结构，在“连续”学习中得以完善

刘晓萍

摘要：数学教学要将零散的知识点以相关核心概念进行统领与整合，进而让学生在“连续”的数学学习中改造并完善已有的认知结构，实现从表层符号走向逻辑与意义的统一，助推思维与能力的进阶。以小学阶段三次“认识分数”的教学为例，通过结构化素材、结构化问题、结构化表征、结构化练习，让学生在“连续”经验、“连续”思维、“连续”迁移、“连续”运用中，实现数学结构与认知结构的彼此完善。

关键词：小学数学；数学结构；认知结构；连续学习；认识分数

数学是一门“结构化的科学”，其知识体系的形成、演化过程具有很强的逻辑性。数学教学要将零散的知識点以相关核心概念进行统领与整合，进而让学生在“连续”的数学学习中改造并完善已有的认知结构，实现从表层符号走向逻辑与意义的统一，助推思维与能力的进阶。本文以小学阶段三次“认识分数”的教学为例，谈谈如何通过连续学习，让数学结构与认知结构彼此完善，即实现数学结构对学生认知结构的丰盈，学生认知结构对数学结构的平衡。

一、结构化素材：在“连续”经验中，感悟概念的进阶与发展

分数是一个内涵丰富的数学概念。由于它与整数、小数概念有较大的差别，学生理解与掌握分数存在较大的困难。所以，苏教版小学数学教材与诸多版本教材一样，安排学生分三个阶段学习分数，即三年级上学期“认

*本文系江苏省苏州市教育科学“十四五”规划2021年度课题“核心内容视角下小学数学育人价值及其实现研究”（批准号：2021/LX/02/272/11）的阶段性研究成果。

识一个物体的几分之一（几）”，三年级下学期“认识一个整体的几分之一（几）”，五年级下学期学习“分数的意义”。教学时，要将三个阶段的内容视作同一“单元”下多次的不同维度、不同层级的学习，让学生在“连续”的学习中完成内容的链接与经验的改造，感悟概念的进阶与发展。

众所周知，数系的每一次扩充，都扩大了数的应用范围。“认识一个物体的几分之一”，是首次引入分数概念，是分数教学的起点与基点。教师应该链接学生的生活经验，创设一个对物体进行切割与分配的生活情境，在突出分数概念中的关键要素“平均分”的同时，通过所分物体的数量变化（对4个、2个、1个物体进行平均分），分得的结果也随之变化，从用整数表示，到整体中的“部分”“半个”无法用整数表示，引出刻画“部分”这一大小的需求，使原有数的认知结构出现“失衡”，“分数”的概念呼之欲出。

接着，教学再走一步：引导学生发现12表示半个数量，12还表示一份与总份数之间的倍比关系。此时，教师还可以引发学生提出问题：2份、3份与总份数之间的关系可以怎样表示？这节课，我们分了一个物体，那么，如果是一些物体呢？……这样的结构化素材，能够激发学生继续探究的愿望，完成对分数概念“连续”学习的对接。

“认识一个整体的几分之一”的教学，采用联系旧知的方式引入，体现这是在平均分一个物体基础上的连续学习。这也正是该课教学的逻辑起点，使概念的学习得以自然推进。具体可以从分一个物体开始，创设两只小猴分水果的情境，提出问题：“孙小圣要把这一个桃平均分给2只小猴。每只小猴分得多少呢？”自然链接三年级上学期关于分数的知识与经验。接着，在“继续研究分数”的活动中，桃子的数量变化成了4个、6个、12个到任意个，平均分的份数从2份、3份到任意份。学生一边分，一边向同伴介绍每一次分桃的结果，在整体数量的变化中，对概念的理解逐步逼近本质：分数的分母其实就是总份数，分子就是分得的份数。无论是一个物体还是一个整体，表示分得的一份和总份数之间的关系都可以用分数——几分之一来表示。不知不觉中，学生对几分之一的认知结构又得到了拓展与完善。

“分数的意义”的教学，则以某个分数为例，让学生在读一读、画一画、说一说的活动中，链接前两次积累的“认识分数”的经验，揭示出本课概念建构的实际背景，感悟概念进阶前后的联系，把握概念的属性，从“份数”的角度完成分数概念的抽象。

