分类讨论思想在高中数学解题中的应用

杨利刚

一、认识分类讨论

在数学解题时，会遇到这样一种情形，当求解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的规则继续下去了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，且无法一并解决，这就需要在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行求解，这里体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就体现了分类讨论（整合）的思想方法．

二、引发分类讨论的因素

数学解题中，引发分类讨论的因素较多，常见的情形诸如：

（1）由数学概念及特性，如绝对值的概念；直线斜率的概念；等比数列求和时应考虑公比q=1 及q≠1 等；

（2）由教材中的数学规定，如空集是任何集合的子集；零向量与任意向量共线等；

（3）由函数的性质，如指数函数、对数函数的单调性，需要考虑其底数a 是a>1 还是0

（4）涉及图形的形状、位置不能确定，需要对可能的情形作出分类讨论；

（5）含有参数的数学问题，需要对参数的可能取值情况，进行分类探讨解决，等等．

三、分类讨论解题运用的注意点

在运用分类讨论思想解题思考时，应该注意以下几个方面：（1）明确引起分类的原因；（2）掌握准确分类的方法；（3）分类的标准，做到不重复、不遗漏；（4）注意分类结论的整合．

分类讨论，作为高中数学重要的思想方法，是高考重点考查内容之一.纵观近年的数学高考，无论是选择题、填空题、还是解答题，都非常重视对分类讨论思想的考查.为了更好地掌握运用分类讨论思想，下面就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考．

四、分类讨论在数学解题中的运用举例

上篇：以概念性质，数学规定、位置关系、含有参数、运算需要等为分类依据，确定分类标准，先分而击之，再统而摄之，正确解答问题．

（1）由数学概念来明确分类标准

按照数学的概念、定义，实施逻辑划分，解答问题时按部就班地进行分类讨论．

例如：分段函数的概念，绝对值的定义：

|a|=a（a>0）

0（a=0）

-a（a<0） ．

例1（2022年新高考Ⅱ卷）曲线y=ln｜x｜ 过坐标原点的两条切线的方程是______，______．

解析（1）当x>0 时，y=lnx .设切点为（x0，lnx0） ，由y′=1x ，所以y′｜x=x0=1x0 ，所以切线方程为：y-lnx0=1x0（x-x0） ，又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0（-x0） ，得x0=e ，所求切线方程为y-1=1e（x-e） ，即y=1ex.

（2）当x<0 时，y=ln（-x） ，设切点为（x1，ln（-x1）） ，由y′=1x ，所以y′｜x=x1=1x1 ，所以切线方程为y-ln（-x1）=1x1（x-x1） ，又切线过坐标原点，所以-ln（-x1）=1x1（-x1） ，得x1=-e ，所以切线方程为y-1=-1e（x+e） ，即y=-1ex ．

综上，所求的切线方程为：y=1ex ，y=-1ex ．

点评求解切线的斜率，需要涉及求导，而当前的含绝对值形式无法直接求导，利用绝对值的概念进行去绝对值转化，使求导成为可能，将问题解决．

例2（2021年新高考1卷）函数f（x）=｜2x-1｜-2lnx 的最小值为______．

解析由题意知函数f（x） 的定义域是（0，+∞） ，

所以（1）当0

（2）当x>12 时，f（x）=2x-1-2lnx ，由f（x）′=2-2x，得121 时，f（x）′>0 ，此时f（x） 单调递增，又函数f（x） 的图像不间断，综上有：f（x） 在（0，1］ 上單调递减；在（1，+∞） 上单调递增，因此，f（x）≥f（1）=1 ，所以所求函数的最小值为1 ．

点评去绝对值，分别考虑函数在0，12 及（12，+∞） 上的单调性，再进行整合，可以判断函数在定义域上的单调性，即f（x） 在（0，1］ 上单调递减；在（1，+∞） 上单调递增，从而将结果得出，特别是得到分类结论后的整合，可以正确反映函数在定义域上单调性的全貌．

例3已知函数

f（x）=

（a-3）x+5，x≤1

2ax， x>1是（-∞，+∞） 是减函数，那么a的取值范围是（）

A.（0，3） B.（0，3］

C.（0，2） D.（0，2］

解析由于函数

f（x）=（a-3）x+5，x≤x

2ax， x>1是（-∞，+∞） 是减函数，则当x≤1时，是减函数，则a-3<0，……①

当x>1时，是减函数，则2a<0，……②

由单调递减的定义可得，（a-3）×1+5≥2a，……③

由①②③，解得0

点评分段函数首先分段处理，① 使函数在区间（-∞，1］ 上是单调递减；② 使得函数在区间（1，+∞） 上单调递减，然后再整合，要使函数在（-∞，+∞）上单调递减，还必须满足③．

