高中数学填空题的答题策略

高中数学填空题的答题策略山东省青岛大学附属中学高中李锦昱

高中数学填空题是近几年高考得分率非常低的题型，因其只写最终结果，因此对运算的速度和准确性要求很高.下面，我结合最近几年的高考对填空题的解题策略分几个部分加以总结，期望对读者的备考有所帮助.四道填空题中，第13题和第14题大多属于中档偏易题，无论是考查函数、三角、向量、不等式、数列、直线与圆、复数、排列组合二项式定理或概率统计都是要快速准确地得出结果.第15题和第16题作为填空题的压轴题，主要以立体几何（大多与截面和球有关）、解析几何（在双曲线和抛物线的等内容设问比较集中）、解三角形、函数与导数等内容的考查为主．

一、立体几何填空题的考查类型与答题策略

（一）球的内切与外接

类型1：题干设置对棱相等的四面体可构造长方体模型

例1.（2022年5月济南三模第16题）在四面体ABCD中，已知AB=CD=25，AC=BD=25，AD=BC=4，记四面体ABCD外接球的球心到平面ABC的距离为d1，内切球的球心到点A的距离为d2，则d1d2的值为．

解析：使六条棱恰好是长方体的六条面对角线，本题中外接球和内切球球心重合于长方体体对角线的中点O，d1为内切球的半径r，d2为外接球的半径R，设长方体的长宽高分别为a，b，c，则VABCD=13abc，3V=Sr，a2+b2+c2=4R2，由a2+b2=a2+c2=20，b2+c2=16，解得a=23，b=c=22，R=7，r=32，故d1d2=2114．

注：一般涉及内切球可用等体积转化求解其半径．

类型2：作好轴截面，注意发挥三角公式的工具性作用

例2.（2022年5月潍坊模拟（一）第16题）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，过点A且与直线CD平行的平面α将长方体分成两部分，且分别与棱DD1，CC1交于点H，M．

（1）若DH=DC=9，则三棱柱ADH-BCM外接球的表面积为 ；

（2）现同时将两个球分别放入被平面α分成的两部分几何体内，在平面α变化过程中，这两个球半径之和的最大值为 ．

解析：（1）若DH=DC=9，则三棱柱ADH-BCM外接球等价于正方体的外接球，其直径2R=93，外接球的表面积为4πR2=243π.

（2）設AB足够长，如图，作ΔBCM和梯形BB1C1M的内切圆，α+β=π4，则tan（α+β）=tan α+tan β1-tan αtan β=1，tan α=r19-r1，tan β=r210-r2，10r1+9r2-r1r2=45，r1=45-9r210-r2，r1+r2=45-9r210-r2+r2，设r1+r2=t整理可得r22-（t+1）r2+10t-45=0，方程在区间（0，9）有正实数根，判别式满足Δ=t2-38t+181≥0，解得t≤19-65或t≥19+65（舍），故r1+r2的最大值为19-65.故填：243π；19-65．

注：本题易错点是认为r1=r2时对应的值为最大值，此时求出的结果为19-181（事实上，19-65=19-180>19-181）．

（二）和截面与交线有关问题注意作出截面和交线

例3.（2022深圳一模12改编）如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH底面是边长为4的正方形，CG=m，点M为CG的中点，点P在底面EFGH上运动，则当m=4时满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为；当m=433时，满足∠APM=π2的点P的轨迹长度为．

解析：设EF，EH的中点分别为Q，T，满足BP⊥AM的点P的轨迹为线段QT，且QT=22；当m=433时，长方体ABCD-EFGH中，以AM为直径的球面与底面EFGH恰好相交（AM=1033，r=533，球心到上底面的距离d=3），若点P使得∠APM=π2，设AM的中点为O，底面EFGH的中心为O1，则OO1=3，点P的轨迹是以O1圆心，半径为433的圆（或利用空间向量可得A（4，0，0），M（0，4，233），P（x，y，433），AP·MP=0，（x-2）2+（y-2）2=163），但轨迹长度并不是整个圆周833π，注意到半径r=433>2，因此圆上部分圆弧在上底面（正方形）之外，且这四段圆弧的圆心角恰好都是π3，轨迹长为（2π-π3×4）×433=839π，故填：22；839π．

