从“比”的概念看高中数学概念类主题教学

【摘要】“比”的概念是高中数学中一个重要的概念，“比”的概念的研究不仅有助于学生理解数学理论，更有利于学生理解生活实际中应用“比”的知识解决问题。在高中数学教学过程中，教师应以教学大纲为指导，从课标出发，对课本内容进行适当挖掘，以“比”的概念为例看高中数学概念类主题教学。

【关键词】高中数学  “比”的概念  主题教学

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2023）04-0094-03

在新课改的背景下，教学中如何将数学概念类主题教育与新课改的理念结合起来，以实现高中数学课堂高效。《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“概念是理解数学知识的基础，概念的本质在于将复杂的问题简单化。”在此理念指导下，概念类主题教学以其独特的魅力吸引着广大教师及学生。在教学中，教师为了更好地引导学生进行数学学习，将概念作为学习的主线，对这些概念进行深度的挖掘并赋予其意义。[1]主题教学是在学生已经对某一具体的知识点有了一定了解和掌握基础上进行的，旨在激发学生的学习兴趣，因此文章内容从“比”的概念这一知识点出发，结合高中数学学科特点，从“比”的概念为主题展开研究，并尝试通过其探究高中数学课堂的概念类主题教学。

1.关于“比”的相关内容

1.1“比”的概念

“比”的概念是由德国著名数学家、数学教育家莱布尼兹（Leibniz）提出的，他认为一切函数都是“比”，所有在一次函数中所表示的任何二元一次不等式都可写成“比”。“比”这个概念出现在《比的基础》中，教材从“比”这个字出现到现在已经有60多年历史了。[1]具体说“比”是指两个事物之间的比较关系，它可以表示两个事物之间的大小、数量、位置等关系。“比”在高中数学中主要包括了代数式中异号、同号和反式组的性质三方面内容，它们之间都存在着一定的关系，其中异号组是一种特殊的表示形式，反式组一般用来表示函数中各常数之间的数值关系，因此两个事物间存在着一定的比例关系。“比”在高中数学中具有十分重要的地位，它是学生在中学阶段学习代数运算时必须掌握和学习的内容，其对于培养学生逻辑思维能力和运算能力都有重要作用。这部分内容是整个中学数学教材中一个重要的内容，在高中数学知识中占有很重要的地位，因为高中阶段学生对“比”有着更深层次的认识，他们需要了解学习这些内容是为了解决一些实际问题。

1.2“比”的教学内容

在高中数学中，“比”的概念包括“弧度制、三角函数、直线的斜率、函数的变化率/导数”等。“比”作为函数在高中阶段中频繁出现，但是大部分学生对“比”函数的理解还停留在直观理解上，还没有深入到本质意义上。

1.2.1弧度制。这里所提及的“比”的过程比较完整。π/180是确定的数值，其中l/r和x的角度的大小有着密切的关系。即使圆的半径有所不同但是数值的比率是不会改变的。所计算的圆心角的大小实际上就是和圆弧的长度和半径之间的比有密切的聯系。如果出现圆弧长度和半径对应的弧的圆心角我们称它为弧度的角。现在所使用的π/180，使得弧度制在数学问题上可以大量的应用，尤其是涉及到微积分问题的时候，不能将它只应用到三角函数的内容里，而是要让学生明白其中蕴涵的原理，加深学生对弧度制的理解。

1.2.2直线斜率。关于我们为什么用k来表示斜率还没有找到正确的答案。而西方则用m作斜率的符号。k作为斜率有的猜想说可能来自俄罗斯。把k作为斜率的符号，在一定基础上更加印证了用数量比来作为斜率的说法。但是也不能说用m作为斜率的符号不可行。这些问题值得去研究和探讨。斜率是三角函数里经常使用的知识，教材里实际的应用写成直线上两个点的纵坐标的差值比上横坐标点的差值。很多时候它虽然是以几何概念出现，但是通常使用数量的比来进行定义，使得用几何解决数学问题得到肯定和应用，应用代数来解决几何的相关问题。事实上，两种观念的相互磨合，在认识斜率的时候起到了很大的作用。

