由2022年高考数学题引发思维能力一体化训练

周日桥

高考是高三复习备考的风向标，2022年高考数学依据课程标准，深化基础考查，突出主干知识，创新试题设计，加强教考衔接，很好地引导和促进高三复习备考.笔者通过研究，发现命题方向是突出强基计划之基础导向，着重体现数学育人功能，尤其彰显要学好数学所具备的思维能力.

一、考题回顾：思维能力多层次考查

什么是思维能力？思维能力是认知能力的一种，包括观察、比较、类比、归纳、运算推理、可逆思维及分析综合等能力.数学高考设置综合性的问题和较为复杂的情境，如新高考数学Ⅰ卷第22题重视基于数学素养思维能力的考查，在数学知识、数学能力和创新思维都有所体现，对高三考生的复习备考给予了很好的思考与启迪.

例1.（2022年新高考Ⅰ卷第22题）已知函数f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值.

（1）求a；

（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【答案】（1）a=1.（2）证明：略.

【试题评析】问题（1）通过求导数可求出函数的单调性，于是可求得相应最小值，再通过对自变量x进行分类讨论便可求得a.问题（2）根据（1）可得当b>1时，ex－x=b和x－lnx=b的解的个数都为2，于是可构建一个新函数h（x）=ex+lnx－2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f（x），g（x）的大小关系，根据存在直线y=b与曲线y=f（x），y=g（x）有三个不同的交点可得b的取值，再根据两類方程的根的关系可证明三根成等差数列.

典型错误主要表现有大概三分之一的考生出现逻辑欠严密，如由f（x1）=f（lnx0）直接得到x1=lnx0，缺乏对f（x）的单调性进行论述或讨论方程f（x）=b解的情况，漏掉了不可或缺的推理步骤.通常求函数的最值问题都是借助导数讨论函数的单调性，分析过程中往往要对参数进行分类讨论，但对于不同方程的根的性质，则需要利用方程的特征找到两类根之间的关系进行求解.

例2.（2022年新高考I卷第21题）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求ΔPAQ的面积.

【答案】（1）－1；（2）1629.

【试题评析】求解本题思路大概有四：一是可以联立直线与双曲线，通过消元得到关于x的一元二次方程，再利用韦达定理得到两根关系，结合直线斜率定义便可求出，运算量大，是一种常用的通性通法；二是利用设线求点的思路进行化简，通过直线与圆锥曲线方程联立消元，由设而不求也可求出，运算量也大；三是利用直线的参数方程设线求点，运算量较少，过程较简单；四是采用齐次化的解法，代数变形较为简单，运算量也较少，过程更为简洁.概而论之，类似直线与双曲线的综合问题，复习中要考虑直线斜率、直线与曲线的关系，常用方法是联立方程消参法或点差法，借助设而不求的技巧，再结合定值、三角形面积等条件进行转化、化归，目的是考查考生的推理、运算、验证等思维能力，体现由能力立意转向素养立意，对考生的思维能力要求较高.

例3.（全国甲卷理科第20题、文科第21题）设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.

【答案】（1）y2=4x；（2）AB：x=2y+4.

【试题评析】全国甲卷理科第20题、文科第21题，其中第（1）小问由定义得|MF|=p+p2，结合已知条件很容易求得结果.第（2）小问依题可设点的坐标及直线MN：x=my+1，联立两方程利用韦达定理得kMN=2kAB，之后由正切公式进行推导，结合基本不等式得kAB=22.再设直线AB：x=2y+n，结合韦达定理便可求解.解题的巧妙之处在于利用方程对进行化简，通过联立方程用韦达定理得到两横坐标的和与积关系，综合考查了直线、抛物线、三角函数、不等式等知识，体现了复习中要抓住问题本质进行分析的思维能力.

二、难度分析：选拔性功能愈加突出

1.运算素养要求高，小题运算难度大

今年高考题不仅大题难度大（如前提及的题目1-3），而且小题运算量大增，绝大多数考生按以往经验和解题套路都拿不了高分.由于小题难度增大导致用时过长，严重影响了后面大题的解答时间，再加上考试紧张增加了考生心理焦虑，大大制约了正常水平的发挥，更不可能超水平发挥了.又如2022年新高考全国Ⅰ卷中同一知识点考了多次，如第7、10、12、15、22等都考查导数（以往同一张卷子不会同一知识点考那么多次），单求切线就考了几次.在这种情况下，考生具有良好的思维能力就显得尤为重要了.

