一个擂台不等式的探究

广东省佛山市顺德区乐从中学(528315) 王志国

一、题目呈现

题目(《中学数学教学》2021年第6 期的“有奖解题擂台(138))设a,b,c是正实数,证明或否定

该不等式简洁且内涵丰富,很有新意,值得探究.本文呈现其解法,并作拓展探究,与大家分享.

二、证法探究

这个不等式是成立的,下面给出3 种证法.

证法1先证:

由

综上可得(∗)成立,当且仅当a=b=c时,(∗)中等号成立.

证法2先证:

由均值不等式,得

下同证法1.

证法3由均值不等式,得

评注由证法1,可得到一个不等式的隔离:

三、进一步探究

3.1 题目的猜想

利用均值不等式,易得:

由②、③及原题,有如下的:

猜想设a,b,c是正实数,n∈N+,有

3.2 当n=4 时的探究

当n=4 时,猜想是成立的,即有:

命题1设a,b,c是正实数,则

先给出一个引理:

引理1若x,y是正实数,则.

引理1 的证明由柯西不等式,有故待证式成立.

下面给出n=4 时不等式的证明.

证明令x=b2,y=c2,由引理1,有b2+c2−bc,即从而有同理可得三式相加得由柯西不等式,有

因为不等式∑a2(a−b)(a−c)≥0 正是四次舒尔(Schur)不等式,所以原不等式得证.当且仅当a=b=c时,等号成立.

由证明过程,易得不等式链:

另外,由幂平均不等式,有

可得

同理,

三式相加得

结合②,④,即得不等式链:

3.3 当n ≥5 时的探究

当n≥5 时,猜想是不成立的.

例如取a=b=1,,当n=5 时,则有此时不等式显然不成立.

事实上,有如下引理:

引理2若a,b>0,则.

对于原不等式

不妨设0