（2）由教材中的数学规定引发分类讨论

教材中特别的数学规定，是为了知识结论体系的完整而作出的，因此在解题思考中，除

了一般性的正常思考外，不能遗漏特殊的情形，才能保证解题的严密性．

例如：空集是任意集合的子集；零向量与任意向量平行；零向量与任一向量的数量积为0，等等．

例3已知集合A=｛x｜x2+2ax-3a2=0｝ ，B=｛x｜x2-3x>0｝ ，若AB ，则实数a 的取值范围为（）

A.{0} B.{-1，3}

C.（-∞，0）∪（3，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）

解析集合B=｛x｜x2-3x>0｝=（-∞，0）∪（3，+∞） ，求解集合A ，当a=0 时，A=｛0｝ ，不满足AB ，当 时， 由题设AB ，则（1）a>0 时，-3a<0，a>3，得a>3 ，（2）当a<0 时，-3a>3，得a<-1．

综上，实数a的取值范围是a<-1或a>3 ，答案选D．

点评由集合中元素的互异性，求解集合A 时，首先要分a=0 和a≠0 两种情形，结合条件AB 运算时，要再分a>0 和a<0 两种情形.如果将集合A 变为A=｛x｜x2+2ax-3a2<0｝ 呢？由教材中的数学规定，空集是任意集合的子集，则要分A 是空集和非空集合考虑，就需要分类讨论，请同学们自己思考作答．

（3）根据数学中的性质确定分类标准

数学中的某些公式、性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件．

例如，圆锥曲线的性质-范围，函数的周期性等．

例4设B 是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0） 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足PB≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（）

A. 22，1B. 12，1

C.0，22D. 0，12

解析设P（x0，y0） ，由B（0，b） 及x20a2+y20b2=1 ，a2=b2+c2 ，得PB2=x20+（y0-b）2=a2（1-y20b2）+（y0-b）2=- c2b2（y0+b3c2）2+b4c2+a2+b2 ，因为-b≤y0≤b ，所以（1）当-b3c2≤-b ，即b2≥c2 时，PB2max=4b2 ，即PBmax=2b ，符合题意，由b2≥c2 得a2≥2c2 ，得0

（2）当-b3c2>-b ，即b2

综上，当b2≥c2 时，离心率e∈0，22 ，答案选C．

点评本题的实质是二次函数在相应范围上的最值问题，-b≤y0≤b 来自椭圆的性质1范围，从而需要分类讨论，得到正确结果．

例5已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R） ，在区间［1，e］ 上取得最小值4 ，则实数m 的值为______．

解析函数f（x） 的定义域是（0，+∞） ，

（1）当m≥0 时，f（x） 是［1，e］ 上的单调增函数，由题设f（1）=-m=4 ，得m=-4 ，与m≥0 不符，舍去；

（2）当m<0 时，由f′（x）=1x+mx2=x+mx2 ，可得：

① 当-m≤1 ，即-1≤m<0 时，f（x） 是［1，e］ 上的单调增函数，则f（1）=-m=4 ，得m=-4 ，与-1≤m<0 不符，舍去；

② 当1<-m

③ 当-m≥e ，即m≤-e 时，函数f（x） 在［1，e］ 单调减，则f（e）=4 ，即1-me=4 ，得m=-3e ，符合取值要求．

综上，实数m 的值为-3e.

点评（1）m≥0 及-1≤m<0 的情形，可以通過求导后合并处理，得到函数f（x） 是［1，e］ 上的单调增函数，此处分开思考，目的是帮助同学们培养直接观察判断意识．

（2）本题也可先考虑f（1）≥4，f（e）≥4， 得m≤-3e ，此时对x∈［1，e］ ，有f′（x）=x+mx2<0 ，即函数f（x） 在［1，e］ 上单调递减，从而得f（e）=4 ，得m=-3e .这是先考虑必要性，有效控制m的取值范围，再求解m的取值，当然不必刻意追求，应该是基本方法扎实掌握基础上的顺势而为．

（4）根据数学运算的需要确定分类标准

如偶次根式的被开方数为非负数，不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响，整体求解时寻找规律需要等．

例6正项数列｛an｝ 的前n 项和为Sn ，（an+1）2=4Sn ，记bn=Sn·sinnπ2+Sn+1·sin（n+1）π2 若数列｛bn｝ 的前n 项和为Tn ，则T100 的值为（）

