解直角三角形考题赏析

周贵胜

初中的三角函数知识是依托直角三角形呈现的，三角函数的实际应用题也是先抽象出符合题意的几何图形，再解直角三角形而解决的.本文以中考题为例与同学们一起体会这类题目的解题思路与方法.

[真题剖析]

例 （2022·辽宁·锦州）如图1，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上. 为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C. 求货轮从A到B航行的距离.（结果精确到0.1海里. 参考数据：sin 50° ≈ 0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192.）

[思路分析]

抽象出数学模型：通过理解题意，容易认识出图中△ABC具有的条件和要求的量：∠BAC = 30°，∠ABC = 100°，BC = 20海里，求边AB的长.

此题是钝角三角形问题，需要作辅助线，构造直角三角形解题.如图2，已知∠BAC = 30°，∠ABC = 100°，BC = 20海里，过点B作BD⊥AC于D，构造两个直角三角形△ABD和△BCD，在Rt△BCD中利用三角关系先求出BD，再通过Rt△ABD中的边角关系求出AB.

[详细解答]

解：如图2，过B作BD⊥AC于D，

由题意可知∠ABC = 100°，∠BAC = 30°，

则∠C = 180° - 30° - 100° = 50°，

在Rt△BCD中，∠C = 50°，BC = 20海里，

∴BD =  BCsin 50° ≈ 20 × 0.766 = 15.32海里，

在Rt△ABD中，∠BAD = 30°，BD = 15.32海里，

∴AB = 2BD = 30.64 ≈ 30.6（海里）.

答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．

[图形归纳]

三角函数应用问题的实际背景是非常丰富的，如利用测量中常用的方位角、仰角、俯角、坡角、坡度等为呈现背景，来设计测高、测长度、速度等问题.

在这些问题中，通常能抽象出两大类六个几何图形：

1.锐角三角形两角一边或两边一角

①如图3，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，AB = m.求△ABC的其他角或边.（已知两角及其夹边.）

②如图4，已知：在△ABC中，∠A = α，∠B = β，BC = m.求△ABC的其他角或边.（已知两角及其一角的对边.）

③如图5，已知：在△ABC中，∠A = α，AB = m，AC = n.求△ABC的其他角或边.（已知两边及其夹角.）

以上三種情况通常根据锐角三角形内角的度数，过三角形一个顶点在三角形内部作高构造直角三角形解题.

2.钝角三角形两角一边或两边一角

①如图6，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，AB = m.求△ABC的其他角或边.（已知两角及其夹边.）

②如图7，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，BC = m.求△ABC的其他角或边.（已知两角及其一角的对边.）

③如图8，已知：在△ABC中，∠BAC = α，AB = m，AC = n.求△ABC的其他角或边.（已知两边及其夹角.）

这三种情况通常根据钝角三角形内角的度数，过三角形一个顶点在三角形内部作高或在三角形外部作高构造直角三角形解题.

三角函数实际应用题在各地中考中几乎是必考的题目，需要同学们在平时的学习过程中形成抽象几何图形的能力，养成认识几何图形的视角，学会构造能解决问题的直角三角形.

（作者单位：东北育才学校）