（四）折叠问题注意折叠前后变与不变

例4.（2022聊城市一模16）在矩形ABCD中，E是AB的中点，AD=1，AB=2，将ΔADE沿DE折起得到ΔA1DE，设A1C的中点为M，若将ΔA1DE绕DE旋转90°，则在此过程中动点M形成的轨迹长度为．

解析：如图，将ΔADE沿DE折起，则等腰直角ΔA1DE所在平面始于平面ABCD终于平面ABCD，连接CE，DE的中点为O，CE，CD的中点分别为P，Q，PQ的中点为O1，MP∥A1E，MQ∥A1D，点A旋转到点A1（Q视为运动的终点）时，相应中点从M0（AC，EQ的中点）旋转到点M（点A落回平面ABCD内QC的中点M1视为运动的终点），则所求动点M的轨迹是以O1为圆心的圆弧M0M，MO1=12A1O=24，所以M0M=28π（当然也可以计算M0M=12AA1）．

此题改编于下面的这道题：

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E是AB的中点，将ΔADE沿DE折起到ΔA1DE的位置，A1C的中点为M，在翻折过程中：①BM的长不变；②M在某球面上运动；③存在某个位置使DE⊥A1C；④存在某个位置使BM//平面A1DE.其中正确结论的序号是．

答案：①②④．

取CD的中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，平面MBF∥平面A1DE，所以BM//平面A1DE，④是真命题；∠A1DE=∠MFB=45°，DE=FB=2，MF=1，由余弦定理可得MB2=FB2+MF2-2FB·FMcos 45°=5，BM=5，因此①②都是真命题；假设存在某个位置使DE⊥A1C，因为DE⊥EC，则DE⊥平面A1EC，DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾，所以不可能有DE⊥A1C，即③是假命题．

（五）注意新定义问题

例5.在空间中，定义“点到几何图形的距离”为这个点到几何图形上各点距离中的最小值.已知正方形ABCD的边长为2，则到定点A距离为1的点围成的几何体的体积为；该正方形ABCD区域（包括边界以及内部的点）记为Ω，则到Ω距离为1的点所围成的几何体的体积为.（本题第一空2分，第二空3分）

解析：到定点A距离为1的点围成的几何体是半径为1的球，其体积为4π3；到ABCD的距离为1的两平面分别记为A1B1C1D1，A2B2C2D2，到正方形ABCD区域Ω距离为1的点所围成的几何体由三部分组成（如图所示）：正方体A1B1C1D1-A2B2C2D2、以AB，BC，CD，DA为轴的四个半圆柱体、以A1A2，B1B2，C1C2，D1D2为直径的14球，该几何体的体积为8+4π+4π3=8+16π3．

二、函数与导数填空题的考查类型与答题策略

最近两年的高考填空题中，每年都设置了一道函数与导数题，2022全国Ⅰ卷，2022全国Ⅱ卷，全国乙卷，全国甲卷，浙江卷，北京卷全部考了切线.切入点是切线问题，主要分为以下三种类型．

类型1：求某点处的切线方程（或斜率、倾斜角）

已知切点（x0，f（x0）），求切线的基本步骤是：①求f ′（x）和f ′（x0）、f（x0）；②切线方程为y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0）．

例1.已知f（x）为偶函数，当x<0时f（x）=ln（-x）+3x，则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．

解析：当x>0时f（x）=lnx-3x，f ′（x）=1x-3，f（1）=-3，f ′（1）=-2，切线方程为y-（-3）=-2（x-1），化简得2x+y+1=0．

注：偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数．

类型2：求经过某點的切线方程（或斜率、倾斜角）

切线经过某点（x1，f（x1））（不一定是切点），求切线的基本步骤是：①设切点为（x0，f（x0））；②求f ′（x）和f ′（x0）、f（x0）；③切线方程为y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），将（x1，f（x1））代入切线方程，求出x0，再将y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0）具体化．