A. -400 B. -200C.200D. 400

解析略解得：an=2n-1 ，Sn=n2 ，那么bn=n2·sinnπ2+（n+1）2sin（n+1）π2 ，

（1）当n=4k，k∈N* 时，b4k=S4k·sin 2kπ+S4k+1·sin4k+12π=（4k+1）2 ；

（2）当n=4k-1，k∈N* 时，b4k-1=S4k-1·sin4k-12π+S4k·sin4k2π=-（4k-1）2 ；

（3）当n=4k-2，k∈N* 时，b4k-2=S4k-2·sin4k-22π+S4k-1·sin4k-12π=-（4k-1）2 ；

（4）当n=4k-3，k∈N* 时，b4k-3=S4k-3·sin4k-32π+S4k-2·sin4k-22π=（4k-3）2 ．

则b4k+b4k-1+b4k-2+b4k-3=（4k+1）2-2（4k-1）2+（4k-3）2=8 ，所以T100=（b1+b2+b3+b4）+…+（b97+b98+b99+b100）=25×8=200．

点评由sinnπ2，n∈N* 周期性的取值，合理地分为四种情形分别进行求解，尔后观察发现规律特征，采用整体策略处理问题．

（5）根据参数的变化需要确定分类标准

一般指数学中某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．

例7设函数f（x）=13ax3-12（a+1）x2+x+9，（a∈R） ，求f（x） 的单调减区间．

解析依题意得f′（x）=ax2-（a+1）x+1<0（ax-1）（x-1）<0 ，

（1）当a=0 时，原不等式解为x>1 ；

（2）当a≠0 时，原不等式化为a（x-1）（x-1a）<0 ；

①若a<0 ，则原不等式化为（x-1）（x-1a）>0 ，

易知1a<1 ，∴不等式的解为x<1a 或x>1.

②若a>0 ，则原不等式化为（x-1）（x-1a）<0 ，

（ⅰ）当a>1 时，1a<1 ，不等式解为1a

（ⅱ）当a=1 时，1a=1 ，不等式无解；

（ⅲ）当01 ，不等式解为1

综上所述：当a<0 时，减区间为-∞，1a，（1，+∞） ；当a=0 时，减区间为（1，+∞） ；

当01 时，减区间为1a，1 ．

点评此题为典型的含参一元二次不等式的基本解法，涉及到要讨论的情形比较复杂；必须先讨论二次项系数是否为 >0，=0，<0 .三种情形，然后再每种条件下单独讨论根的大小，并结合二次函数图像性质得出解集，解答时做到分类对象确定、标准统一、不重复不遗漏．

例8已知函数f（x）=lnx+2x-2，g（x）=xlnx-ax2-x+1

（1）证明：函数f（x）在a≤0 内有且仅有一个零点；

（2）假设存在常数λ>1，且满足f（λ）=0，试讨论函数a≤0 的零点个数．

解析（1）解略；

（2）令g（x）=0，即xlnx-ax2-x+1=0，从而有ax=lnx-1+1x，令φ（x）=lnx-1+1x（x>0），从而g（x）的零点个数等价于y=ax与φ（x）图像的交点个数．φ（x）=1x-1x2=x-1x2，令φ（x）=0，得x=1，所以φ（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，且φmax（x）=φ（1）=0，当a=0 时，y=ax与φ（x）图像有一个交点．

当a<0 时，y=ax图像经过二、四象限，与φ（x） 图像无交点．

当a>0 时，y=ax图像经过一，三象限，与φ（x）图像至少有一个交点，当y=ax图像φ（x）图像相切时，设切点横坐标为x0 ，则有a=1x0-1x20

ax0=lnx0-1+11x0，即有lnx0+2x0-2=0，从而x0=λ，此时a=1λ-1λ2=λ-1λ2>0.

所以，当时a＝λ-1λ2时，y=ax 图像φ（x）图像有两个交点；

当0

当a>λ-1λ2时，y=ax图像与φ（x）图像有一个交点．

综上所述，当a<0 时，g（x）没有零点；当0λ-1λ2或a=0 时，g（x）有一个零点．

点评本题中a≤0 时，情形比较明朗，a>0 时，还需进行二级分类讨论，分类标准是λ-1λ2 ，最后将分类结论整合．

（6）由几何中相对位置不确定引起的分类讨论

如直线和圆锥曲线的位置关系、点和圆的位置关系、圆和圆的位置关系，立体几何中位置关系探讨，等等．

例9若双曲线的渐近线方程是y=±34x ，则该双曲线的离心率为______．

解析（1）当双曲线的焦点在x 轴上时，有ba=34 ，得离心率e=ca=54 ；

（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，有ab=34 ，得离心率e=53．

点评上例由双曲线的焦点位置不同，引起了分类讨论，需要考生在学习数学时，扎实掌握数学的基本概念．

例10已知直线l 过点P（1，2） ，且与圆C：x2+y2=2 相交于A，B 两点，若ΔABC 的面积为1 ，则直线l 的方程为______ .