二、结构化问题：在“连续”思维中，经历概念的抽象过程

数学是一个前后联系的知识系统，因此，教学时还要树立“大单元”意识，瞻前顾后、左顾右盼，通过结构化问题，让学生在“连续”的学习中敞亮思维，触摸知识的本质。

分数的学习，本质上是学生经历逐级抽象的过程。因此，每一阶段的教学都需要从概念的本质出发，设计体现概念渐进抽象的结构化问题。教学“一个物体的几分之一”，可以提问学生：“半个是怎么得到的？”让学生在“操作→多元表征→统一表征”的过程中理解12的含义，并且明确：当平均分的结果不是整个的时候，可以用分数来表示数量。接着，顺势而为，从每人分得的一份与整个物体之间的关系出发，让学生初次转换视角：12还能表示每一份和总份数之间的关系。而对这层意义的理解，才是学生真正认识分数意义的开始，也是学生要跨越的一个认知难点。后续的教学中，平均分的一个物体在不断改变，教师可以“我们分的都是一个物体（图形），表示的都是其中的一份，为什么得到的分数却不一样”的问题引发学生思考：不管平均分成多少份，都可以从数量和关系两个角度，用分数表达平均分后的结果。

“认识一个整体的几分之一”的教学，从分一个桃子开始。教师可以从数量与关系两个视角，提出问题：“把一个桃平均分给2只小猴，每只小猴分得多少呢？每只小猴分得这个桃的几分之几呢？”揭示本课学习的逻辑依然是：像12这样的分数既能表示数量，也可以表示分得的份数和平均分成的份数之间的关系。在分4个、6个、12个桃的活动中，依然是这样的双线并进，帮助学生在整体思考与对比中，深刻理解分数表示量与量之间关系的定义，有效地突破难点。

结构化问题还可以助推知识结构的完善。在初步认识了一个整体的几分之一后，教师可以提问：“学到这儿，我们来做个比较：以前我们是把一个桃这样的物体平均分，今天我们平均分的对象有什么不同呢？有没有相同的地方呢？”学生在比较中感悟到：无论是一个物体还是一个整体，表示分得的一份和总份数之间的关系都可以用分数——几分之一来表示。于是，学生对几分之一的认识又前进了一步。课尾，教师可以再次提问引发学生思考：“还有哪些有关分数的知识，等待我们去研究呢？”让学生对后面的分数学习有很好的期待。

“分数的意义”的教学，让学生在之前直观认识分数的基础上形成分数的概念，对分数的本质有更为深入的认识。教师通过例子的变化以及提问“大家表示出的分数有什么相同的地方”，引导学生完成单位“1”的概括（如图1）。让学生在举例说说一些分数表达的意思，以及“你能用一句话说说所有分数的意义吗”的思考中，完成分数意义的归纳。认识了分数单位之后，教师可以提问：“同学们，到现在我们都学习了哪些数？”引导学生展开已有“数认识”的结构化思考，进而打通整数、小数、分数基于计数单位在数意义与表达上的一致性。

結构化问题意在从整体上“谋篇布局”，使学生在系统性、本质性的思考中实现知识结构的完善。看似割裂、独立的概念学习产生了关联：分数能够表示部分与整体的关系，也能够表示两个数量之间的倍比关系。这无形中充实了学生对分数意义的理解，也为下一步探索分数的其他意义打开了思路。

三、结构化表征：在“连续”迁移中，把握概念的内在逻辑

可迁移性在数学内部尤其重要。纵观小学阶段数的拓展，无论是从一位数到多位数，还是从整数到分数、小数，其核心都是计数单位及其表示方式的不断拓展。因此，对计数单位及其表示方式的认识应贯穿于每一次数概念的拓展进程中，每认识一种新的数，必然是新的计数单位产生或者其表示方式重新建构的过程。抓住“计数单位”这一核心概念，有助于把握数概念发展的内在逻辑，从而把握数学的本质、实现数认识的通联。