例2.（2023年1月深圳龙华区期末第13题）过原点O（0，0）作曲线f（x）=log2x的切线l，则切点的横坐标为．

解析：f ′（x）=1xln2，设切点为（x0，y0），则k=1x0ln2，切线方程为y-log2x0=1x0ln2（x-x0），切线过原点O（0，0）即log2x0=1ln2=lneln2=log2e，x0=e，切点为（e，log2e），切点的横坐标为e．

类型3：一条公切线问题

例3.已知直线l：y=kx+b是函数f（x）=ax2（a>0）与函数g（x）=ex图像的公切线，若直线l与函数f（x）图像切于点（1，f（1）），则b=．

解析：f ′（x）=2ax，g′（x）=ex，设切点为A（1，a），B（x0，ex0），则切线方程为y-a=2a（x-1），其中k=f ′（1）=2a，f（1）=a=k+b，b=-a，故l：y=a（2x-1）恒过定点（12，0）；f ′（1）=2a=g′（x0）=ex0，y-ex0=ex0（x-x0）过定点（12，0），-ex0=ex0（12-x0），解得x0=32，b=-12e32，故填-12e32．

类型4：多条切线与多条公切线

例4.若f（x）=23x3-x2+ax-1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a的值可以为 .（填写符合要求的一个实数即可）

解析：f ′（x）=2x2-2x+a，则2x2-2x+a-3=0有两个不等的正实数根，结合函数a=-2x2+2x+3在区间（0，+∞）的图象可知，当x=0时a=3；当x=12时a=72；所以当3

三、解析几何填空题的考查类型与答题策略

最近两年的高考填空题中，每年都设置了一道解析几何题，也正是这道题成了拉开档次的分水岭，说“得解析几何者得高考天下”也不为过，解析几何要抓好以下类型．

类型1：考查阿波罗尼圆．

平面上到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ>0，λ≠1）的动点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼圆．

例1.已知ΔABC的三边满足a=4，c=3b，则ΔABC面积的最大值是 ；设ΔABC的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，则Rr的取值范围为 ．

解析：如图，由BC=4，AB=3AC，在直线BC上取点A1，A2使A1C=1，CA2=2，设A1A2的中点为O，则BA1CA1=BA2CA2=3，顶点A的轨迹是阿波罗尼圆O（点A1，A2除外），圆上的点总满足AB=3AC，当AO⊥BC时，SΔABC≤12×4×32=3；【另可以设B（-2，0），C（2，0），A（x，y），点A的轨迹方程为（x-52）2+y2=94，不含点A1，A2】

由正弦定理asin A=2R得R=2sin A，由SΔABC=12bcsin A=12（a+b+c）r得r=3b2sin A4（b+1），Rr=3b22（b+1），因为三角形中两边之和大于第三边即b+3b>4，

b+4>3b，所以1

注：阿波罗尼圆圆心确定的方法是λ>1，找到线段BC的λ+1等分点P1（内分点），再延长找到另一个等分点P2（外分点），P1P2的中点即为圆心；0<λ<1在相反方向．

类型2：求圆的切点弦方程或切点弦经过某定点

经过圆外一点P（x0，y0）作圆的切线PA，PB（A，B为切点），求切点弦方程的基本步骤是：①由已知圆f（x，y）=0求圆心Q（a，b）；②写出PQ为直径的圆的方程g（x，y）=0；③切点弦方程为f（x，y）-g（x，y）=0．

例2.（2022届临沂期末改编）已知圆O：x2+y2=4，直线l：（3+m）x+4y-3+3m=0（m∈R），若圆O与（x-3）2+（y-4）2=25-m恰有三条公切线，则m= ；当m=13时，由直线l上一个动点P向圆O引两条切线PA，PB（A，B为切点），则切点弦AB经过定点的坐标为 .

