浅谈算术平方根和平方根教学中的有效衔接

张冬生

摘要：算术平方根和平方根是“实数”一章中很重要的两个概念。这两个概念既是教学重点，又是教学难点。以往不少同学对这两个概念认识模糊，甚至到了初三毕业前的复习阶段的理解不清。这对后继课程的学习，特别是“二次根式”这一章有较大的影响。因此，教师既可以根据生活中的实际问题引出算术平方根的概念，又可以对上学期的乘方进行复习而导出平方根的概念。由浅入深地帮助学生掌握算术平方根和平方根的联系和区别，再尝试用不同的内容组合不断提高学生数学素养的同时，也能够达到高效“教”与“学”的目的。

关键词：初中数学 算术平方根 平方根

一、人教版教材分总形式设计

《義务教育数学课程标准》中提及：“经历数与代数的抽象、运算与数学建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。”对于本节的要求为：一是了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根。二是了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用计算器求平方根。

人教版教材中将平方根和算术平方根的内容安排在七年级下册第六章“实数”，主要是因为学生在七年级上学期已经学过有理数及有理数的乘方，为现在的实数知识学习奠定了坚实的基础。人教版教材中的情境创设首先是通过提出生活中的实际问题正方形画布面积求边长，再通过填表的形式来引出算术平方根，层层叠进的方式让同学们体会到数学与日常生活是密切联系的，认识到日常的问题可以利用数学思维和数学方法来处理。并给出算术平方根的定义及表示方法、读法及被开方数，特别规定0的算术平方根是0，并通过例1中的三个从大到小的数来计算算式平方根，主要有两个目的：一是加强学生对于新知识的理解，并添加同步练习，锻炼学生的计算能力。二是从被开方数的大小关系中得到，被开方数越大，对应的算术平方根也越大，为后面的规律探究提供铺垫。后续的内容是计算2的值和信息技术在数学学科中的应用，运用夹逼准则来计算2的近似值，从而得到它的值是个无限不循环小数，为无理数的概念总结提出范例。而通过计算器来计算数的算式平方根，为算术平方根规律的探究提供条件和验证方式。人教版教材中的闪光点：一是对算术平方根的规律的探究。这是其他版教材中没有的，可能是过于追求对规律探究的侧重，导致平方根和算术平方根两者间的关系割裂，若对其进行改进，加强知识的衔接与联系，那么学生对知识的理解更加清晰。二是课后习题分层设计，适合不同学情的同学。复习巩固都可以从课本例题上找到模板，适合后进生。“综合运用”栏目穿插着一元二次方程及物理题中的公式运用计算，需要同学在基础知识上，再加一点转换，但是没有脱离课本的知识，适合中等生。“拓广探索”栏目要求学生具有探究精神，学会动手和动脑，从中得到公式，能够探究出无限开方的规律，适合优等生。

算术平方根主要分为三大部分：一是算术平方根的概念和计算，二是对于算术平方根规律的研究和应用，三是数的大小比较。平方根主要分为两个部分，分别是介绍平方根（二次方根），可以求数的平方根，分析平方根的两个根的关系，以及介绍平方根和算术平方根的联系与区别。教材采用分总的形式呈现，分的重点在于研究算术平方根，总的重点是通过填表重新导入平方根，借助教材中的图片突出平方和平方根的关系以及平方根的两个根的特点，但是总体联系性不强，在算术平方根中出现的例1和例3容易给学生的学习带来顺向负迁移；例1中出现的x2=2，x=2以及例3中出现的x2=50，x=50，在实际教学中教师要指导学生注意这里表示的是算术平方根，画布或者纸片的边长不可能是负数。但这容易被学生误解，之后学习的平方根，2的平方根有两个分别是±2，学生受之前学习的算术平方根先入为主影响，教师要将平方根并结合之前的例题进行解释说明，否则学生以后学习解一元二次方程时会产生思维定式。另外，在平方根的例题解答中，之前算数的算术平方根，可以给出100=10，在平方根里面应该同样表示±100=±10，通过对比，让学生加深印象，同时让学生通过比较、讨论，探究得到算术平方根其实是两个平方根中的一个非负根。还可以帮助学生逐步形成严谨的推理总结与实践动手的能力，并在不断改进、修正自身的数学学习方法、学习方式的基础上，努力提高自身解决数学问题的能力、数学学科的文化素养。