例4.（全国乙卷理科第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1=1+1a1，b2=1+1a1+1a2，b3=1+1a1+1a2+1a3，…，依此类推，其中ak∈N*（k=1，2，…）.则（）

A.b1

C.b6

【答案】D.【试题评析】根据ak∈N（k=1，2，…），再利用数列bn与an的关系判断bn中各项的大小，便可求得答案D正确.数学试卷选取我国科技发展与进步中取得的重要成就作为试题背景，体现数学的应用价值和时代特征，激发考生树立为国家服务、奉献科技事业的信念.如上面全国乙卷理科第4题以嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为情境，考查学生综合应用数列、函数、不等式等基本知识的思维能力.

例5.（新高考Ⅱ卷第3题）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑的剖面图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5，

CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=（）

A.0.75______B.0.8______C.0.85______D.0.9

【答案】D.

【试题评析】根据题意可设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，于是可得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，代入化简可得k3=0.9.试卷以中华传统文化为情境，让学生领略中华民族的智慧和数学应用的成果，从而树立文化自信心，增强民族自豪感.如上面新高考Ⅱ卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景，考查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决实际问题的思维能力.

2.题型灵活多样化，套路刷题难得分

2022年高考题体现了“弃模式，去套路，求创新”的特点，与平时考生心目中的“机械刷题”大相径庭，考生感叹“长时间刷题到头来只刷了个寂寞”，许多考生本想数学科拿高分结果大失所望，深感平时为数学的大量付出而懊恼不已.显然，今年解答题大部分的第（1）问运算量和思维量都增加了许多，不少考生为此大为困扰.例如，2022年新高考Ⅰ卷第18题第（1）问根据已知条件不是得到某个值（角度或三角函数值），而是得到一个两个角的关系式（角B与角C的函数关系式）；第（2）问从题目特征来看，不少考生会认为用余弦定理会比较简单，结题用正弦定理进行“边化角”更容易.或许不少考生感悟要“不畏浮云遮望眼”深入剖析，掌握题目特征和思维考查要求才是王道.

例6.（新高考Ⅰ卷第18题）记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

【答案】（1）π6；（2）42－5.

【试题评析】第（1）小问依据诱导公式（二倍角和两角和差）进行化简，由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B得cos（A+B）=sinB，再结全三角形性质便可求得.

第（2）小问可由第（1）小问得到两个关系式：C=π2+B，A=π2-2B，再利用正弦定理及二倍角公式将a2+b2c2化简成为4cos2B+2cos2B－5，之后再利用基本不等式便可求得结果.

但实事上，第（2）不会运用正弦定理进行“边化角”运算的大有人在，大概占比13%，不少考生只写了a2+b2c2=2abcosC+c2c2，出现这种情况的原因大致有三：一是看到边长的平方第一意识是用余弦定理；二是在正弦定理的训练中，往往把重心放在ab或sinAsinB这类形式的化简上，对于二次齐次式如a2b2或sin2Asin2B这类的化简比较少；三是考生缺少多变量问题转化为单一变量问题的思想方法，导致看到a2+b2c2直接就感到焦虑而无从下手.

3.核心素养最重要，改造题目收益多

研究发现，高考题几乎都是“源于教材而又高于教材”的原创题，2022年新高考Ⅰ卷再一次彰显了这一特点，而且难度大大增加，主要是考查数学核心素养，其关键还是考查考生的思维能力.显然，以往的大量解题刷题、校外培训套路等优势已明显应付不了了，这进一步昭示着复习要回到知识原点，深入研究教材学法，灵活运用通性通法，尝试改编课本题目，不盲目依靠所谓的教辅宝典.

三、回归教材：思维能力一体化训练

研究发现，要突破2022年新高考Ⅰ卷题目之难，其前提还是要培养好学生的思维能力，尤其是要培养好题目理解、信息处理、批判质疑和语言表达等方面的能力.考生一看到题目，阅读理解能力起首要作用，审题不能出现偏差；分析过程中，信息处理能力起关键作用，整合不能出现错误；求解过程中，批判思维能力起重要作用，推导不能出现缺漏；书写过程中，语言表达起主要作用，书写要规范，勿漏了不可或缺的步骤.

1.素养导向，促进思路一体化发散

2022年高考题提倡应用已有知识和方法去解决一些“活”的现实问题.例如本文题目1在核心素养导向下，要注意以下两种思路：一是用同构的数学思想，观察f（x），g（x）的结构，只要将f（x）中的x替换成lnx，即为函数g（x）的结构.类似的同构思想在函数中较为常见，如x1ex1=x2lnx2=lnx2·elnx2，左端的x1與右端lnx2的均可作为函数f（x）=xex的自变量的值.二是采用数形结合这一重要的数学思想，巧妙地利用y=x+b，y=ex及y=x－b，y=lnx关于y=x对称，得到四边形ABCD为矩形，所以对角线互相平分，对角线中点横坐标相等，从而可以证明x1，x2，x3成等差数列.用数形结合法时要强化思维能力训练，由图形的感性直观上升到理性思维.