解析：圆心O（0，0），半径r1=2，直线l：（3+x）m+3x+4y-3=0过定点（-3，3），圆（x-3）2+（y-4）2=25-m（圆心D（3，4），半径r2=25-m），两个圆外切时有三条公切线，则圆心距OD=5=r1+r2，所以25-m=3，m=16；当m=13时，直线l：4x+y+9=0，设P（x0，y0），则4x0+y0+9=0，OP为直径的圆为（x-x02）2+（y-y02）2=x20+y204，两圆方程相减得切点弦方程为x0x+y0y=4，其中4x0+y0+9=0，所以x0x-（9+4x0）y=4，x0（x-4y）-9y-4=0，令x-4y=0，

9y+4=0解得x=-169，y=-49，切点弦过点（-169，-49），故填：16，（-169，-49）．

类型3：巧用圆锥曲线定义

例3.（2022届广东省一模12改编）数学家华罗庚说：数缺形时少直观，形少数时难入微.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如与（x-a）2+（y-b）2相关的代数问题，可以转化为两点A（x，y），B（a，b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数f（x）=x2+4x+5+x2-4x+5，则f（x）的最小值为；f（x）=6时x=．

解析：f（x）=（x+2）2+1+（x-2）2+1的几何意义是x轴上的点P（x，0）到A（-2，1），B（2，1）的距离之和，A（-2，1）关于x轴的对称点A1（-2，-1），由对称性可知PA+PB≥A1B=25；对于f（x）=6，其几何意义是点P（x，0）在椭圆x29+（y-1）25=1（a=3，c=2）上，令y=0可得x=±655，故填：25，±655．

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，M是ΔF1PF2的内心，若SΔMPF1=λSΔMF1F2-SΔMPF2，则λ=1e．

双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在右支上，M是ΔF1PF2的内心，且SΔMPF1=SΔMPF2+λSΔMF1F2，则λ=1e．

类型4：圆锥曲线（双曲线）的光学性质

椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，反射光线经过椭圆的另一个焦点．

双曲线具有光学性质：（见例4）．

抛物线具有光学性质：从抛物线焦点发出的光线经过抛物线镜面反射，反射光线与抛物线的对称轴平行；反之，平行于抛物线的对称轴的光线经过抛物线镜面反射，反射光线经过抛物线的焦点．

例4.（2023年潍坊市一模第11题）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过双曲线另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1，F2为双曲线C：x23-y2=1的左右焦点，从双曲线右支上一点A（x0，y0）（x0>3）作直线l交x轴于点M（3x0，0），交y轴于点N，则（）

A.双曲线C的渐近线方程为y=±33x

B.点N的坐标为（0，1y0）

C.过点F1作F1H⊥AM（垂足为H），则OH=3（O为原点）

D.四边形AF1NF2面积的最小值为4

解析：双曲线x23-y2=1的焦点F1（-2，0），F2（2，0），渐近线方程为y=±33x，kAM=y0x0-xM=x0y0x20-3=x0y03y20=x03y0，则直线l为y=x03y0（x-3x0）即x0x3-y0y=1，因此直线l为点A（x0，y0）处的切线.令x=0可得N（0，-1y0），过点F1向∠F1AF2平分线AM作垂线（垂足为H），延长F1H，AF2交于点Q，则AF1=AQ，由双曲线定义AF1-AF2=2a，AQ-AF2=QF2=2a，OH是ΔF1F2Q的中位线，OH=a=3；四边形SAF1NF2=SΔAF1F2+SΔNF1F2=12·2cy0+1y0=2y0+1y0≥4，当且仅当y0=±1即A（6，±1）时取得最小值，故选ACD．

类型5：熟记圆锥曲线的性质（二级结论）

性质1：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中点弦的性质：椭圆的任意一条弦AB的中点为M，若AB，OM（O为原点）的斜率都存在，则kABkOM=-b2a2．

其等价的性质：在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，椭圆的任意一条弦AB，点A关于原点O的对称点为A0，若AB，A0B的斜率都存在，则kABkA0B=-b2a2．

例5.（湖南长沙市长郡中学等名校联考第15题）已知点A（-5，0），B（5，0），C（-1，0），D（1，0），动点P（x，y）满足直线AP、BP的斜率之积是-45，若∠PCD=α，∠PDC=β，则sin α+sin βsin（α+β）=．

解析：由kPAkPB=-45可得P（x，y）的轨迹方程为x25+y24=1（其中x≠±5，a=5，c=1），在ΔPCD中，由正弦定理可得sin α+sin βsin（α+β）=PC+PDCD=2a2c=5．

