探究正整数解 读懂方案设计

王锋

我们知道任何一个二元一次方程有无数组解，但其整数解却是有限的，而根据正整数解的组数我们可以解决许多实际生活中的方案设计问题.

例 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用30元钱（两种物品都买），求小明的购买方案有几种.

解析：设购买口罩[x]包，酒精湿巾[y]包，由题意得[3x+2y=30]，[∴x=10-23y]. 观察上式可知y必须是3的倍数. [∵x]，[y]均为正整数，∴y值可取3，6，9，12，∴二元一次方程[3x+2y=30]的整数解为[x=8，y=3]或[x=6，y=6]或[x=4，y=9]或[x=2，y=12.]故小明共有4种购买方案：购买8包口罩、3包酒精湿巾；购买6包口罩、6包酒精湿巾；购买4包口罩、9包酒精湿巾；购买2包口罩、12包酒精湿巾.

反思：解决此类问题的步骤通常为：列二元一次方程，将其变形为用一个未知数表示另一个未知數的形式，分离出整数部分，利用枚举法求出二元一次方程的所有整数解，从而得出不同的设计方案. 若将题中“两种物品都买”的条件去掉，又可增加2个方案：只购买10包口罩或只购买15包酒精湿巾.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：4分钟

1. （2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动. 某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元. 其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）（答案见第29页）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

2. （2022·黑龙江·绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有 种购买方案. （答案见第29页）

（作者单位：江苏省丰县初级中学）