2.钻研教材，重视母题一体化拓展

高考题中基础题通常占60%，这些题几乎都是源于教材的改编题或创新题.因此，复习备考要以大单元为统领，对教材中的例题、练习和习题进行深度研究、变式拓展，充分用好“母题”开展系列化、专题式探讨，避免大量的机械刷题.

比如不少考生不重视反函数法的应用，但如果能熟练掌握，往往可起到“事半功倍”“眼前一亮”之效.此思路来源于：

教材题目1.（人教版选修2-2第40页Ｂ组第1题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：lnx0.

罗增儒教授提到“教材是课程的载体，因此高考命题最具体、最方便的依据其实是教材.”高考题往往是对教材进行补充、变式、拓展，给考生的感觉应该是似曾相识而又似乎没见过，在教材中却又能找到“源头”.

例7.（2020新高考Ⅰ卷第21题）已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.

【试题解析】（第（2）问：反函数法）f（x）=aex－1-lnx+lna1等价于aex-1≥lnx－lna+1=lnexa，由于y=aex－1与y=lnexa互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.我们只需aex－1≥x即可.因为aex－1≥x，所以a≥xex－1.

不妨令g（x）=xex－1（x>0），则g'（x）=1－xex－1在（0，1）上g'（x）≥0，g（x）单调递增，在（1，+）上g'（x）<0，g（x）单调递减，所以g（x）max=g（1）=1，所以a∈［1，+）.通过以上的解法分析，利用反函数法实质上是找“中间量”，直线y=x只是“中间量”的一个代表，借助于这样代表的“中间量”，可以让过程简单而思维能力又得到进一步训练.找“中间量”是证明不等式常用办法，这种方法在比较大小、数列放缩、数学归纳法证明中常有应用.究其原因，这些“母题”还是来源于教材，比如：

教材题目2.（2019人教A版高中数学选择性必修第二册第104页复习参考题第18题）

已知函数f（x）=ex－ln（x+m）.当m≤2时，求证f（x）>0.

教材题目3.（人教版选修2-2第40页Ｂ组第1题第（３）题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：ex>x+1，x≠0.

立足教材生成变题，是高考命题一个不争事实，根据“母题”进行编题是命题的一个趋势.如何正确使用教材？如何深入研究教材？如何对教材进行改编？这很值得高三考生深入思考和探究.

3.注重通法，强化单元一体化复习

高考中的通性通法迁移属于下位迁移，2022年高考有一个很突出特点就是考查通性通法，这在很大程度上要求學生能将知识、思维和方法内化为自身的应用系统.

比如上述题目1（2022年新高考I卷第21题）在解答完成后，为了强化通性通法的掌握和应用，还应该增加以下的变式思考：一是可将点A（2，1） 改为点A'（22，3），其他条件不变，检验自己的掌握程度；二是将点A（2，1） 改为A（x0，y0）（y0≠0），将定点问题转化为动点问题，培养通性通法思维；三是

将条件与所求问题适当对调，比如在知道a2=2，kl=-1等条件下，求kAP+kAQ；四是将双曲线改为椭圆或抛物线，情况又会怎样？如此这般，不断引导自己进行变式训练，通过一个题了掌握一类题或一个小体系，让通性通性的训练成为一种复习常规.

4.精选资料，重视融合一体化重构

高三教材教辅资料各类繁多、参差不齐，而且从学习目标、知识结构、专项训练、随堂检测、作业拓展等都应有尽有.面对智能化精细化的海量信息，学生的选择能力和整合能力就显得尤其重要了.新课标强化问题解决能力和综合应用能力，“无情景不复习”，复习中要充分理解问题情景，结合方程与函数、不等式、图形的变化、抽象与数据等分析问题和解决问题，从而训练自己能应对有关应用型、综合型和探究型等情景的思维能力，减少机械记忆、死记硬背、刷题套路等低效做法，学会主动思考、观察猜测、运算推理、数据验证和直观想象等思维方法.

四、结语

对高中生学习而言，“冰冷的美丽”背后往往有“火热的思考”，爱因斯坦曾说：“发展独立思考和独立判断的能力，应当始终放在首位，而不应当将获得知识放在首位.”2022年高考题充分体现教材具有很多概念性和逻辑性很强的知识内容，这需要考生会根据有关的问题情景，通过一体化训练提高自己的思维能力，从而达到了解、体验或感悟数学的思维之美、学习之美和文化之美.

【本文系广东省教育科学规划2021年度中小学教师教育科研能力提升计划项目“基于‘学习罗盘2030的中小学数学一体化教学实践研究”（项目编号：2021YQJK012）；广东教育学会“十四五”教育科研重点课题“粤港澳大湾区背景下‘五位一体协同育人模式研究”（项目编号：GDESH14003）阶段性研究成果】

责任编辑徐国坚