二、个人浅谈总分形式设计

相对于课堂教学与实践训练的效果而言，学生往往会对新知识产生首因效应。个人建议先介绍平方根，上学期的乘方内容就可以直接导入平方根，例如（±3）2=9，很容易得出9的平方根是±3，复习导入，自然和谐；同时，教师借助关于画布面积求边长的例题引导学生考虑实际情况，从而恰当地引出算术平方根，而且能更清晰地向学生传递出两者之间的关系以及两者之间的区别。设置数学理论知识联系实际的数学思想，容易激发学生的成就感、惊奇感，让同学们能够在概念学习的过程中体会、体验到自主探究、释疑的乐趣，这对激发学生学习知识的愿望也具有良好的促进作用。

这样的总分形式设计便于学生理解平方根和算术平方根两者之间的关系，平方根中的开方运算结果和解题步骤方法，同样适用于算术平方根的运算和解题。另外，之后就可以对算术平方根的知识展开重点探究，包括对规律的探究以及数的大小关系比较。特别是通过对实际例题的讲解会在真正意义上接触到无理数2，对于2的近似值探究一来可以对以后的无理数学习起到很好的先导作用，二来通过生活实例解题得出含有根号的数，判断和其他数的大小关系，为之后学习算术平方根的规律以及实数的大小比较提供一种方法策略。在进行算术平方根规律的再利用时，可以作为讲解二次根式的“先行组织者”，以此来达到培养和提升学生的数学思维、掌握知识内容体系的目的。在教材的阅读与思考中，证明了2不是有理数，并给予证明，还运用反证法拓展学生的数学发散思维和生活中的逆向思维。

三、其他版本的设计对照比较

“教学为了谁？教学依靠谁来展开和进行？教学从哪里出发？”这三个问题是数学教师必须经常思考和回答的，具有不同教学立场的教师对这三个问题的回答也不一定相同。

北师大版八年级上册的平方根的引入是在前一章节的勾股定理和前一小节给出的无理数定义的基础上，通过直角三角形求斜边的长，从而引出算术平方根的概念，对于由图形导入，可以由教师动手画或者通过信息技术中的作图工具来完成图形绘制，对学生来说比较新颖，也穿插数形结合的思想。第一小问中的x2，y2…要求学生填空比较合适，既复习之前的勾股定理又为后续的算式平方根的定义提供素材。但是第二小问中要求学生说出其中的无理数和有理数，这一问缺乏无理数与带根号的数之间联系的纽带，会影响学生对知识的正迁移，后续可以在算术平方根的后面加上類似2，3…这样的数，进行近似计算，搭建无理数和带根号的开方数的桥梁，最后总结的时候再来提问问题（2），则更为合适。由9的算术平方根是3，也就是说3的平方是9，还有其他的数的平方是9吗？从而引出平方根，后续对平方根和立方根进行估算有单独的小节来完成，并在同步的练习中出现了映射二次根式中的公式，这是闪光点，但是美中不足的是缺少对平方根规律的探究，学生自主探究的能力得不到很好的体现。

鲁教版七年级上册的引入同北师大版教材类似，在导入的部分同样缺乏根数和无理数联系的桥梁，通过3个例子来充分说明算术平方根和平方根的计算，以及算术平方根的应用。其中例2联系物理知识，通过小球落地跨学科进行教学，注重学科间的联系，是本节的亮点，但是不足的地方在于公式的运用，解方程中，只涉及一个根，没有进行特别说明，会误导学生对平方根的理解，建议例2可以放在平方根的后面，补充一下时间不是负数，排除一个根，从而得到正确的答案。这样安排符合学生的认知规律。

沪教版七年级下册平方根的引入是以上一小节中2，3，5这样的无理数为基础的，通过生活中的实际问题方桌面积求边长导出平方根的概念，再结合实际问题引出算术平方根，然后用计算器对算术平方根进行估算，这个版本平方根的引入合理，知识衔接自然，但是前一小节的实数欠缺合理性，对于说明2是无理数也没有具体的方法，虽然后面也进行了证明，但还是容易给学生带来凡是带根号的都是无理数这样的思维定式。