1.2.3函数变化率。它的定义实际是指，以函数图像的切线作为研究变化率的切入点。它们的变化和直线斜率之间有着密切的联系。在教材里给出的答案是用坐标差的比来计算，把函数变化率的概念写入教材，而不在乎“比”演化的过程。所以可以解释坐标之间产生的差进行比值得到函数的变化，进而把导数涉入到度量比里，这里的导数内容则需要和微积分联系在一起。

2.从“比”的概念看高中数学概念类主题教学的 要点

2.1挖掘课程资源

概念类主题教学中需要挖掘的课程资源很多，这些资源包含了学科核心素养的相关要求，也包含了其他重要概念的知识和能力要求，以及对学生学习活动的影响。例如“比”的概念的形成过程中就涉及到一些相关概念，其中比较关系是“比”的基础知识，也是学生在初中阶段就已经学习过的内容，如果教师不了解学生知识背景与已有经验，很难有效开展概念类主题教学。如果对“比”的概念的形成过程缺乏了解，就很难把握教学目标并设计学生学习活动；而如果对“比”的概念理解不到位，就很难开展有效的教学活动。[2]在挖掘课程资源时应该遵循学生认知发展规律和学科核心素养发展要求，尽可能挖掘与课程内容相关的事实、案例等信息资源并在教学中加以运用。挖掘课程资源时还要注意问题情境是否能激发学生探究欲望与学习兴趣、知识与技能能否促进学生获得解决问题的策略、知识是否符合学生认知发展水平。

2.2通过观察、比较，抽象概括出“比”的概念

在“比”的概念教学中，教师要引导学生经历观察、比较、归纳等过程，引导学生积极参与数学思考，经历从具体到抽象，从特殊到一般的认知过程。例如，通过观察并比较“一个比与另一个比之间的大小关系”这一问题，帮助学生感受并理解“比”的概念。在此基础上，教师通过展示函数的试题：已知f（x）=exlnx2，如果a=f（-ln3），b=f（ln3），c=f（3e），则说出a、b、c的关系。学生在计算这个结果时经历了从特殊到一般的认识过程，学生在计算之前回顾已经掌握的知识，帮助学生充分理解数学概念之间的联系。

2.3从数学概念中抽象出几何图形，提炼其本质属性

“比”的概念抽象主要表现在几何图形上。如何抽象出一个几何图形，其本质属性如何体现？这是学生难以解决的问题，也是数学概念类主题教学中的一个难点。教师引导学生对“比”的几何图形进行分析，让学生通过对“比”的概念的认识，体会到“比”是由两个相比较的量组成，其本质属性体现为两个量之间的相等关系。在此基础上，教师引导学生以“比”的几何图形为载体，用抽象和简化的方法来认识并理解“比”。由此引导学生构建起了“比”与“比例”的概念联系，明确了“比”与生活实际相结合是其本质属性，并通过类比归纳等方法建立起了关于“比”的图形表象。

2.4通过回顾、梳理，感受概念形成过程

为了帮助学生理解概念的产生过程，以便在运用概念解决实际问题时能够做出正确判断。通过对具体问题的分析和抽象，发现和确定两个对象之间的数量关系，进而获得对数学概念的理解。首先，通过对“比”的概念的回顾、梳理，让学生感知“比”的概念的产生过程。在此基础上，引出“比”更深层的概念。其次，通过对具体问题的分析、抽象和概括，使学生通过数学实例感受并理解数学概念产生和发展的过程，使其明确：用“比”来表示两个事物之间的数量关系时，要注意它们之间是比较而非比例；同时也使学生感悟：“比”是数学研究中常用的一种数量关系。

3.主题设计——比的教学

在研究过程中，学生首先要确定“比”的定义、性质和表示方法，在此基础上，通过讨论、交流、归纳等过程得出定义：“比”的本质特征是两个量的相等，同时两个量可以用不同的符号表示。其次，学生在分析定义时要注重方法的灵活运用。最后，在掌握定义后，教师应组织学生进行归纳总结，并对“比”的概念的应用做出要求。

3.1教学目标方面

首先让学生学会用两种画图的方式学习关于“比”的相关内容，在计算数学问题时把知识点应用到其中。得到计算结果可以清楚地解释计算的过程，让数形结合的计算思想印到知识库里，充分理解“比”的内容，提高学生学习数学的涵养。其次，根据教材理清“比”的内容和关于变量和函数中“比”的内涵，领悟“比”发展形成的过程。[3]把与“比”有关的问题无论是图形方面还是动态发展方面研究透彻。最后，通过调查研究了解学生对“比”的认识的发展，提高学生逻辑思维方式。

