模4法在清华北大强基计划(自主招生)数学试题中的应用

2023-05-15广州市花都区秀全中学510800林堃

中学数学研究(广东) 2023年7期

广州市花都区秀全中学(510800) 林堃

一、考情分析

数论题目在清华大学和北京大学的强基计划中的分量越来越大,2021年和2020年这两年,北京大学强基计划数学试题都考了五道数论题目,占全部数学试题的四分之一.在十年前的清华北大自主招生中,数论题目只是偶尔出现,是配角.2020年我国实施强基计划以来,数论题目成为了清华北大强基计划试题的主角.有志于参加清华北大强基计划招生考试的同学,要加大对数论的重视程度.笔者研究了近十年来清华大学和北京大学的强基计划(自主招生)数论题目,发现有很多题目可以用“模4”这一方法解决问题.本文对这些题目进行了解答以及分类整理.

二、相关数论知识和应用

1.平方数模4 余0 或1

定理1偶数的平方除以4 的余数是0,奇数的平方除以4 的余数是1,平方数除以4 的余数不可能是2 或3.

证明如果n是奇数,设n=2k+1,k∈Z.则n2=(2k+1)2=4k2+4k+1≡1( mod 4);如果n是偶数,设n=2k,k∈Z.则n2=(2k)2=4k2≡0( mod 4).

例1(2021年北京大学强基计划)设n≤2021,且n5−5n3+4n+7 是完全平方数,则可能的n的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.前三个答案都不对

解n5−5n3+4n+7≡ n5−n3+3≡n3(n+1)(n−1)+3( mod 4).如果n是偶数,则n2≡0(mod 4);如果n是奇数,则n+1 和n−1 都是偶数,所以(n+1)(n−1)≡0( mod 4).所以n5−5n3+4n+7≡3(mod 4),由定理1 可知,这是不可能的,所以符合条件的n不存在,选D.

例2[1](2019年北京大学自主招生暨博雅计划)已知x,y为整数,若(x2+x+1)2+(y2+y+1)2为完全平方数,则数对(x,y)有( )组.

A.0 B.1 C.无穷多 D.前三个答案都不对

解由于x(x+1)为两个相邻整数的积,其必为偶数,所以x2+x+1=x(x+1)+1 必为奇数,同理y2+y+1 也是奇数.由定理1 可得,(x2+x+1)2+(y2+y+1)2≡1+1≡2( mod 4),由定理1 可知(x2+x+1)2+(y2+y+1)2不是完全平方数,与题意矛盾,所以本题无解,选A.

2.两个完全平方数之差模4 不余2

定理2两个完全平方数之差模4 不余2.

证明n,k是两个整数,对n,k的奇偶性进行分类讨论,由定理1 可得

所以两个完全平方数之差模4 只能余0,1,3,不余2.

例3(2018年清华大学自主招生暨领军计划)在2000,2001,··· ,2017 这18 个连续整数中,能表示成两个整数平方之差的数的个数为( ).

A.9 B.10 C.14 D.15

解由定理2 可知,两个完全平方数之差模4 不余2.在2000,2001,···,2017 这18 个连续整数中,2002,2006,2010,2014 这4 个数模4 余2,不符合条件,其余14 个数能表示成两个整数平方之差.选C.

3.5 n+1 的标准分解式中素因数2 的幂数是1[2]

定理35n+1 的标准分解式中素因数2 的幂数是1,其中n是正整数.

证明由下面两个引理,定理得证.

引理1模4 余2 型整数的素因数2 的幂数是1.

证明4n+2=2(2n+1),由于2n+1 是奇数,里面没有2,得证.

引理25n+1 是模4 余2 型整数,其中n是正整数.

证明5n+1≡(4+1)n+1≡1+1≡2( mod 4).

例4(2015年北京大学自主招生)已知1020−220是2n的整数倍,则正整数n的最大值是( ).

A.21 B.22 C.23 D.前三个答案都不对

解这道题实际上问的是1020−220素因数2 的幂数.

由定理3 可知,510+1 和55+1 里面素因数2 的幂数都是1,54+53+52+51+1 是奇数,它没有2 这个因数.所以1020−220里面素因子2 的幂数是22+1+1=24 个.选D.

4.不定方程ax+by=cxy 的解法

由ax+by=cxy可得cxy−ax−by=0,所以原方程可以化为:

这样就能将x,y分离,把问题转化成ab的分解问题.分解满足cx−b ≡−b( modc),cy−a ≡−a( modc)即可.

例5(2020年北京大学强基计划)方程19x+93y=4xy的整数解的个数为( ).

A.4 B.8 C.16 D.前三个答案都不对

解由题可知4xy−19x−93y=0.注意到

由于4x−93≡3( mod 4),4y−19≡1( mod 4),3≡3(mod 4),19≡3( mod 4),31≡3(mod 4),所以

共8 种情况,选B.

5.其他用模4 法解答的题目

例6(2015年北京大学自主招生暨博雅计划)已知n为不超过2015 的正整数,且1n+2n+3n+4n的个位数字是0,则满足条件的n有( )个.

A.1511 B.1512 C.1513 D.前三个答案都不对

解①若n ≡0( mod 4),即n=4k,k∈Z.

②若n ≡1( mod 4),即n=4k+1,k∈Z.

③若n ≡2( mod 4),即n=4k+2,k∈Z.

④若n ≡3( mod 4),即n=4k+3,k∈Z.

只有当n ≡0( mod 4)时不符合题意,有个,所以符合题意是有2015−503=1512 个.选B.

另解由于题目是选择题,对严谨性要求不是特别高.我们可以通过列表找规律的方法得到答案.令Sn=1n+2n+3n+4n,列表如下:

n 1n 的个位数2n 的个位数3n 的个位数4n 的个位数Sn 的个位数1 1 2 3 4 0 2 1 4 9 6 0 3 1 8 7 4 0 4 1 6 1 6 4 5 1 2 3 4 0

我们发现从n=5 开始出现循环,所以1n+2n+3n+4n的个位数字的周期是4,按照0,0,0,4,0,0,0,4 这样的规律出现,符合题意的n一共有=1512 个.

例7(2014年清华大学自主招生)已知正整数a1,a2,a3,a4,a5满足:任意四个数之和构成集合{44,45,46,47},求a1,a2,a3,a4,a5的值.

解a1,a2,a3,a4,a5任取四个数,一共有C45=5 种情况,这五个和全部加起来等于4(a1+a2+a3+a4+a5),它模4 余0.因为44+45+46+47≡2( mod 4),所以第五个和一定是模4 余2 型整数,只有46 符合条件.所以这五个和分别是44,45,46,46,47.我们有4(a1+a2+a3+a4+a5)=44+45+46+46+47=228,所以a1+a2+a3+a4+a5=57,所以a1,a2,a3,a4,a5,这五个数分别是57−44=13,57−45=12,57−46=11,57−46=11,57−47=10.