直击圆锥曲线易错点
2023-05-26李昭平
李昭平
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它涉及面广、运算量大、综合性强，解题中往往会出现这样或那样的错误，有的错误还不易察觉.现列举六大易错点，后期复习注意防范．
易錯点1.忽视对参数的分类讨论
例1.已知双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，两个顶点之间的距离是8，求双曲线的标准方程．
错解： 由题意可设双曲线的标准方程是9x2-4y2=k（k≠0），
即x2k9-y2k4=1.于是，8=2k3，解得k=144.故双曲线的标准方程是x216-y236=1．
剖析：本题误认为k>0，漏掉k<0的情形，因忽视对参数k的分类讨论致错.k的符号决定了顶点在x轴上还是在y轴上.带有参数的圆锥曲线标准方程，参数值将影响焦点、顶点、长轴、长轴、短轴、实轴、虚轴的位置，要做到周密思考，注意对参数的分类讨论．
正解：当k>0时，就是上述解答．
当k<0时，方程为y2-k4-x2-k9=1.于是8=2-k2，解得k=-64.
故双曲线的标准方程是x216-y236=1或y216-x2649=1．
易错点2. 忽视轨迹的纯粹性
例2.椭圆x2+3y2=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是__________________．
错解： 设平行弦的两个端点是A（x1，y1），B（x2，y2），则x21+3y21=1，
x22+3y22=1，
相减得，（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0，所以y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-13，
即2·2y2x=-13，x+6y=0．
故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是x+6y=0．
剖析：椭圆弦的中点应该在椭圆内部，其轨迹直线x+6y=0上不在椭圆内的均为暇点（有无数多个）.本题因忽视轨迹的纯粹性致错，必须去掉这些暇点．
正解： 同上得到x+6y=0. 联立x2+3y2=1
x+6y=0解得，x=±23913.
故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是x+6y=0-23913 易错点3. 忽视直线与圆锥曲线是否相交 例3.过点P（0，2）作斜率为k的直线l交椭圆x23+y22=1于点P1，P2， 当k为何值 时， 线段P1P2的中点在直线x=1上？ 错解： 由题意可设l的方程为y=kx+2. 联立 x23+y22=1， y=kx+2， 消去y，得（2+3k2）x2+12kx+6=0.显然2+3k2≠0. 设P1（x1，y1），P2（x2，y2）， 则x1+x2=-12k2+3k2=2，即3k2+6k+2=0， 解得k=-1±33.故k=-1±33时，线段P1P2的中点在直线x=1上． 剖析：消元后的二次方程（2+3k2）x2+12kx+6=0根的判别式Δ=3k2-2，Δ的符号依赖于k的取值. 应该考虑k能否使△>0， 即直线l是否与椭圆有两个交点.本题因忽视直线与圆锥曲线是否相交致错． 正解： 同上得到，k=-1±33. 由Δ=3k2-2>0，得k<-63或k>63， 显然k=-1-33适合，而k=-1+33不适合，应舍去. 故k=-1-33时，线段P1P2的中点在直线x=1上． 易错点4. 忽视图形位置的多种情形 例4. 抛物线y2=4px（p>0）的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若ΔOPF为等腰三角形，则这样的点P的个数有（） A.2个B.3个C.4个D.6个 错解：因为ΔOPF为等腰三角形，所以PO=PF，点P在线段OF的中垂线上，点P的位置有两个.故选A． 剖析：本题误认为PO=PF，而忽视OP=OF，FO=FP两种情形致错.圆锥曲线中有很多动态图形的位置是不定的，注意全方位思考，否则极易漏解． 正解：由于ΔOPF是等腰三角形，则有下列三种情形： （1）当PO=PF时，就是上述解答. （2）当OP=OF时，点P的位置也有两个． （3）当FO=FP时，点P不存在． 事实上，若设P（x0，y0），则FO=FP就是x0+p=p，x0=0，不构成三角形． 综上知，满足条件的点P有4个，故选C． 易错点5. 忽视对直线斜率是否存在或是否为零进行讨论 例5.已知定圆A：（x+3）2+y2=16的圆心为A，动圆M过点B（3，0），且和圆 A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C． （1）求曲线C的方程； （2）若点P（x0，y0）为曲线C上一点，试探究直线l：x0x+4yy0-4y0=0与曲线C是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由． 错解： （1） 利用椭圆的定义易得曲线C的方程为x24+y2=1. （2）由x0x+4yy0-4y0=0，得y=4y0-x0x4y0，联立方程组y=4y0-x0x4y0， x24+y2=1，消去y，得（4y20+x20）x2-8x0y0x=0……① 由点P（x0，y0）在曲线C上，得x204+y20=1，即4y20+x20=4.于是方程①可以化简为4x2-8x0y0x=0，解得x=0，或x=2x0y0.