3.2教学流程方面

通过三角函数内容的学习重新认识“比”，通过坐标和函数认识“比”的知识。根据几何的知识，加深“比”对数和形的影响的理解。深入探究“比”的动态特点和在数学变量教学的地位。具体流程：第一步，在三角函数的学习过程中，将弧度制与三角函数由几何量向代数量的演化过程结合起来，认识坐标法与“比”的概念在函数中的内在联系。第二步，把解析几何与立体图形之间的内在联系相融合，例如“比”的分点、斜率、面积射影定理等，加深对“比”的数和形两个侧面的认知；第三步，将函数变化率和导数的教学内容相结合，对“比”的动态特征及其对变量数学的地位进行更深入的认识。

3.3主题学习方面

用“比”作为连接者，借导数来导入学弧度制的重要性。首先是对弧度制的解剖，借用计算机，把各个点展示在坐标轴上，连成直线。其次是对sinx/x的猜想，根据x的变化使直线斜率变成1。通过这样的方式讓学生知道应用弧度制的益处。把握好概念理论并把它应用到解决数学问题里。教学中教师应采用启发式、讨论式教学法，并通过大量的习题训练等方式，培养学生对“比”的概念的理解。教师通过“比”的概念教学，不仅帮助学生掌握了“比”的概念及性质，更加深了学生对数学理论的理解，也培养学生运用数学知识解决生活实际问题，从而培养了学生的数学素养。但是，学生对“比”的概念的理解还存在着一定的偏差。学生有时会认为“比”就是“比大小”，有时会认为“比”就是比较。在今后教学过程中还需不断加强对数学知识及数学思想方法的训练。弧度制具体例子如下：

（1）运用软件描点作x-sinx°的散点图形（x∈{0.01，

0.02，…，0.09}），根据观察图形得到各点散布于从原点经过一条的直线上。

（2）根据sinx°/x的意义，猜想（1）中所得直线的斜率。

（3）通过改变（1）中图表里x轴的单位长度，使直线l的斜率变为１。根据（２）得到的答案，解释引人弧度制对ｙ＝sinx图像的影响。

（4）根据f（x）＝sinx，结合（2）所计算出来的计算结果，再计算出f′（0）的结果。

此题目意在帮助学生理解关于弧度制的优点，并将其应用于对导数及其相关章节的拓展研究。第一个问题考查学生运用计算机数据处理可视化技术，借助图形寻索解答问题的思维方式。第二个问题运用图的本质来探究数学的法则，并要求学生能把复杂的数学问题变成计算问题。第三个问题要求学生能够充分运用数型结合的思考，从数据分析的观点来探索功能的特性。总的来说，这三道题都是将数学计算与数据分析相结合，与学生的直觉与想象有关。第四道题目是启发式题目，同学们能否从前面的运算中，提炼出关联函数的极限？通过求出的导数结果，达到训练学生抽象化思维的目的。高中数学微积分专题为弧度制的合理解释提供了可能。[4]高中数学中的微积分教学为弧度制的学习提供合理的解释，当学生在学习高中数学过程中遇到一样的情况，根据自然对数的底数ｅ的由来，进行学习和对比，能够通过“比”这一核心概念，提高学生对类似数学题的认识。

4.结语

“比”是高中数学概念类主题教育的策略研究方向。“比”作为高中数学的重要概念之一，是学生理解和掌握数学知识、形成正确的数感、提升科学探究能力必不可少的内容，也是高中生学习数学概念，养成良好思维习惯的重要基础。在新课改的背景下，要加强对“比”等概念类主题的教育，让学生在日常生活中感受“比”，并能够从自己的实际生活出发解决数学问题，帮助学生树立终身学习理念和态度，为其将来进一步学习打下坚实基础。

参考文献：

[1]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[2]章建跃.核心概念最有力量[J].中小学数学（高中版），2010（10）：封底.

[3]李秋霖.高一不等式主题教学实验研究[D].昆明：云南师范大学，2020.

[4]胡艳.基于核心素养的主题教学研究[D].重庆：重庆三峡学院，2021.

作者简介：

徐敏（1989年—），男，仡佬族，贵州务川人，大学本科，理学学士，一级教师，研究方向：高中数学教学。