性质2：双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中点弦的性质：双曲线的任意一条弦AB的中点为M，若AB，OM（O为原点）的斜率都存在，则kABkOM=b2a2．

其等价的性质：在双曲线x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，双曲线的任意一条弦AB，点A关于原点O的对称点为A0，若AB，A0B的斜率都存在，则kABkA0B=b2a2．

性质3：双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一点P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2=a2b2c2.事实上，点P（x0，y0）到bx-ay=0和bx+ay=0的距离为d1=bx0-ay0c，d2=bx0+ay0c，x20a2-y20b2=1，d1d2=b2x20-a2y20c2=a2b2c2．

类型6：和圆锥曲线通径有关的折叠问题

椭圆和双曲线的通径长均为2b2a，椭圆和双曲线的焦点三角形ΔPF1F2的面积分别为b2tan θ，b2tan θ（其中∠F1PF2=2θ），抛物线的通径长为2p，圆锥曲线通径有关的折叠问题也经常出现在各地模拟题中．

例6.（2022年临沂二模第8题改编）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点为F1，F2，过F2作直线AB⊥F1F2交双曲线于A，B两点，将双曲线所在平面沿直线F1F2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A，B两点变成A′，B′，∠A′F1B′=β，若1-cos α1-cos β=2516，则双曲线的离心率为．

解析：AF1=BF1=b2a+2a，AF2=BF2=b2a，设A′B′=t，则cos α=1-t22（b2a）2，cos β=1-t22（b2a+2a）2，1-cos α1-cos β=2516即b2+2a2b2=54，b2a2=8，e=3，故填：3．

类型7：涉及圆锥曲线最值巧用导数

（1）在椭圆或双曲线中用导数

例7-1.设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右顶点为A，B，P是椭圆C上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则ab（3-23mn）+2mn+3（lnm+lnn）取得最小值時，椭圆C的离心率为．

解析：由点差法（也称椭圆的第三定义）可知mn=-b2a2，则ab（3-23mn）+2mn+3ln（m·n）=3ab+2a33b3-2a2b2-6lnab，设t=ab（t>1），令f（t）=3t+23t3-2t2-6lnt，f ′（t）=3+2t2-4t-6t=（t-2）（2t2+3）t，则t=2时f（t）取得最小值时，e=1-b2a2=32.故填：32．

例7-2.设A，B分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右顶点，P，Q是双曲线C上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则2ba+ab+12mn+lnm+lnn取得最小值时，双曲线C的离心率为．

解析：由点差法（双曲线的第三定义）可知mn=-b2a2，则2ba+ab+12mn+lnm+lnn=2ba+ab+a22b2+ln（b2a2）=2ba+ab+a22b2-2ln（ab），设t=ab（t>0），令f（t）=2t+t+t22-2lnt，f ′（t）=1-2t2+t-2t=（t+1）（t2-2）t2，则t2=2时f（t）取得最小值时，e=1+b2a2=62.故填：62．

注：以上两例都用到圆锥曲线中斜率之积为常数，求最小值却要借助于导数这一工具．

（2）在抛物线中用导数

例8-1.（2021年广东省二模16）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，设l1，l2交于点P（x0，y0），则y0=，PAB的面积的最小值为．

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），y=kx+1与x2=4y联立得x2-4kx-4=0，易证x1x2=-p2=-4，y1y2=p24=1，且x1+x2=4k.对y=x24求导可得y′=x2，A，B两点处的切线斜率分别是k1=x12，k2=x22，k1k2=x1x24=-1，l1⊥l2，点P恰好是以AB为直径的圆与准线y=-1的切点（即AB的中点在准线的射影），点P（x1+x22，y0）即P（2k，-1），AB=y1+y2+p=x21+x224+2=（x1+x2）2-2x1x24+2=4k2+4，点P（2k，-1）到直线y=kx+1的距离d=2k2+2k2+1=2k2+1，SΔPAB=4k2+1（k2+1）=4（k2+1）32≥4（当且仅当k=0时取得最小值）．