解析（1）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为： y=k（x-1）+2 ，即kx-y-k+2=0 ，因为SΔABC=12，CA·CB·sin∠ACB=1 ，所以sin∠ACB=1 ，得∠ACB=90° ，因此圆心到直线的距离为1 ，那么-k+2k2+1=1 ，解得k=34 ，所以直线方程为：3x-4y+5=0 .

（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x=1 ，经验证，符合题意．

综上，所求的直线方程为：3x-4y+5=0 或x=1 ．

点评直线的斜率k=tan α ，而当α=90°时，直线的斜率不存在，但直线是存在的，垂直于x 轴，因此，作直线斜率存在与不存在的分类讨论，避免漏解．

例11（多选题）已知圆锥的底面半径为4 ，母线长为5 ，则下列关于圆锥的说法正确的是（）

A. 圆锥的体积为16π

B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为45π

C. 该圆锥外接球的表面积为6259π

D. 过圆锥两条母线的截面面积最大值为 252

解析本题容易漏选D .设圆锥轴截面三角形顶角为 θ ，母线长为l ，则S截面=12l2sin θ ，① 当θ∈（0，π2） 时，S轴截面 最大；如图（1），② 当θ∈π2，π 时，S截面 的最大值为12l2 ，此时，sin θ=1 ，见图（2）.所以，正确选项是ACD．

点评过圆锥两条母线的截面面积最大值，要对圆锥轴截面顶角进行分类讨论，当顶角是锐角时，如图（1），S截面 的最大值为轴截面时，即S截面max=12×AB×PO ；当顶角是钝角或直角时，如图（2），S截面max=12×PA×PC=l22 ，l 为母线长．

（7）根据实际问题的具体情况进行分类讨论

如排列、组合问题，概率与统计的实际应用题等．

例12某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有种.（用数字作答）

解析由题意，设6个节目的顺序为下图中1，2，3，4，5，6.

①甲排在第一位，乙与丙挨着，可以在2、3，3、4，4、5，5、5中任选一个，剩余的3个作全排列，共有C14A33=24 种，

②甲排在第二位，乙、丙可以在3、4，4、5，5、6中任选一个，剩余的3个

全排列，共有C13A33=18种，故编排方案共有24+18=42种，故答案为42．

点评甲的位置影响乙的排列，所以甲的位置比较特殊，从甲入手进行分类讨论．

例13设集合A=（x1，x2，x3，x4，x5）xi∈-1，0，1，i=1，2，3，4，5 ，求集合A 中满足条件：1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3 的元素个数．

解析分以下三种情况讨论：

（1）x1+x2+x3+x4+x5=1 ，则上述五个数中有一个数为1 或-1 ，其余四个数为0 ，此时集合A 含有C15C12=10 个元素；

（2）x1+x2+x3+x4+x5=2 ，则上述五个数中有两个数为1 或-1 ，其余三个数为0 ，其中这两个数的所有可能情况有22=4 种，此时A 含有4C25=40 个元素；

（3）x1+x2+x3+x4+x5=3 ，则上述五个数中有三个数为1 或-1 ，其余两个数为0 ，其中这两个数的所有可能情況有23=8 种，此时A 含有8C35=80 个元素．

综上所述，满足条件的集合A 中有10+40+80=130 个元素．

点评若从反面考虑，同样也需要三种情况的讨论：x1+x2+x3+x4+x5=0 时有1 种；x1+x2+x3+x4+x5=4 时有24C45=80 种；x1+x2+x3+x4+x5=5 时有25=32 种，故集合A 中有35-1-80-32=130 个元素．

下篇：面对复杂问题情形，把握全局，审时度势地主动出击，分类讨论逐步推进．

当面对复杂问题，其分类因素不明确或无法直接套用分类情形时，应该根据解题目标，主动寻求分类，逐个击破，展开有条理、有层次的思考和推进，使问题解决富于条理，且有严密逻辑，培养发展高阶数学能力．

例14已知：函数f（x）=x2+qx+r，1m+2+qm+1+rm=0（m>0）.