将x=0代入方程y=4y0-x0x4y0得y=1；将x=2x0y0代入方程y=4y0-x0x4y0得y=2-x202. 故直线l与曲线C总有两个交点（0，1），（2x0y0，2-x202）. 剖析： 本题中直线x0x+4yy0-4y0=0的斜率是否存在，依赖于y0是否为零，必须分类讨论，否则无法解方程组x204+y20=1， x0x+4yy0-4y0=0，在处理直线方程问题时，要注意对直线方程各种形式中斜率存在、不存在和斜率是否为零等情况的讨论． 正解： 当y0≠0时， 就是上述结果． 当y0=0时，由x204+y20=1可得x0=±2. 此时直线l的方程为：x=0，与曲线C 有两个交点（0，1），（0，-1）.显然y0=0时，y=2-x202=-1． 综上知，直线l与曲线C总有两个交点（0，1），（2x0y0，2-x202）. 易错点6. 忽视题目中的隐含条件 例6.直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C：x24+y2=1交于A，B两点，P为椭圆C的下顶 点，且PA=PB，求实数m的取值范围． 错解： 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2+4y2-4=0， y=kx+m，消去y得到， x2+4（kx+m）2-4=0，即（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.则x1+x2=-8km1+4k2， y1+y2=k（x1+x2）+2m=2m1+4k2，弦AB中点M的坐标是（-4km1+4k2，m1+4k2）． 由Δ=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）>0，得4k2m2-（m2+4k2m2-1-4k2）>0，即1+4k2>m2． 另一个方面，直线PM的方程是y=-1kx-1.点M（-4km1+4k2，m1+4k2）在此直线上， 得到m1+4k2=-1k（-4km1+4k2）-1，整理得，3m=1+4k2.代入1+4k2>m2中，m2-3m<0，0 故实数m的取值范围（0，3）． 剖析：设点设线、联立消元、韦达定理、根的判别式、条件转换、建立方程或不等式等等， 是处理圆锥曲线综合题的基本方法，本题都做到了. 但在最后求实数m的取值范围时，仅考虑k，m应满足的不等式1+4k2>m2，而忽视k，m应满足的方程3m=1+4k2这一个重要的隐含条件致错． 正解： 同上得到，0 故实数m的取值范围（13，3）． 训练1： 已知定圆A：（x+1）2+y2=8，动圆M过点B（1，0），且和圓A相切． （1）求动圆圆心M的轨迹E的方程； （2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点 N（0，-12），求实数m的取值范围． 易错点： 易忽视椭圆的定义这个隐含条件，使运算复杂；易忽视参数k，m满足的方程这个隐含条件． 解析：（1）圆A的圆心为A（-1，0），半径r1=22． 设动圆M的半径为r2，依题意有r2=|MB|.由｜AB｜=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1-r2，即 ｜MA｜+｜MB｜=22>2. 所以动点M的轨迹E是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆. 因为a=2，c=1，所以b2=a2-c2=1.于是E的方程是x22+y2=1. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2+2y2-2=0 y=kx+m消去y得到， x2+2（kx+m）2-2=0，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0． 则x1+x2=-4km1+2k2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=2m1+2k2， 弦AB中点M的坐标是（-2km1+2k2，m1+2k2）． 由Δ=16k2m2-8（m2-1）（1+2k2）>0得， 1+2k2>m2. 另一个方面，直线PM的方程是y=-1kx-12.点M（-2km1+2k2，m1+2k2）在此直线上， 得到m1+2k2=-1k（-2km1+2k2）-12，整理得，2m=1+2k2.代入1+2k2>m2中，m2-2m<0，0 故实数m的取值范围是（12，2）. 训练2： 已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：1｜AF｜+1BF为定值． 易错点：易忽视直线斜率不存在情形的证明． 证明：（1）若直线AB的斜率不存在，则AB⊥x轴， AB是抛物线的通经.所以AF=BF=p， 于是1AF+1BF=1p+1p=2p. （2） 若直线AB的斜率存在，设为k（k≠0），直线AB的方程为y=k（x-p2）.代入y2=2px得，k2（x-p2）2=2px， 即k2x2-（k2p+2p）x+14k2p2=0. 所以x1+x2 =k2p+2pk2，x1·x2=14p2.由抛物线的焦半径公式有AF=x1+p2，BF=x2+p2.于是 1AF+1｜BF｜=1x1+p2+1x2+p2 =x1+x2+px1·x2+p2（x1+x2）+14p2=k2p+2pk2+p14p2+p2·k2p+2pk2+14p2 =4k2p+4pp2k2+k2p2+2p2=4p（k2+1）2p2（k2+1）=2p. 综合（1）（2）可知， 1AF+1BF为定值2p. 责任编辑徐国坚