三年级两次“认识分数”的教学，都是在直观情境中展开的，教师要跳出简单的讲解，引导学生综合运用情境，通过实物表征（如图2）、图像表征（如图3）、语言文字表征和符号模型表征等多元表征，自主探究，建构思维表达的多元结构和分数概念的纵横关联，探寻数学与生活、数学内部知识之间的本质联系。

五年级“分数的意义”的教学，在抽象完成分数的意义之后，教师要用好计数器这一介于直观与抽象之间的表征工具，适时组织关于整数、小数与分数在数意义与表达上一致性的勾连与比较活动，帮助学生完善“数认识”的认知结构。教师出示一颗珠子（如图4）并提问：（1）在没有表示数位的计数器上，一颗珠子可以表示哪些数？（这里的一颗珠子可以表示整数的计数单位，也可以表示小数的计数单位。）（2）去掉计数器，这里的一颗珠子还可以表示什么数？（它还可以表示像13、14……这样的分数单位。）（3）有了这些计数单位，我们就可以数出哪些数？（原来，“数都可以通过各自计数单位的累加得到”。）如此，计数单位在数的意义与表达上的一致性得以通透，学生的认知结构得到了再次优化。

数轴也是对数的意义进行表征的常用工具。在数轴上有了单位“1”之后，2、3……这样的整数也就可以通过有几个“1”找到相应的位置。由此，学生对“整数就是单位‘1’的累加，有几个单位‘1’就用整数几来表示”的理解更为深刻。接着，教师引导学生对数轴上数的表示再深入思考：如果不满1个单位“1”，我们可以用怎样的数来表示呢？——今天学习的分数，也可以在数轴上找到它对应的点。在图5引发的分一分、找一找的活动中，分数在计数方式上的独特之处就显而易见了。在对“整数、小数相邻计数单位之间的进率都是10，那分数呢？也有这样的关系吗”的叩问中，学生对数的产生是源于人类在生产和生活中计数的需要的感悟，也更深刻了。

可见，在“计数单位”“十进制”“位值制”等核心概念的统领下，学生对分数的认识逐步从感性走向了理性，由抽象具体走向了抽象一般。

四、结构化练习：在“连续”运用中，拓展概念的内涵与外延

数学概念的理解、拓展离不开运用。由于三年级都是直观认识分数，因此，在练习环节，教师需要再次创设真实情境，把学生领到生活中去“发现”分数，研究生活中与分数有关的知识，把对分数的理解迁移到新的情境中，充分揭示并加以简单应用。

“认识一个物体的几分之一”的教学，可以利用开始的“公园野餐”情境，关注小芳和小明野餐用的正方形垫子，让学生用分数来表述它的边长与周长的关系（如图6），还可以鼓励学生根据垫子的大小与公园草坪大小的关系，推理并画出公园的形状与大小（如图7）。

“认识一个整体的几分之一”的教学，可以创设走进超市的情境，从养乐多和纸巾等物品的包装（如图8）中联想出一些分数，引导学生感悟到：同样的整体，平均分的份数不同，得到的分数就不同。也可以创设有趣的拔河比赛情境（如图9），让学生说说：图中框出的一个男孩，占左边两个男孩人数的几分之一？占拔河人数的几分之一？占所有人数的几分之一？由此，引导学生明白：同样是一份，一个整体变了，那么它们的关系也变了。还可以创设有趣的贴拇指游戏，给出9个大拇指贴纸，请学生拿出三分之一，接着再拿出剩下的三分之一。学生在有趣的操作活动中，感悟到：都是三分之一，有人拿了3个，而有人却拿了2个。原来，“一个整体变了，它的三分之一也就变了”。

“分数的意义”的教学，对生活中的分数理解与分析则更显理性。对“一节课的时间是23小时”与“这节课的时间大约已经过了34”这两句话，学生借助几何直观（如图10）展开分析，强烈地感受到分数中单位“1”的重要性。同时，也认识了一些新的数量关系，提高了发现和提出问题、分析和解决问题的能力，完善了认知结构。

总之，数学结构是匹配认知结构的弹性结构，结构的完善是螺旋向上的，不是一蹴而就的。让学生在不同的年龄朝着同一个目标迈进，必将推动知识的整体融合与学习方式的变革。