（１） 判断f（mm+1）的符号；

（２） 证明：函数f（x）=r 在区间f（0，1） 上恒有零点．

解析（１）略解由1m+2+qm+1+rm=0，得mm+1q+r=-mm+2，所以fmm+1=m2（m+1）2+mm+1q+r=m2（m+1）2-mm+2=m（m+1）2 （m+2）<0，（因为m>0）．

小题（2）分析：根据函数零点存在定理，结合问题（１）的结论，mm+1∈（0，1） ，且f（mm+1）<0 ，那么只要证明f（0）=r 及f（1）=r 中至少有一个为正即可.而f（0）=r ，f（1）=1+q+r=1+r-m+1mr-m+1m+2=1-rm-m+1m+2=1m+2-rm（m>0）．

虽然无法单独判断f（0）及f（1）为正，但紧扣问题所要证的结论，对r的符号进行分类讨论的想法，便自然产生了．

（1）当r>0时，得f（0）>0：（2）当r≤0时，得f（1）>0，因此，无论实数r取何值，f（0）及f（1）中必有一个大于零，问题（２）得证．

点评此处对字母 的分类讨论，是针对问题所证结论的主动出击，是经过思维活动后的理性抉择.我们也可看到，运用分类讨论后，其证明过程就显得巧妙而轻松．

例15设函数f（x） =（x+a）lnx，g（x）=x2ex.已知曲线y =f（x）在点（1， f（1））处的切线与直线2x-y =0平行．

（1）求实数a的值；

（2）是否存在自然数k，使得方程f（x） =g（x）在（k，k+1）内存在唯一的实数根？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

解析（1）由f′（1） =2，可得a=1．

（2）设h（x） =f（x） -g（x） =（x+1）lnx =x2ex（x>0）.首先明确问题所要解决的目标，即函数h（x）在（0，+∞）上有无零点？若有，会有几个？零点大致在什么范围？

结合函数零点存在定理，就需要研究函数值的正负，判断函数的单调性，从而来确定函数有无零点及零点的大致范围．

明确了解题的目标和方向，就可以分情况逐一探讨和加以推证．

（i）当x∈（0， 1］时，h（x） =（x+1）lnx =x2ex< 0，即在區间（0， 1］上， h（x）的函数值始终为负，因此，函数在区间（0， 1］上不存在零点．

当x∈（1，+∞）时，函数h（x）的符号不能确定，且函数的单调性也不明确，需要从它的导函数入手，加以研究.h（x）的导函数为h′（x） =lnx +1x+1+x（x-2）ex.观察导函数的代数式结构，并非是通常熟悉的直接求出导函数零点，从而确定函数的单调性的情形．

通过观察，可以发现在［2，+∞）上，h′（x） >0，即函数h（x）在［2，+∞）上是单调递增的，那么对x∈［2，+∞）及x∈ （1， 2）继续进行分类讨论．

（ⅱ）当x∈［2，+∞）时，h′（x） >0，因此，h（x）是［2，+∞）上的单调增函数，又h（2） =3ln 2-4e2 =ln 8 =4e2>0，那么h（x）在区间［2， +∞）上的函数值始终是正的，故在区间［2，+∞）上函数h（x）不存在零点．

接下来研究函数在区间（1， 2）上的零点情况．

（ⅲ）在（1， 2）上，由于h（x）， h′（x）的符号都是不明确的，因此需要研究h′（x）的导函数.设φ（x）=h′（x） = lnx =1x+1 =x2-2xex，则φ′（x）=

1x =1x2+2x -2-（x2 -2x）ex

=x-1x2+-x2+4x-2ex =x-1x2+-（x-2）2 +2ex，当x∈ （1， 2）时，φ′（x）>0，即h′（x）在（1， 2）上单调递增.又h′（x） =h′（1） =2-1e>0，因此h（x）在（1， 2）上是单调递增的，同时，由h（1） =-1e<0， h（2） =ln 8 =4e2= 0，而函数h（x）的图像是不间断的，故函数h（x）在（1， 2）上存在唯一零点．

因此，存在自然数k=1，使方程f（x） =g（x）在（1， 2）上存在唯一的实数根．

点评本例中对x取值的分类讨论，是紧紧围绕问题目标，即探索判断函数h（x）的零点情况.在解题思考受阻时，深入观察函数解析式特征的顺势而为，是问题解决的理性抉择和合理把控.

总之，分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，对于培养考生思维的逻辑性、条理性和概括性，以及提高分析问题和解决问题的能力无疑具有很大的帮助.然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，我们应弄清楚引起问题分类讨论的主要原因，做到有的放矢，这样才能精准地进行分类讨论，从而达到快速、准确的解题效果．

责任编辑徐国坚