湘教版八年级上册通过生活实例铺正方形地垫来求边长，引入平方根的定义，并着重介绍两个平方根之间的关系，同步说明算术平方根，利用图表来呈现平方根和平方之间的互逆关系，运用例1和例2强化平方根和算术平方根的计算，本节的闪光点在于突出了正数的两个平方根之间是互为相反数。但也有很多不足的地方，衔接的内容是无理数的知识，而没有关于这节内容的应用题，单纯的数学计算，缺乏计算与应用的结合。

冀教版八年级上册通过填表的方式导入平方根，采用总分的形式自然引出算术平方根的概念，整个知识的衔接连贯便于学生理解和掌握，但是细节方面可以适当修改，其中正数a的平方根是±a，表述为非负数a是否更好些，也可以适当添加部分二次根式中的公式探究，促进知识的顺向迁移。

浙教版七年级上册通过正方形面积求边长导出平方根的概念，进一步得到算术平方根，如果正方形面积设定为可开方的整数，这样可以让能力有限的同学也跟得上节奏，立足于教材而高于教材，不拘泥于课本。数学是为解决日常生活中的问题而服务的，如果加上结合实际的应用题或者跨学科题目，可能会更好，这样学生既可以提高运算能力又可以提升解决问题的能力。新的教学观侧重以学生为出发点来组织教学，既重视研究教法，又注重研究学法，在运用教学方法时把学生作为学习的主体，注重启发诱导，调动学生的主动性和积极性。著名心理学家皮亚杰曾一针见血地指出：“传统教育方法与新的教育方法的对立乃是被动性与主动性的对立。”

苏科版八年级上册通过长方形的对角线长度的计算引出平方根，经过几个简单的特殊值得出两个平方根之间的关系，从而引出平方根的定义，该版教材特别注重细节，备注了a≥0，提醒学生注意。后续自然地引出算式平方根。例1计算数的平方根。例2计算数的算术平方根。例3是本节的闪光点，既强化学生对平方根和平方之间的关系，又为二次根式中的公式提供先导素材。例4，结合自然科学的知识，让同学们明白生活中的道理，站得高望得远。当然也有不足的地方，要注重培养学生的探究能力和小组合作能力，还应进行算术平方根规律的探索。

沪科版七年级下册通过地板的面积导出平方根的概念并同步给出算术平方根，结构合理，重点在于通过两个图表让学生更直观地理解平方根和平方的关系，便于学生对知识的理解，用4个例子层层递进。例1，判断数有没有平方根，给予学生直观的认知，也为区分数有没有立方根做个对照。例2，计算出各数的平方根和算术平方根，既强化了学生对新知识的理解与计算，也加深了学生对平方根和算术平方根的区分理解。例3，利用计算器来进行运算，提倡信息技术的运用，但缺点是探究性不强，对于普遍的算术平方根的规律没有引入，停留在表层，学生跟随着教师的节奏学习，做不到自己动手探究和理解知识。例4，结合物理知识，在跨学科的基础上应用知识，为八年级物理学科的开设提供知识的“先行组织者”。在初中数学教学中，通过紧密联系学生的生活来提高数学学习的效果，已成为现代数据学习中特别需要解决的问题之一。这种情况下，就要求教师在数学教育活动中要积极创造条件，丰富学生的数学生活，进一步提高数学学习的效率，同时能够实现初中数学的深度学习。

结语

初中数学教学中，教师应充分重视并利用平方根的知识，作为后续实数的计算、勾股定理的计算以及解一元二次方程的基础。并能利用平方根中数的规律迁移得到二次根式的公式，学会二次根式的计算。各版本教材编排可能不同，但是无论是分总形式还是总分形式的教学，内容是不变的，在于知识的操作性，让学生轻松探究知识，掌握和理解知识，提升数学文化素养以及实际问题解决能力，充分发挥数学的科学价值，激发学生学习数学的强烈兴趣，贯彻新课标中的“有意义学习”。

参考文献：

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责任编辑：唐丹丹