究当向量e，e固定时，平面内任意向量p是否可用向量e，e的线性组合来表示. 当学生对平面向量基本定理的结构形式有了初步印象后，教师带领学生对“基底向量表示平面向量”的知识进行实际操作与探究，以获得平面向量基本定理的四个层次.

第三步：实际操作.

第一层次：给定基底表示给定向量.

如图3所示，已知平面内存在一组不共线的向量e，e，该如何表示该平面内的给定向量p？

点拨：通过之前两个例题的分析，大家对p的表示形式已有所了解，它源于向量加法与数乘，当给定p与e，e时，可怎么用e，e表达p呢？

在教师的点拨下，学生很自然地将思维放到了向量加法的平行四边形法则上，并快速建立了p与e，e的关系为p=λe+λe（过程略）.

此操作过程反映了p与e，e的关系与形成过程，学生在此过程中初步建立了模型，在此基础上，师生进入了下一层次的操作探究活动.

第二层次：任选基底表示给定向量.

问题：若在一个平面内任意选定不共线的一组向量e，e，我们能否以此表示给定向量p？

如图4所示，在学生充分发挥想象的基础上，用多媒体演示. 鼓励学生通过思考、操作、观察，抽象出相应的结论为p=λe+λe，且p的表示与不共线的向量e，e无关.

第三层次：给定基底表示任意向量.

问题：若给定一组不共线的向量e，e，是否可用它们来表示平面内的所有向量？

如图5所示，要求学在作图思考的基础上，用多媒体演示给定的基底向量线性组合的过程，可得：若平面内任何向量的起点和e，e的起点相重合，仅需表示这些向量的终点即可. 经探索发现，在此条件下，e，e可表示平面内的所有向量.

第四层次：任意基底表示任意向量.

问题：若已知平面内任意一组不共线的向量，可否表示出该平面内所有的向量？

通过对以上三个层次的总结，再逐层深入地进行分析、推理，可得结论：平面内任意一组不共线的向量都能表示该平面内所有的向量.

以上四个层次不一定要按次序、不遗漏地操作探究，学生只须透彻地搞清楚一个层次，就能形成清晰的认识. 而由浅入深的四个层次的设计，其目的在于让学生亲历定理的形成过程，从直观上引发丰富的想象，同时又在逻辑推理层面进行科学、严谨地论证，为培养学生的数学抽象能力和逻辑思维能力奠定了坚实的基础.

2. 深度理解，回归本质，解读定理

深度理解是核心素养落地的标志，也是实现深度、高效学习的关键. 抽象的数学定理不仅体现了知识内在的抽象性、科学性、严谨性与逻辑性，还对后期的教学重点、难点具有指导意义，让教师明确教学的重心应该在哪儿.

有些教师，授课时一味地追求教学进度，存在“重解题，轻定理”的思想，忽视了学生对定理的感悟过程，学生因对定理中所蕴含的内在规律与思想方法没有明确的认识，从而无法建构完整的认知体系，对后期做题会产生负面影响. 即使通过一定程度的刷题能有所弥补，但依然达不到深度理解的程度，久而久之，学生的数学视野变得狭隘，遇到障碍时，也不会从不同角度去分析与突破问题.

（1）理解定理本质

教师引导学生回顾本节课所学的平面向量基本定理具体表达了什么内容，鼓励学生用自己的理解來表征，以观察学生对该定理的感悟程度. 不同的学生用不同的方式进行表达，但最终的指向是一样的. 当教师提出“平面内不共线的两个向量可以表示出平面内所有的向量，是否存在一定内在规律”时，学生默然了. 为此教师以点拨的方式启发学生思维，“将不共线的向量，以有向线段的方式来表达，其实质就是两条相交直线的一个部分”，学生瞬间就明白了问题的关键，从而出现了以下交流.

生4：平面向量基本定理的实质与立体几何中“两条相交直线可确定某平面”的实质，具有高度相似性.

师：不错，还有其他想法吗？

生5：与“三点不在同一条直线上时，可确定唯一一个平面”的原理类似.

师：这两位同学将问题与决定平面的条件相联系进行了思考，其他同学还有什么看法吗？

生6：他们两人说的都有一定道理，但两条平行直线也可以确定一平面，而两个平行向量却无法表示出平面内所有的向量.

师：哦？对此大家怎么理解呢？

生7：其实这里面并不存在冲突，直线平行和向量平行完全不是一回事，而且平行向量的实质为共线向量，因此它无法表示.

在教师的点拨下，学生将平面向量基本定理和平面的本质有机地融合在一起进行思考，不仅强化了学生对定理的体悟，还让学生感知到该定理的本质.

（2）剖析定理结构

当学生对定理的本质已经有比较深刻的理解后，教师可带领学生一起剖析定理的结构，以达到深层次的理解.

师：通过之前的探究，我们都知道平面向量基本定理从本质上来看，和两条相交直线可确定唯一平面具有一致性，大家是怎么理解这里的“唯一”二字的呢？

生8：“唯一”有两层含义：①指相交直线确定的平面有且只有一个;②两个不共线的向量所表示的平面内任意的向量，表现形式只有唯一一个.

师：确定吗？（众生肯定）

师：这个结论具有怎样的作用？（学生沉默）

师：若我们换一种表达方式，将p用e，e来表示，即p=λe+λe，也可表达成p=μe+μe，从中能看出什么？

生9：可以发现λe+λe=μe+μe，也就是λ=μ，λ=μ.

设计意图 让学生在探究中发现知识间的内在关联性与统一性，平面向量基本定理内存在辩证统一的关系，如λ，λ的唯一性和存在性，e，e的不唯一性和确定性等，这种领悟体现了核心素养的形成.

（3）应用定理，解决问题，实现创新

任何知识的教学都是为了应用到生活实际中解决问题. 如何让学生在理解的基础上实现灵活应用，是教师值得探索的问题. 平面向量基本定理反映了向量运算的整体形式，而向量法则体现了该定理的实际应用.

例题3：如图6所示，已知点D为△ABC中BC边的中点，且点E为AC边近点A的三等分点，点P为AD，BE的交点，分别求AP∶AD与BP∶BE的值.

设计意图 本题主要将平面向量基本定理的本质原理、思想等整合于一体，以观察与培养学生对知识的应用能力.

学生通过对本题的分析，发现本节课所学的平面向量基本定理不能直接用在解题上，而用到的是其本质原理和思想. 随着解题过程的推进，学生的数学思想悄然地发生了改变，而数学本质也在不知不觉中回归. 因此，解题过程对于提升学生的数学核心素养具有无可替代的重要作用.

总之，基于核心素养培养的数学教学，可通过丰富的情境，调动学生的学习兴趣;启发性的问题，引发学生的思辨与探究;自主解题分析，实现各项综合能力的提升[3]. 而学生作为课堂的主体，只有自主经历思考、尝试、挫折与磨难，不断挑战自我、突破自我，才能实现各项能力的提升.

参考文献：

[1] 史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例[J]. 中小学管理，2017 （01）：35-37.

[2] 常毓喜. 基于学科核心素养的2018年高考数学试题分析[J]. 数学通报，2019，58（03）：53-58.

[3] 孔凡哲，史宁中. 中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J]. 教育科学研究，2017（06）：5-11.